第二编 专题练测7 相似模型-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学练测（湖南专用）

专题练测7　相似模型 2025中考 湖南 数学  1.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，BE分别交AC， AD于点P，Q，AQ＝2QD，BE＝6，则BP的长为(　　) A.2.4 B.3.6 C.2 D.1.5 A 2.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝ 60°，若BD＝3DC，BE＝1.5，则△ABC的面积为(　　) A.9 B.16 C. D. B 3.如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别在边BC，CD上， AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝5，则FG的长为_______.  4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B， 且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N. 若AC＝2，则MN的长为_____.  5.问题背景　(1)如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 证明：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE. ∴∠BAD＝∠CAE，. ∴△ABD∽△ACE. 尝试应用　(2)如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值； 解：如解图1，连接EC. ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∠ABC＝∠ADE＝30°， ∴△ABC∽△ADE. 由(1)知△ABD∽△ACE，∴. ∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE. 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴. ∴××＝3. ∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC， ∴△ADF∽△ECF.∴＝3. 拓展创新　(3)如图3，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长. 解：AD＝.　[如解图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM. ∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°. ∴∠AMD＝30°.∴∠AMD＝∠DBC. 又∵∠ADM＝∠BDC＝90°， ∴△BDC∽△MDA.∴. 又∠BDC＝∠MDA， 10 ∴∠BDC＋∠CDM＝∠ADM＋∠CDM， 即∠BDM＝∠CDA.∴△BDM∽△CDA. ∴. ∵AC＝2， ∴BM＝2×＝6. ∴在Rt△ABM中，AM＝＝2.∴AD＝AM＝.] 11 6.如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6.点E是线段AD上的动点(点E不与点A，D重合)，连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F. (1)求证：△AEF∽△DCE； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，∴∠CED＋∠DCE＝90°. ∵EF⊥CE，∴∠CED＋∠AEF＝90°. ∴∠AEF＝∠DCE.∴△AEF∽△DCE. 12 (2)如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG.点M是线段BC的中点，连接GM. ①求AG＋GM的最小值； ②当AG＋GM取最小值时，求线段DE的长. 13 解：①如解图1，连接AM. ∵BG⊥CF，∴△BGC是直角三角形. ∵点M是BC的中点， ∴MB＝CM＝GM＝BC＝3. ∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上. 当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边，得AG＋GM＞AM； 14 当A，G，M三点共线时，AG＋GM＝AM， 此时，AG＋GM取得最小值. 在Rt△ABM中，AM＝＝5， ∴AG＋GM的最小值为5. 15 由①知△AEF∽△DCE，∴. 设DE＝y，则AE＝6－y. ∴，解得y＝3＋或y＝3－. ∵0＜3＋＜6，0＜3－＜6， ∴DE＝3＋或DE＝3－. 16 ②如解图2，过点M作MN∥AB交FC于点N， ∴△CMN∽△CBF，∴. 设AF＝x，则BF＝4－x. ∴MN＝BF＝(4－x).　 ∵MN∥AB，∴△AFG∽△MNG.∴. 由①可知AG＋GM的最小值为5，即AM＝5. 又∵GM＝BC＝3，∴AG＝2，∴.解得x＝1，即AF＝1. 17 7.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形： (1)如图1，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α.试猜想DE，BD，CE有怎样的数量关系，请证明你的结论； 18 解：DE＝BD＋CE. 证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α.∴∠DBA＝∠CAE. 在△ADB和△CEA中， ∴△ADB≌△CEA(AAS). ∴BD＝AE，AD＝CE. ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE. (2)老师鼓励学习小组继续探索相似的情形.于是，学习小组又研究以下问题：如图2，在△ABC中，∠B＝∠C＝α(0°＜α＜60°).将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P，Q不与三角形的顶点重合.设∠CPQ＝β.当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP∽ △PCQ?当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP∽△QCP? 解：∵∠APC＝∠B＋∠2＝α＋∠2＝30°＋β，∴∠1＝150°－β，∠2＝30°＋β－α. 由β＝∠2或∠1＝∠CQP，即∠2＝30°＋β－α＝β，解得α＝30°，则△ABP∽△PCQ. ∴当β在许可范围内变化时，α＝30°， 总有△ABP∽△PCQ；由β＝∠1或∠2＝∠CQP， 即∠1＝150°－β＝β，解得β＝75°. ∴当α在许可范围内变化时，β＝75°，总有△ABP∽△QCP. (3)试探索有无可能使△ABP，△QPC，△ABC两两相似?若可能，写出所有α，β的值(不写过程)；若不可能，请说明理由. 解：可能. ①当α＝30°，β＝30°时，∠2＝∠B＝α＝30°.则△ABP∽△PCQ∽△BCA； ②当β＝75°，α＝52.5°时， 同理可得∠1＝150°－β＝75°＝β， ∠2＝30°＋β－α＝52.5°＝α. ∴△ABP∽△CQP∽△BCA. 本讲内容结束 $$