第二编 专题练测8 相似的综合运用-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学练测（湖南专用）

专题练测8　相似的综合运用 2025中考 湖南 数学  1.(2024·广西) 如图，在边长为5的正方形ABCD中，E，F，G，H分别为各边中点.连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么 四边形MNPQ的面积为(　　) A.1 B.2 C.5 D.10 C 2.(2024·绥化) 如图，已知点A(－7，0)，B(x，10)，C(－17，y)，在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y＝(k≠0)的图象相交 于点D，且OD∶OB＝1∶4，则k＝__________.　  －15 3.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，CD⊥AB.如果以AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，点D为坐标原点O，建立平面直角坐标系(如图2)，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段CB运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动.设运动时间为t秒. (1)当t为何值时，以点B，P，Q为顶点的三角形的面积为2? 解：过点P作PH⊥AB于点H. 在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，根据勾股定理，得BC＝6.　 ∵CO⊥AB， ∴S△ABC＝AC·BC＝AB·CO. ∴CO＝. 由运动知，BQ＝t，CP＝t. ∵BC＝6，∴BP＝6－t. ∵PH∥CO，∴△BPH∽△BCO. ∴，即. ∴PH＝. ∴S△BPQ＝BQ·PH＝t·＝－t(t－6)(0＜t＜6). ∵以点B，P，Q为顶点的三角形的面积为2， ∴－t(t－6)＝2. 解得t＝1或t＝5. ∴当t为1或5时，以点B，P，Q为顶点的三角形的面积为2. (2)是否存在点P，使以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. 解：存在. ①当∠BQP＝90°时，△PQB∽△ACB. ∴，即.解得t＝2.25； ②当∠BPQ＝90°时，△QPB∽△ACB. ∴，即.解得t＝3.75. 综上所述，t＝2.25或t＝3.75. 4.如图，四边形ABCD内接于☉O，AB为☉O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M，交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC. 求证：(1)MN是☉O的切线； 证明：连接OD交AC于点H. ∵AD＝CD，∴.∴半径OD⊥AC. ∴∠AHO＝90°. ∵∠ADM＝∠DAC，∴AC∥MN. ∴∠MDO＝∠AHO＝90°.∴半径OD⊥MN. ∴MN是☉O的切线. (2)AD2＝AB·CN. 证明：连接BD. ∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°. ∵AC∥MN，∴∠ACD＝∠CDN，∠DNC＝∠ACB＝90°＝∠ADB. 又∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABD＝∠CDN.∴△CDN∽△ABD. ∴.∴AD·CD＝AB·CN. ∵AD＝CD，∴AD2＝AB·CN. 5.已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共顶点A. (1)如图1，当点G在AD上，点F在AB上，求的值； 解：∵正方形AFEG与正方形ABCD有公共顶点A，点G在AD上，点F在AB上， ∴GE∥DC.∴.∴. ∵四边形AFEG是正方形，∴AE＝AG. ∴. (2)将正方形AFEG绕点A逆时针方向旋转α(0°＜α≤90°)，如图2，直接写出的值； 解：.　[提示：连接AE.] (3)若AB＝，AG＝1，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α(0°＜α≤360°)，当C，G，E三点共线时，求DG的长度. 解：连接DG，AE，易得△ADG∽△ACE. ∴.∴DG＝CE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC＝，AC＝＝2. ∵四边形AFEG是正方形， ∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝1. ∵C，G，E三点共线，∴∠AGC＝90°. ∴CG＝. 如备用图，①当正方形AFEG在AB上方时， CE＝CG－GE＝－1. ∴DG＝CE＝； ②当正方形AFEG在AB下方时， CE＝CG＋GE＝＋1. ∴DG＝CE＝. 综上所述，当C，G，E三点共线时，DG的长度为或. 14 本讲内容结束 $$