第二编 专题6 图形的平移、旋转与翻折-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学讲义（湖南专用）

专题6　图形的平移、旋转与翻折 2025中考 湖南 数学  2 3 2 3 2 1 知识储备 典例精讲 精题演练 目 录 2 知识储备 考点综述 01 3 1.图形的平移 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小，有下列基本性质：①平移前后的图形全等；②对应线段平行(或在同一条直线上)且相等、对应角相等；③对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 【要点诠释】要解决图形平移问题，必须把握好图形 平移的特征：①正确找出“对应线段，对应角”，从 而正确表达基本性质的特征；②“对应点所连的线段 平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据.巧妙利用图形平移的知识，用“静中取动”或“动中求静”来解决相关的问题.解决与平移相关的问题，常用到平行四边形、全等三角形知识，解题的关键是利用图形平移中的不变量与不变性.如图，△ABC向右平移得到△DEF，则有△DEF≌△ABC，▱ABED，▱CBEF，▱ADFC. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 2.图形的旋转 旋转是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种重要的解题方法.图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 【要点诠释】(1)旋转中的基本图形： 模型一：等腰三角形中的旋转　 模型二：四边形中的旋转　　 模型三：等边三角形中的旋转 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 模型四：正方形中的旋转 模型五：半角旋转 (2)利用旋转思想构造辅助线：①如模型一、模型二，遇等腰旋顶角，构造全等三角形；②如模型三，遇60°旋60°，构造等边三角形；③如模型四、模型五，遇90°旋90°，构造等腰直角三角形；④遇中点旋180°，构造中心对称. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 3.图形的翻折(轴对称) 图形的翻折就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果.翻折问题的实质是图形的轴对称变换，翻折更突出了轴对称问题的应用.在解决有关图形的翻折问题时，要充分运用轴对称的思想和轴对称的性质，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关翻折问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 【要点诠释】翻折问题我们特别要关注“两点一线”：在翻折过程中，我们应关注“两点”，即对称点，思考自问“哪两个点是对称点”；还应关注“一线”，即折线也就是对称轴.这是解决问题的基础.联想到重合与相等，遇到这类问题，我们应马上联想到“重合的线段相等，重合的角相等”，这是解决问题的关键.解这类题目，通常可以借助现成材料，亲自动手操作，然后观察思考得出答案.但由于考场环境和条件的限制，应根据上述知识，动手画出折后的图形. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 4.核心素养和技能 (1)通过基本图形的变换学会将图形变换理解成数学模型并翻译成数学符号语言，培养学生用数学的观点看待问题，用数学的语言表达问题. (2)平移、旋转、翻折与三角形、四边形、圆等综合，提高学生对知识的融会贯通，拓展知识的深度与广度. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 典例精讲 考点综述 02 12 综合与实践 问题情境：四边形ABCD是边长为的正方形，分别以AB，CD为边向正方形外侧构造两个等边三角形ABE和DCF.将△ABE沿射线AD平移得到△A'B'E'，点A，B，E的对应点分别为A'，B'，E'，连接DE'，FB'. 数学思考： (1)如图1，当点A'位于AD边上时，试判断四边 形E'B'FD的形状，并证明； 类型 1 图形的平移 例 1 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 解：四边形E'B'FD为平行四边形. 证明：根据题意，得AE＝AD＝BC＝CF，∠EAB＝∠FCD＝60°，∠BAD＝∠BCD＝90°. ∵将△ABE沿射线AD平移得到△A'B'E'， ∴AA'＝BB'，AE＝A'E'， ∠E'A'B'＝∠EAB＝60°，A'B'∥AB. ∴∠DA'B'＝90°，A'D＝CB'，A'E'＝CF＝B'E'＝DF. ∴∠E'A'D＝60°＋90°＝∠FCB'. ∴△A'DE'≌△CB'F(SAS).∴DE'＝B'F. 又∵DF＝B'E'， ∴四边形E'B'FD为平行四边形， 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)如图2，当四边形E'B'FD为矩形时，求△ABE平移的距离. 解：图2中，过点D作DK⊥A'E'于点K. ∵四边形E'B'FD为矩形，∴∠DE'B'＝90°. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ADC＝90°，AB∥CD.∴∠A'DC＝90°. 由平移的性质，得AB∥A'B'， ∠A'E'B'＝∠E'A'B'＝60°，A'E'＝. ∴CD∥A'B'. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 ∴∠DA'B'＝90°. ∴∠DE'A'＝∠DA'E'＝30°. ∴A'D＝DE'.∴A'K＝A'E'＝. 在Rt△A'DK中，cos∠DA'K＝. ∴A'D＝＝1.∴AA'＝AD＋A'D＝＋1. ∴△ABE平移的距离为＋1. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景.探究动点运动的几何问题.如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点(不含端点)，且AN＝BM. 【初步尝试】(1)如图①，当△ABC为等边三角形时， 小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD， 连接BD，则MN＝DB，请思考并证明； 例 2 类型 2 图形的旋转 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°，AB＝AC. ∵将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD， ∴DM＝AM，∠AMD＝120°. ∴∠DMB＝60°＝∠A. 又∵AN＝MB，∴△ANM≌△MBD(SAS). ∴MN＝DB. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB.