第二编 专题练测10 二次函数的综合运用-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学练测（湖南专用）

专题练测10 二次函数的综合运用 2025中考 湖南 数学  1.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，点P是抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的表达式； 解：把A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3. (2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D.如图，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值. 解：过点P作PQ∥x轴，交AC于点Q，如图所示. 设直线AC的表达式为y＝kx＋b，把A(－3，0)， C(0，3)代入，得 解得 ∴直线AC的表达式为y＝x＋3. 设点P的坐标为(t，－t2－2t＋3)(－3＜t＜0)，则点Q(－t2－2t，－t2－2t＋3).　 ∵点P在直线AC上方的抛物线上， ∴PQ＝－t2－2t－t＝－t2－3t. ∵PQ∥x轴，∴△PQD∽△BAD. ∴. ∵AB＝1－(－3)＝4，∴＝－(t2＋3t)＝－. ∵－＜0，－3＜t＜0， ∴当t＝－时，有最大值. ∴当的值最大时，点P的坐标为的最大值为. 2.定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图，抛物线C1：y＝x2＋2x－3与抛物线C2：y＝ax2＋2ax＋c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A(－3，0)，B(点B在点A右侧)，与y轴的交点分别为G，H(0，－1). (1)求抛物线C2的表达式和点G的坐标； 解：将A(－3，0)，H(0，－1)代入y＝ax2＋2ax＋c，得 解得 ∴抛物线C2的表达式为y＝x2＋x－1. 在y＝x2＋2x－3中，令x＝0，则y＝－3， ∴G(0，－3). (2)点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形. 由(1)可得y＝x2＋x－1的对称轴为直线x＝－1.　 ∵点E与点H关于对称轴x＝－1对称， ∴E(－2，－1).设F(x，0). ①当EG＝EF时，∵G(0，－3)，∴EG＝2.∴2. 解得x＝－2或x＝－－2. ∴F(－2，0)或F(－－2，0)； ②当EG＝FG时，2，此时x无实数根. 综上所述，点F的坐标为(－2，0)或(－－2，0). 3.(2024·达州改编) 如图，抛物线y＝ax2＋kx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点. (1)求抛物线的表达式； 解：∵抛物线y＝ax2＋kx－3与x轴交于点A(－3，0)和 点B(1，0)， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3. (2)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请求出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在以N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形. 由(1)可得D(－1，－4). ∵A(－3，0)，C(0，－3)，∴AC2＝32＋32＝18. ∵点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，设N(－1，n)，其中n＞－4， ∴AN2＝(－3＋1)2＋n2＝4＋n2，CN2＝12＋(n＋3)2＝n2＋6n＋10. ①当AN＝AC时，4＋n2＝18，解得n＝或n＝－； ②当AN＝CN时，4＋n2＝n2＋6n＋10，解得n＝－1； ③当AC＝CN时，18＝n2＋6n＋10，解得n＝－3 或n＝－－3(舍去). 综上所述，N或或(－1，－1) 或. 13 4.将抛物线C：y＝(x－2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2. (1)直接写出抛物线C1，C2的表达式； 解：C1：y＝(x－2)2－6. C2：y＝(x－2＋2)2－6，即y＝x2－6. 14 (2)如图，直线y＝kx(k≠0，k为常数)与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y＝－x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点.求证：直线MN经过一个定点. 证明：把y＝kx代入y＝x2－6中，得x2－kx－6＝0， ∴xE＋xF＝k.∴M. 把y＝－x代入y＝x2－6中，得 x2＋x－6＝0，∴xG＋xH＝－. 15 ∴N. 设MN的表达式为y＝mx＋n(m≠0)，则 解得 ∴直线MN的表达式为y＝x＋2. 当x＝0时，y＝2， ∴直线MN经过定点(0，2)，即直线MN经过一个定点. 16 5.