第二编 专题练测5 动点问题中特殊三角形的存在性问题-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学练测（湖南专用）

专题练测5 动点问题中特殊三角形的存在性问题 2025中考 湖南 数学  1.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的 个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 B 2.已知直线y＝－x＋1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是第一象限 内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为(　　) A.(1，1) B.(1，1)或(1，2) C.(1，1)或(1，2)或(2，1) D.(0，0)或(1，1)或(1，2)或(2，1) C 3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，点B在y轴的正半轴上，且∠BAO＝60°，在坐标轴上取一点P，使得△PAB是等腰三 角形，则符合条件的点P有__________个.  6 4.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为 (6，0)，(0，2)，D是OA的中点，点P在边BC上，△ODP是等腰三角形 时，点P的坐标为_________________________________________.  (，2)或(3＋，2)或(3－，2)或 5.在矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为_______________.  2或1＋ 6.(2024·南充改编) 如图，正方形ABCD的边长为6 cm，E为对角线AC上一点，CE＝2AE，点P在AB边上以1 cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2 cm/s的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒(0＜t≤3). (1)求证：△AEP∽△CEQ； 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠PAE＝∠QCE＝45°. ∵CE＝2AE，AP＝t，CQ＝2t， ∴，∴△AEP∽△CEQ. (2)当△EPQ是直角三角形时，求t的值. 解：过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N. 由题意知CE＝4，AE＝2，AM＝ME＝2， EN＝CN＝4，AP＝t，CQ＝2t，BQ＝6－2t， MP＝|t－2|，BP＝6－t，QN＝|2t－4|， ∴EP2＝EM2＋MP2，即EP2＝22＋(2－t)2＝t2－4t＋8， PQ2＝BP2＋BQ2，即PQ2＝(6－t)2＋(6－2t)2＝5t2－36t＋72， EQ2＝EN2＋NQ2，即EQ2＝42＋(2t－4)2＝4t2－16t＋32. ①当∠EPQ＝90°时，EQ2＝EP2＋PQ2， 即4t2－16t＋32＝t2－4t＋8＋5t2－36t＋72， 整理，得t2－12t＋24＝0. 解得t1＝6－2，t2＝6＋2(不合题意，舍去)； ②当∠PEQ＝90°时，PQ2＝EP2＋EQ2， 即5t2－36t＋72＝t2－4t＋8＋4t2－16t＋32， 整理，得t－2＝0.解得t＝2； ③当∠PQE＝90°时，EP2＝PQ2＋EQ2， 即t2－4t＋8＝5t2－36t＋72＋4t2－16t＋32. 整理，得t2－6t＋12＝0，此方程无实数解. 综上所述，当△EPQ是直角三角形时，t的值为6－2或2. 9 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，2)，与反比例函数y＝在第四象限内的图象交于点C(6，a). (1)求反比例函数的表达式； 10 解：将A(4，0)，B(0，2)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x＋2. 当x＝6时，y＝－×6＋2＝－1. ∴C(6，－1). 将C(6，－1)代入y＝，得m＝－6， ∴反比例函数的表达式为y＝－. 11 (2)在双曲线y＝上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在. 过点A作AE⊥BC交y轴于点E， 则∠BAO＝90°－∠EAO＝∠AEO. ∵∠AOB＝∠EOA＝90°， ∴△AOB∽△EOA. ∴.∴. ∴OE＝8.∴E(0，－8). 12 设直线AE的表达式为y＝cx＋d. 将A(4，0)，E(0，－8)代入上式，得 解得 ∴直线AE的表达式为y＝2x－8. 联立解得或 ∴点P的坐标为(1，－6)或(3，－2). 13 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，P是线段OA上一动点(不与点A重合)，过点P作PC⊥AB于点C. (1)求点A与点B的坐标； 解：在y＝－x＋3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x＝4. ∴A(4，0)，B(0，3). 14 (2)连接BP，若BP平分∠ABO，求此时点P的坐标； 解：连接BP. ∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA＝4，OB＝3. ∴AB＝＝5. ∵BP平分∠ABO，PC⊥AB，∠BOP＝90°， ∴OP＝PC. 15 ∵S△AOB＝S△POB＋S△ABP， ∴OB·OA＝OB·OP＋AB·PC. ∴×3×4＝OP＋OP.∴OP＝. ∴P. (3)在(2)的条件下，M为x轴上动点，△CPM为等腰三角形，直接写出点M的坐标. 解：点M的坐标为(0，0)或(3，0)或或. 本讲内容结束 $$