第一编 第五单元 第26讲 正方形-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学讲义（湖南专用）

第26讲　正方形 第五单元　四边形 2025中考 湖南 数学  2 3 2 3 2 1 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 目 录 2 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 01 3 理解正方形的概念；正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系 课标要求 1 正方形 定义：有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫作正方形 性质 判定 【提分点拔】 1.正方形的两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形. 2.正方形的边长与对角线的长度之比为1∶. 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形被任意一条过对角线交点的直线分成面积相等的两部分. 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (1)四边相等，四个角都等于① ______ (2)对角线互相垂直平分且②________，并且每条对角线平分一组对角  (3)既是中心对称图形，又是轴对称图形(4条对称轴) (4)面积：S＝a2＝AC2 性质 90° 相等 判定 (1)矩形＋一组邻边相等＝正方形 (2)菱形＋一个直角＝正方形 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 课标要求 2 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 从边、角的角度看： 从对角线的角度看： 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 6 定义：顺次连接任意四边形各边中点所形成的四边形叫作中点四边形中点四边形的形状由原四边形的两条对角线的位置关系和数量关系确定： (1)任意四边形平行四边形　 (2)对角线相等的四边形菱形 (3)对角线互相垂直的四边形矩形 (4)对角线互相垂直且相等的四边形正方形 中点四边形 判定中点四边形的形状的原理是三角形的中位线定理. 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 【温馨提示】 1.特殊四边形的中点四边形：(1)平行四边形→平行四边形；(2)矩形→菱形；(3)菱形→矩形；(4)正方形→正方形. 2.中点四边形的周长是原四边形两条对角线的长度之和，面积是原四边形面积的一半. 中点四边形 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 聚焦中考·培育核心素养 考点综述 02 9 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列判断正 确的序号是_________.  命题点 正方形的性质与判定(课标要求1，2) 例 1 ①若AC＝BD，∠1＝∠2，则▱ABCD是正方形； ②若∠2＝∠3＝45°，则▱ABCD是正方形； ③若AC⊥BD，AC＝BD，则▱ABCD是正方形； ④若AB＝BC＝CD＝DA，则▱ABCD是正方形； ⑤若∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则▱ABCD是正方形. ①②③ 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，并分别以AC，BD的长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP. (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； 例 2 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 解：四边形BPCO为平行四边形. 理由：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD. ∵分别以点B，C为圆心，并分别以AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，∴OB＝CP，BP＝OC. ∴四边形BPCO为平行四边形. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (2)当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形? 解：当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形. ∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°. ∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，∴OB＝OC. ∵四边形BPCO为平行四边形， ∴四边形BPCO为正方形. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°. (1)若∠BAE＝α，则∠FEC＝_________；(用含α的代数式表示)  (2)若AB＝6，DF＝3，BE的长为_________；  (3)若正方形ABCD的边长为1，求EF的最小值. 例 3 解：(1)2α　(2)2 2α 2 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 解：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则△ABG≌△ADF，可得△EAG≌△EAF， ∴GE＝FE，∠GAE＝∠FAE＝45°. 过A，G，E三点作圆，圆心为O，过点O作OH⊥GE，垂足为H，连接OG，OE. ∵∠GAE＝45°，∴∠GOE＝90°. 设OG＝OE＝OA＝r. ∴GE＝r. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ∵OG＝OE，OH⊥GE，∴H为GE的中点. ∵∠GOE＝90°，∴OH＝GE＝r. ∵AO＋OH≥AB，∴r＋r≥1. ∴r≥2－.∴GE＝r≥2－2. ∴GE的最小值是2－2. ∵EF＝GE，∴EF的最小值是2－2. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 1.“半角”模型中，一般作辅助线的方法是通过旋转构造全等. 2.几何题中的线段或角的计算注意方程思想的运用. 3.定角定高考虑隐圆. 提 分 拨 点 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 17 课堂反馈·落实学业要求 考点综述 03 18 1.下列命题，其中是真命题的是(　　) A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.对角线互相平分的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 D 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 2.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐 标是(　　) A.(3，－3) B.(－3，3) C.(3，3) D.(－3，－3) C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 3.如图，以正方形ABCD的边BC为一边，在正方形内部作等边三角形 BCE，连接DE，则∠CED的度数为(　　) A.45°　　 B.60°　　 C.75°　　 D.80° C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 4.(2024·广西) 如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点.连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边 形MNPQ的面积为(　　) A.1 B.2 C.5 D.10 C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 5.(2024·福建) 如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为 边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为_________.  2 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA. 求证：四边形AECF是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD. ∵BE＝DF，∴OE＝OF. ∴四边形AECF是菱形. ∵OE＝OA＝OF， ∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC. ∴四边形AECF是正方形. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 7.如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P. (1)求证：△ABN≌△DAM； 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC，∠DAM＝∠ABN＝90°. ∵BM＝CN， ∴BC－CN＝AB－BM，即BN＝AM. 在△ABN和△DAM中， ∴△ABN≌△DAM(SAS). 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 (2)求∠APM的大小. 解：由(1)知△ABN≌△DAM， ∴∠MAP＝∠ADM. ∴∠MAP＋∠AMP＝∠ADM＋∠AMP＝90°. ∴在△APM中，∠APM＝90°. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 请完成《练测本》P50~51素养综合练测26 本讲内容结束 $$