如图，二次函数y＝x2＋bx－4的图象与x轴相交于点A(－2，0)，B，其顶点是C. (1)b＝__________；  －1 解：－1　[把A(－2，0)代入y＝x2＋bx－4，得 0＝×(－2)2＋b×(－2)－4，解得b＝－1.] 17 (2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝.将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点(k，0)作x轴的垂线l.已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； 18 解：如图，过点D作DM⊥OA于点M. ∵b＝－1， ∴二次函数的表达式为y＝x2－x－4. 设D(－2＜m＜0). ∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝，∴tan∠AOD＝. 解得m＝－1或m＝8(舍去). 当m＝－1时，m2－m－4＝＋1－4＝－， ∴D. ∵y＝x2－x－4＝(x－1)2－， ∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为y＝(x＋a)2－. 把D代入y＝(x＋a)2－，得－(－1＋a)2－. 解得a＝3或a＝－1(舍去). ∴平移后的抛物线为y＝(x＋3)2－. ∵过点(k，0)作x轴的垂线l，已知在l的左侧，平 移前后的两条抛物线都下降， 在抛物线y＝(x＋3)2－的对称轴，即直线x＝－3 的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，∴k≤－3. (3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC，QC，PQ.已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标. 22 解：如图，作PN⊥CQ于点N，设P， ∴平移后的抛物线为y＝(x－t)2＋.当x＝1时，y＝t2－2t－， ∴Q. ∵＞0，∴∠CPQ＝90°. ∵QN＝t2－t＋， CN＝t2－t＋，　 23 ∴QN＝CN.∴PN＝CN＝QN. ∴|t－1|＝t2－t＋. ∴t1＝3，t2＝－1，t3＝t4＝1(舍去). 当t＝3时，y＝×32－3－4＝－； 当t＝－1时，y＝×(－1)2－(－1)－4＝－. ∴点P的坐标为或. 6.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1. (1)求抛物线的表达式； 解：∵顶点D的横坐标为1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵A(－1，0)，∴B(3，0). ∴设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3). 将C(0，3)代入上式，得－3a＝3，即a＝－1. ∴y＝－(x＋1)(x－3)， 即抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. (2)在y轴的负半轴上是否存在点P，使∠APB＋∠ACB＝180°?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 解：存在.∵∠APB＋∠ACB＝180°， ∴∠CAP＋∠CBP＝180°. ∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示. 由(1)知，OB＝OC＝3. ∴∠OCB＝∠OBC＝45°. ∴∠APC＝∠ABC＝45°. ∴△AOP是等腰直角三角形. ∴OP＝OA＝1.∴P(0，－1). (3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.由(1)知，抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.∴D(1，4). 由抛物线的对称性，得E(2，3). ∵A(－1，0)， ∴AD＝2，DE＝，AE＝3. ∴AD2＝DE2＋AE2. ∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°， DE∶AE＝1∶3. ∵点M在直线l下方的抛物线上， ∴设M(t，－t2＋2t＋3)，则t＞2或t＜0. ∴EF＝|t－2|，MF＝3－(－t2＋2t＋3)＝t2－2t. 若△MEF与△ADE相似，则EF∶MF＝1∶3 或MF∶EF＝1∶3. ∴|t－2|∶(t2－2t)＝1∶3或(t2－2t)∶|t－2|＝1∶3. 解得t＝2(舍去)或t＝3或t＝－3或t＝(舍去)或t＝－. ∴点M的坐标为(3，0)或(－3，－12)或. 7.在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的交点分别为A和B(1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，P是直线AC上方抛物线上一动点. (1)求抛物线的表达式； 解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点B(1，0)， 与y轴交于点C(0，3)， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3. (2)如图1，过点P作x轴的平行线交AC于点E，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PE＋PD的最大值及点P的坐标； 解：当y＝0时，0＝－x2－2x＋3，解得x1＝－3， x2＝1.