试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由； 解：四边形AFBD为平行四边形. 理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°. ∵将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD， ∴MA＝MD，∠DMA＝∠DMB＝90°. ∴∠MAD＝∠MDA＝45°. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 ∴∠MAD＝∠ABF＝45°.∴AD∥BF. 在△ANM和△MBD中， ∴△ANM≌△MBD(SAS). ∴∠AMN＝∠MDB. ∵AE⊥MN，∴∠MAE＝90°－∠AMN＝90°－∠MDB＝∠MBD.∴DB∥AF. ∴四边形AFBD为平行四边形. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向：如图③，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN＋CM的最小值. 解：4.　[图③中，过点A作∠BAG＝45°，使AG＝CB，连接GM，GC，BG，延长CB，过点G作GO⊥CB于点O. ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4. ∴∠GAM＝∠BCN＝45°. ∵AN＝BM，∴AM＝CN. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 又∵AG＝CB，∴△GAM≌△BCN(SAS). ∴GM＝BN.∴BN＋CM＝GM＋CM≥CG. ∴当G，M，C三点共线时，BN＋CM的值最小，最小值为CG的长. ∵∠GAM＝∠ABC＝45°，∴AG∥BC. 又∵AG＝BC， ∴四边形ACBG是平行四边形.∴AC∥BG. ∴∠BAC＝∠ABG＝90°. ∴AB＝BG＝4. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 ∴∠GBO＝180°－∠ABG－∠ABC＝45°. ∴OG＝OB＝BG＝2.∴OC＝6. 在Rt△GOC中，GC＝＝4. ∴BN＋CM的最小值为4.] 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 (2024·湖北改编) 在矩形ABCD中，点E，F在边AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交边BC于点H. (1)求证：△EDP∽△PCH； 例 3 类型 3 图形的翻折 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°. ∴∠DPE＋∠DEP＝90°. 由翻折得∠EPH＝∠A＝90°. ∴∠DPE＋∠CPH＝90°.∴∠DEP＝∠CPH. ∴△EDP∽△PCH. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)如图①，若点P为CD的中点，且AB＝2，BC＝3，求GH的长； 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°. ∵点P为CD的中点，∴DP＝CP＝×2＝1. 设EP＝AE＝x，∴ED＝AD－AE＝3－x. 在Rt△EDP中，EP2＝ED2＋DP2， 即x2＝(3－x)2＋1.解得x＝. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 ∴EP＝AE＝.∴ED＝AD－AE＝. ∵△EDP∽△PCH，∴， 即.∴PH＝. ∵PG＝AB＝2，∴GH＝PG－PH＝. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 (3)如图②，连接BG，若点P为CD的中点，点H为BC的中点，探究BG与AB的数量关系，并说明理由. 解：AB＝BG.理由如下：如图②，延长AB，PG交于点M，连接AP. ∵点E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使点A的对应点P落在CD上， ∴AP⊥EF，BG⊥直线EF.∴BG∥AP. ∵AE＝EP，∴∠EAP＝∠EPA. ∴∠BAP＝∠GPA.∴MA＝MP. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 ∵点P为CD的中点， ∴设DP＝CP＝y.∴AB＝PG＝CD＝2y. ∵点H为BC的中点，∴BH＝CH. 又∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH， ∴△MBH≌△PCH(ASA). ∴BM＝CP＝y，HM＝HP. ∴MP＝MA＝MB＋AB＝3y. ∴HP＝PM＝y. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 在Rt△PCH中，CH＝y. ∴BC＝2CH＝y. ∴AD＝BC＝y. 在Rt△APD中，AP＝y. ∵BG∥AP，∴△BMG∽△AMP. ∴.∴BG＝y. ∴.∴AB＝BG. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 知识储备 典例精讲 精题演练 精题演练 考点综述 03 30 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2 cm，CD⊥AB，垂足为D，现将△ACD沿着AB方向平移1 cm得到△GEF，且此时BF＝CD，则CD的长度为 _______ cm.  首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 2.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点. (1)若正方形的边长为2，则△CEF的周长是_________；  (2)下列结论：①BM2＋DN2＝MN2；②连接MF，则△AMF为等腰直角 三角形.其中正确结论的序号是________.(把你认为所有正确的都填上)  4 ①② 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 3.(2024·湖南) 【问题背景】 已知点A是半径为r的☉O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)得到OE，连接AE，过点A作☉O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角. 【初步感知】 (1)如图①，当α＝60°时，∠CAE＝_________°；  30　[∵α＝60°，OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA＝α＝60°. ∵AC与圆相切，∴∠OAC＝90°. ∴∠CAE＝30°.] 