第四周测试-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学周周测（湖南专用）

第四周测试 (时间：45分钟　　分值：100分) 2025中考 湖南 数学  一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列运算正确的是(　　) A.x2＋x3＝x5 B.× C.(a－b)2＝a2－b2 D.|m|＝m B 2.如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l， m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　) A.45° B.39° C.29° D.21° B 3.△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＋|c－3|＝0，则 △ABC是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 4.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　) A.x≤2 B.x＞2 C.x≥2 D.x＜2 D B 5.如图，AD是☉O的直径，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB，连接CD， 交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是(　　) A.61° B.63° C.65° D.67° B 6.已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则 点F到直线AC的距离为(　　) A. B.2 C.3 D. C 7.如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝ AB，则BD的长是(　　) A. B. C.2－2 D.2 B 8.已知关于x的分式方程－2＝无解，则k的值为(　　) A.2或－1 B.－2 C.2或1 D.－1 A 8 9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝60°， AE⊥BD，垂足为E，F是OC的中点，连接EF，若EF＝2，则矩形 ABCD的周长是(　　) A.16 B.8＋4 C.4＋8 D.8＋8 D 9 二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分. 10.写出一个大于2且小于3的正无理数：________________.  11.计算4－1－的结果是____________.  12.一组数据是4，x，5，10，11五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是____________.  (答案不唯一) 1 5 10 13.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，P(－1，0)，☉P过原点O，且与x轴交于另一点D，AB为☉P的切线，B为切点，BC是☉P的 直径，则∠BCD＝____________°.  60 11 14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M.若BE＝DF＝1，则DM的长度为______.  12 15.观察下列各式： S1＝＝1＋，S2＝＝1＋，S3＝＝1＋，…. 请利用你所发现的规律，计算：S1＋S2＋…＋S50＝____________.  50 13 16.已知菱形ABCD的面积为2，E是边BC上的中点，P是对角线BD上的动点.连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为__________，最大值为____________.  三、解答题：本题共5小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(6分)先化简，再求值：÷，其中a＝cos 60°. 解：原式＝··. ∵a＝cos 60°＝，∴原式＝. 18.(7分)近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 　　　　类别 价格　　　　 短款 长款 进货价(元/件) 80 90 销售价(元/件) 100 120 (1)该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； 解：设购进短款服装x件，长款服装y件. 由题意，得解得 答：购进30件长款服装，20件短款服装. (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件(进货价和销售价都不变)，且第二次进货总价不高于16 800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少? 解：设第二次购进m件短款服装，则购进(200－m)件长款服装. 由题意，得80m＋90(200－m)≤16 800.解得m≥120. 设获得销售利润为W元，则W＝(100－80)m＋(120－90)(200－m)＝ －10m＋6 000. ∵－10＜0，∴W随m的增大而减小. ∴当m＝120时，200－m＝200－120＝80，W最大＝－10×120＋6 000＝ 4 800(元). 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时获得最大销售利润，最大销售利润是4 800元. 19.(7分)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC. (1)求证：四边形AFCD为平行四边形； 证明：∵E是AB的中点， ∴AE＝BE.∵DF＝BF，∴EF是△ABD的中位线. ∴EF∥AD.∴CF∥AD.∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形. (2)若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长. 解：由(1)知，EF是△ABD的中位线， ∴AD＝2EF＝2.∵∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3， ∴BF＝3EF＝3.∴DF＝BF＝3. ∵AD∥CE，∴∠ADF＝∠EFB＝90°. ∴AF＝. ∵四边形AFCD为平行四边形，∴CD＝AF＝. ∵DF＝BF，CE⊥BD，∴BC＝CD＝. 20.(8分)已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为☉O的 弦，直线MN与☉O相切于点C. (1)如图①，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D， 求∠AOB和∠BCE的大小； 解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO.∵∠A＋∠ABO＋ ∠AOB＝180°，∠ABO＝30°， ∴∠AOB＝180°－2∠ABO＝120°. ∵直线MN与☉O相切于点C，CE为☉O的直径， ∴∠ECM＝90°.∵AB∥MN，∴∠CDB＝∠ECM＝90°. ∵∠BOE＝90°－∠ABO＝60°，∠BCE＝∠BOE，∴∠BCE＝30°. (2)如图②，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长. 解：连接OC.∵直线MN与☉O相切于点C，OC为☉O的 半径，∴∠OCN＝90°. ∵OB∥MN，∴∠COB＝90°. ∵CG⊥AB，∴∠FGB＝90°. ∵∠ABO＝30°，∴∠BFG＝90°－∠ABO＝60°. ∴∠CFO＝∠BFG＝60°. 在Rt△COF中，tan∠CFO＝，OC＝OA＝3， ∴OF＝. 21.(8分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过坐标原点O，且顶点为A(2，－4). (1)求抛物线的表达式； 解：设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2－4. 将O(0，0)代入y＝a(x－2)2－4，得4a－4＝0，解得a＝1. ∴抛物线的表达式为y＝(x－2)2－4，即y＝x2－4x. (2)设抛物线与x轴正半轴的交点为B，点P位于抛物线上且在x轴下方，连接OA，PB，若∠AOB＋∠PBO＝90°，求点P的坐标. 解：过点A作AT⊥y轴于点T，过点P作PK⊥x轴于点K. 设P(m，m2－4m)，0＜m＜4. 在y＝x2－4x中，令y＝0，得x＝0或x＝4， ∴B(4，0). ∵∠AOB＋∠AOT＝90°，∠AOB＋∠PBO＝90°， ∴∠AOT＝∠PBO. 又∵∠ATO＝90°＝∠PKB， ∴△AOT∽△PBK. ∴. ∴A(2，－4)，∴. 解得m＝或m＝4(此时点P与点B重合，舍去). ∴点P的坐标为. 本讲内容结束 $$