∴A(－3，0). 设直线AC的表达式为y＝kx＋n(k≠0).把A(－3，0)， C(0，3)代入y＝kx＋n，得 解得 ∴直线AC的表达式为y＝x＋3. 设P(m，－m2－2m＋3)(－3＜m＜0). ∵PE∥x轴，∴点E的纵坐标为－m2－2m＋3. 又∵点E在直线AC上，∴－m2－2m＋3＝x＋3， 解得x＝－m2－2m. ∴E(－m2－2m，－m2－2m＋3). ∴PE＝－m2－2m－m＝－m2－3m. ∵PD∥y轴，∴PD＝－m2－2m＋3. ∴PD＋PE＝－m2－2m＋3＋(－m2－3m)＝－2m2－5m＋3＝ －2. ∵－2＜0，－3＜m＜0，∴当m＝－时，PD＋PE 有最大值，最大值为，此时y＝－－2× ＋3＝. ∴PE＋PD的最大值为，此时点P的坐标为. (3)如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标. 解：设M(－1，m)，P(t，－t2－2t＋3)， 设PC的中点为K，则MN的中点为K， ∴N(t＋1，－t2－2t＋6－m). ∵点N在坐标轴上， ∴t＋1＝0或－t2－2t＋6－m＝0. 如图①，当t＝－1时，此时PM∥y轴. ∵四边形PMCN是矩形，∴PM⊥MC. ∴M(－1，3).∴N(0，4)； 当－t2－2t＋6－m＝0时，点N在x轴上，如图②， 过点P作PH⊥x轴交于点H. ∵∠PNC＝90°，∴∠PNH＋∠CNO＝90°， ∠PNH＋∠NPH＝90°.　 ∴∠NPH＝∠CNO. 又∵∠PHN＝∠NOC＝90°，∴△PHN∽△NOC. ∴，即. 解得t＝或t＝. ∴点P在直线AC上方.∴－3＜t＜0. ∴t＝.∴N. 综上所述，符合条件的点N的坐标为(0，4) 或. 8.如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式； 解：将点A(－2，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋4， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4. (2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标； 解：∵点A(－2，0)，B(4，0)， ∴抛物线的对称轴为直线l：x＝＝1. 如解图1，当点F在x轴上方时，设l与x轴交于点G， 过点E作ED⊥l于点D. ∵以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形， 且∠BFE＝90°， ∴EF＝BF. 易证△DFE≌△GBF(AAS).∴DE＝GF，DF＝GB. 设F(1，m)，则DE＝m，DG＝DF＋FG＝GB＋FG＝3＋m，∴E(1＋m，3＋m). ∵点E在抛物线y＝－x2＋x＋4上， ∴3＋m＝－(1＋m)2＋(1＋m)＋4. 解得m＝－3(舍去)或m＝1，∴F(1，1)； 如解图2，当点F在x轴上方，且点E与点A重合时，设直线l与x轴交于点G. ∵△BFE是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°， ∴FG＝AG＝BG＝AB＝[4－(－2)]＝3.∴F(1，3)； 如解图3，当点F在x轴下方时，设l与x轴交于点G， 过点E作ED⊥l于点D. ∵以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形， 且∠BFE＝90°，∴EF＝BF. 易证△DFE≌△GBF(AAS). ∴DE＝GF，DF＝GB. 设F(1，m)(m＜0)，则DE＝－m，DG＝DF＋FG＝GB＋FG＝3－m，∴E(1－m，m－3). ∵点E在抛物线y＝－x2＋x＋4上， ∴m－3＝－(1－m)2＋(1－m)＋4. 解得m＝3(舍去)或m＝－5，∴F(1，－5). 如解图4，当点F在x轴下方，且点E与点A重合时，∵AB＝6，△ABF是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°， ∴GF＝AB＝3. ∴F(1，－3). 综上所述，F(1，1)或F(1，3)或F(1，－5) 或F(1，－3).　 (3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM＋ON是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 解：在点P运动过程中，OM＋ON为定值.设P(s，t)，直线AP的表达式为y＝dx＋f，BP的表达式为y＝gx＋h. ∵A(－2，0)，B(4，0)，P(s，t)， ∴ 解得 ∴直线AP的表达式为y＝x＋， BP的表达式为y＝x＋. 对于y＝x＋，当x＝0时，y＝，即M. 对于y＝x＋，当x＝0时，y＝，即N. ∵P(s，t)在抛物线上，则t＝－s2＋s＋4＝－(s－4)(s＋2)， ∴OM＋ON＝×＝6. ∴OM＋ON为定值6. 本讲内容结束 $$