第二编 专题练测9 平行四边形与特殊平行四边形的存在性问题-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学练测（湖南专用）

专题练测9 平行四边形与特殊平行四边形的存在性问题 2025中考 湖南 数学  1.如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD(AB＞AD)的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH.下列关于四边形EFGH的说法 正确的是(　　) ①存在无数个四边形EFGH是平行四边形； ②存在无数个四边形EFGH是菱形； ③存在无数个四边形EFGH是矩形； ④存在无数个四边形EFGH是正方形. A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ C 2.将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.点E，F分别是边AC，BC上的动点，各自同时从点A，点B向终点C运动，已知点E的速度为1单位长度/秒，若存在某个时刻四边形DEBF为平行四边形，则点F的速度为 __________单位长度/秒(　　)  A.1 B. C. D.2 A 3.如图，直线y＝3x＋b分别与x，y轴交于C，B两点，点C的坐标为(－1， 0)，过点B的直线交x轴正半轴于点A，且OA∶OC＝3∶1，在x轴下方存 在点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的 坐标为__________.  (2，－3) 4.如图，Rt△ABC的直角顶点B在x轴正半轴上，斜边AC在y轴上.线段OA，OB的长是方程x2－7x＋12＝0的两个根(OA＜OB). (1)求证：△AOB∽△BOC； 证明：∵∠ABC＝∠AOB＝90°＝∠BOC， ∴∠BAO＋∠ABO＝90°＝∠ABO＋∠OBC. ∴∠BAO＝∠OBC.∴△AOB∽△BOC. (2)点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点A，B，M，N为顶点的四边形是矩形?若存在，请求出所有符合题意的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.∵OA，OB的长是方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＜OB，∴(x－3)(x－4)＝0，解得x1＝3，x2＝4.∴OA＝3，OB＝4. 当点M在x轴上时，∠MAB＝90°. ∵∠MAB＝∠AOM＝∠AOB＝90°， ∴∠BAO＋∠ABO＝90°＝∠BAO＋∠MAO. ∴∠ABO＝∠OAM.∴△AOB∽△MOA. ∴.∴.∴MO＝. ∴M. ∵四边形ABNM是矩形， ∴xA＋xN＝xB＋xM，yA＋yN＝yB＋yM，∴xN＝4－－0＝，yN＝0＋0－3＝－3. ∴N； 当点M'在y轴上时，即点M'与点C重合时，∠M'BA＝90°.∵△AOB∽△BOC，∴，∴， ∴OC＝.∴C，即M'. ∵四边形ABM'N'是矩形，∴xA＋xM'＝xB＋xN'，yA＋yM'＝yB＋yN'. ∴xN'＝0＋0－4＝－4，yN'＝3－－0＝－. ∴N'； 当点M″与点O重合时，∠AM″B＝90°. ∵四边形AM″BN″是矩形，∴N″(4，3). 综上所述，点N的坐标为或 或(4，3).　 5.如图1，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴，点B(8，6)，若点D为矩形OABC的对角线AC的中点，过点D作AC的垂线分别交BC，OA于点E，F. (1)求线段EF的长度； 解：连接CF，AE. ∵CD＝AD，EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE. ∵BC∥OA， ∴∠DCE＝∠DAF，∠DEC＝∠DFA. ∴△CDE≌△ADF(AAS).∴CE＝AF. ∴CF＝AF＝AE＝CE. ∴四边形AECF是菱形. ∵BC⊥y轴，BA⊥x轴，∴A(8，0)，C(0，6). ∴OA＝8，OC＝6. ∵∠AOC＝90°， ∴AC＝＝10. ∴OF＝8－AF. ∵在Rt△COF中，OF2＋OC2＝CF2， ∴(8－AF)2＋62＝AF2.解得AF＝. ∵S菱形AECF＝AC·EF＝AF×OC， ∴×10EF＝×6.解得EF＝. ∴线段EF的长度为. (2)如图2，连接OD，直线EF交y轴于点G，若点P为射线GE上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以OD为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点P，Q的坐标，若不存在，请说明理由. 13 (2)存在，P(1，－1)，Q(－3，－4)；或P(7，7)，Q(3，4). [如解图1，点P在线段GD上，四边形PDOQ是菱形，则DP＝OD＝AD. 作DM⊥AB于点M，作PN⊥DM交MD的延长线于点N. ∵A(8，0)，C(0，6)，D是AC的中点， ∴D(4，3).∴M(8，3). ∵∠PND＝∠AMD＝∠ADP＝90°， ∴∠PDN＝∠DAM＝90°－∠ADM. ∴△PDN≌△DAM(AAS). ∴PN＝DM＝8－4＝4，DN＝AM＝3. 14 ∴MN＝DN＋DM＝3＋4＝7. ∴xN＝8－7＝1.∴N(1，3). ∵yP＝3－4＝－1，∴P(1，－1). 连接OP，取OP的中点I，则I. ∵点Q与点D(4，3)关于点I对称， ∴Q(－3，－4). 15 如解图2，点P在射线DE上，四边形PDOQ是菱形，则DP＝OD＝AD. 作DM⊥AB于点M，作PN⊥DM于点N. ∵∠DNP＝∠AMD＝∠ADP＝90°， ∴∠PDN＝∠DAM＝90°－∠ADM. ∴△PDN≌△DAM(AAS). ∴PN＝DM＝4，DN＝AM＝3. ∴MN＝DM－DN＝4－3＝1. ∴xN＝8－1＝7.∴N(7，3). 16 ∵yP＝3＋4＝7，∴P(7，7). 连接OP，取OP的中点I，则I. ∵点Q与点D(4，3)关于点I对称， ∴Q(3，4). 综上所述，P(1，－1)，Q(－3，－4)； 或P(7，7)，Q(3，4).] 17 本讲内容结束 $$