30 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 【问题探究】 (2)以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F. ①如图②，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范 围内如何变化，BC＝CD＋ED总成立； 证明：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2r， ∴OA＝OE＝CF＝DF＝r. ∵∠OAC＝∠ADC＝90°， ∴∠OAE＋∠CAD＝∠ACD＋∠CAD. 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 ∴∠OAE＝∠ACD. ∵OA＝OE，CF＝DF， ∴∠OAE＝∠OEA＝∠ACD＝∠CDF. 在△OAE和△FCD中， ∴△OAE≌△FCD(AAS).∴AE＝CD. ∵AD＝AE＋ED，∴BC＝CD＋ED. 即无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD＋ED总成立. 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 ②如图③，当AC＝r，时，请补全图形，并求tan α及的值. 解：补全图形如图所示. ∵AC是切线，∴∠OAC＝90°. ∵AC＝r，∴tan α＝. 设OA＝3m，则AC＝r＝4m，OC＝5m. ∵，OE＝OA＝3m， ∴CE＝2m.∴OE＋CE＝5m＝OC， 即点E在线段OC上. 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 如图，过点O作OH⊥AE于点H，则AH＝EH. ∵∠OHE＝90°＝∠D，∠OEH＝∠CED， ∴△OEH∽△CED.∴. 设EH＝AH＝3a，则DE＝2a， ∴AD＝AH＋EH＋ED＝8a. 在Rt△ACD中， CD2＝AC2－AD2＝16m2－64a2. 在Rt△CED中， 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 CD2＝CE2－DE2＝4m2－4a2. ∴16m2－64a2＝4m2－4a2.解得a＝m. ∴BC＝AD＝m， CD＝m＝AB. ∴. 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 4.(2024·泰安) 综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组同学进行了数学折纸探究活动. 【探究发现】 (1)同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片 ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边 CD上，折痕为EF，将纸片展平，连接BG.EF与BG相交于 点H.同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你 判断同学们的发现是否正确，并说明理由. 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 解：正确.理由如下： 图1中，过点E作EM⊥BC于点M. ∵EF⊥BG，∴∠BHF＝90°. ∴∠HBF＋∠BFH＝90°. ∵∠EMF＝90°，∴∠MEF＋∠BFH＝90°. ∴∠MEF＝∠HBF. 又∵∠EMF＝∠C＝90°， ∴△EMF∽△BCG.∴. 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 ∵四边形ABCD是矩形，EM⊥BC， ∴∠A＝∠ABM＝∠BME＝90°， ∴四边形ABME是矩形.∴AB＝EM. ∴. 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 【拓展延伸】 (2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究， 如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同 学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点 C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF. 将纸片展平，连接EG，FH，FG.同学们探究后发现， 若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即BG2＝BD·GD.请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由. 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 解：同学们的发现正确.理由如下： ∵FG∥CD， ∴△BCD∽△BFG，∠CDF＝∠DFG. ∴. 由折叠知∠CDF＝∠BDF，∴∠DFG＝∠BDF.∴GD＝GF.∴. 由平行四边形及折叠知AB＝BG，AB＝CD， ∴.∴BG2＝BD·GD， 即点G为BD的一个“黄金分割点”. 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 5.(2024·齐齐哈尔) 综合与实践 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E. 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是_________；  解：AB＝DE　[∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD， ∴BC＝BD，∠CBD＝90°. ∴∠BCA＝∠DBE＝90°－∠ABC. 又∵∠A＝∠E＝90°， ∴△ABC≌△EDB(AAS).∴AB＝DE.] AB＝DE 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积； 解：∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD， ∴BC＝BD，∠CBD＝90°. ∴∠BCA＝∠DBE＝90°－∠ABC. ∵DE⊥AB，∴∠A＝∠BED＝90°. ∴△ABC≌△EDB(AAS). ∴AB＝DE，AC＝BE. 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 ∵AB＝2，AC＝6，∴DE＝2，BE＝6. ∴AE＝AB＋BE＝8. ∵∠DEB＋∠A＝180°，∴DE∥AC. ∴△DEF∽△CAF. ∴，即.解得EF＝4. ∴BF＝BE＋EF＝10. ∴S△BDF＝BF·DE＝10. 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则＝ _____；  解：　[如图，过点N作NM⊥AE于点M，则NM∥AC.∴△EMN∽△EAC.∴， 即.∴EM＝MN. 同理△BMN∽△BED，∴，即.解得MN＝. 由△BMN∽△CAB，得.] 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP＝， 请直接写出线段AP的长度. 解：线段AP的长度为或. 首页 目录 1 2 3 4 5 知识储备 典例精讲 精题演练 请完成《练测本》P78~80专题练测6 本讲内容结束 $$