第二编 专题练测2 最值问题-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学练测（湖南专用）

专题练测2　最值问题 2025中考 湖南 数学  1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF 的最小值是(　　) A.2.5 B.2.4 C.2.2 D.2 B 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3.P为△ABC内一点，且满足PA2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是 (　　) A.3 B.3 C. D. D 3.如图，一次函数y＝x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，C(－2，0)是x轴上一点，E，F分别为直线y＝x＋4和y轴上的两个动点，当 △CEF的周长最小时，点E，F的坐标分别为(　　) A.E，F(0，2) B.E(－2，2)，F(0，2) C.E，F D.E(－2，2)，F C 4.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，P，Q分别是BC，BD上的动点，则CQ＋PQ的最小值为_______.  5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝3，BD⊥AC于点D，若E 是线段BD上一动点，则CE＋BE的最小值为__________.  3 6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是BC边的中点， P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形 PDQ，连接CQ.则CQ的最小值是__________.  1 7.如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动.在运动过程中，当运动时间为 ________s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2.　  3 18 8 8.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，P为线段BD上的一个动点，则MP＋PB 的最小值为______.  9 9.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD. (1)求BD的长； 解：连接AC，设AC与BD的交点为O. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝6，AC⊥BD，AC平分∠BAD. ∵∠BAD＝120°， ∴∠CAB＝60°. ∴△ABC是等边三角形. ∴BO＝AB·sin 60°＝6×＝3. ∴BD＝2BO＝6. 10 (2)E为线段BD上一动点(不与点B，D重合)，点F在边AD上，且BE＝DF， ①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积； ②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE＋CF的值是否也最小?如果是，求CE＋CF的最小值；如果不是，请说明理由. 11 解：如图1，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N. 由(1)知，△ABC是等边三角形，BD＝6.∴AC＝AB＝6. 在菱形ABCD中，BC∥AD，∴MN⊥BC. ∵∠ABC＝60°， ∴∠EBN＝30°.∴EN＝BE. ∵S菱形ABCD＝AC·BD＝MN·BC， ∴MN＝3.设BE＝x，则EN＝x. 12 ∴EM＝MN－EN＝3x. ∵S菱形ABCD＝AD·MN＝6×3＝18， ∴S△ABD＝S菱形ABCD＝9. ∵BE＝DF，∴DF＝x. ∴S△DEF＝DF·EM＝·x＝－x2＋x. 记四边形ABEF的面积为S， 13 ∴S＝S△ABD－S△DEF＝9(x－3)2＋. ∵点E在BD上，且不在端点， ∴0＜BE＜BD，即0＜x＜6. ①当CE⊥AB时，∵OB⊥AC， ∴点E是△ABC的重心. ∴BE＝CE＝BO＝×3＝2. 此时S＝×(2－3)2＋＝7. ∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为7. 14 ②如图2，过点C作CH⊥AD于点H. ∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E，F分别在BD和AD上， ∴当点E，F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值. 易知△ACD是等边三角形， ∴AH＝DH＝3.∴CH＝3. ∵S＝＞0，0＜x＜6， ∴当x＝3，即BE＝3时，S达到最小值. ∵BE＝DF，∴DF＝3. 此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H的位置， ∴当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值.∴CE＋CF的最小值为CO＋CH＝3＋×3＝12. 本讲内容结束 $$