第二编 专题4 角平分线的相关问题-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学讲义（湖南专用）

专题4　角平分线的相关问题 2025中考 湖南 数学  2 3 2 3 2 1 知识储备 典例精讲 精题演练 目 录 2 知识储备 考点综述 01 3 1.角平分线和平行线：有角平分线时，常常过角平分线上的一点作角一边的平行线，则会出现等腰三角形，为进一步证明或求解提供更多的条件. 2.角平分线与勾股定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，出现垂直，经常利用勾股定理解决三边关系问题. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 3.利用角平分线容易得到以下结论：如图，在△ABC中，BP，CP分别是两内角平分线，BQ是∠ABC外角平分线，CQ是∠ACB外角平分线，BP，QC交于点E，则①∠BPC＝90°＋∠A；②连接AP，则AP平分∠BAC；③∠E＝∠A；④∠Q＝90°－∠A；⑤∠BPC－∠Q＝2∠E. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 4.角平分线分线段成比例：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别垂直AB，AC于点E，F，则DE＝DF. ∵S△ABD∶S△ACD＝∶＝AB∶AC， 又∵S△ABD∶S△ACD＝BD∶DC，∴BD∶DC＝AB∶AC，即. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 5.核心素养：角平分线作为图形最基础的概念，在选择题、填空题和几何证明题中屡见不鲜，同学们除了掌握角平分线的概念和性质定理以外，还需要对常见的角平分线的模型进行了解，在平行线、三角形、四边形、圆等知识背景的基础上，结合角平分线得到一些常见的结论并对此进行分类整理. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 典例精讲 考点综述 02 8 (2024·江西) 追本溯源 题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2). (1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由. 方法应用 类型 1 角平分线和平行线 例 1 解：△BDE是等腰三角形.理由如下： ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD. ∴∠BDE＝∠ABD.∴EB＝ED. ∴△BDE是等腰三角形. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G. ①图中一定是等腰三角形的有(　　) A.3个　 B.4个　 C.5个　 D.6个 B 首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 解：①B　[在▱ABCD中，AE∥BC，AB∥CD. 同(1)∠ABE＝∠CBE＝∠AEB，∴AB＝AE. ∵AF⊥BE，∴∠BAF＝∠EAF. ∵AE∥BC，AB∥CD， ∴∠BGA＝∠EAF，∠BAF＝∠F. ∴∠BGA＝∠BAF，∠EAF＝∠F. ∵∠BGA＝∠CGF，∴∠CGF＝∠F. ∴AB＝BG，DA＝DF，CG＝CF， 即△ABE，△ABG，△ADF，△CGF都是等腰三角形，共有4个.] 首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 解： ②∵在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5， ∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝5.由①得DA＝DF， ∴CF＝DF－CD＝5－3＝2. ②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 ☞变式 如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线 BM交CD边于点M，则DM的长为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 B 首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 如图1是某施工现场图，据此构造出了如图2所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30 m.则点C到AB的距离为_________m，线段AD的长度为_________m.  例 2 类型 2 角平分线与勾股定理的综合 15 15 首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 ☞变式 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD.分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠ABC内交于点F.作射线BF交AC于点G. 若BG＝2，则△ABG的面积为(　　) A.1　　 B.　　 C.2　　 D.2 B 首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，BE平分∠CBD， 交CD于点E，交OC于点F，若AB＝4，则CF的长为(　　) A. B.4－4 C.2＋2 D.2 例 3 类型 3 角平分线分线段成比例 B 首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 ☞变式 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ADC的高，下列说法：①EF垂直平分AD；②DE＝DF；③； ④四边形AEDF的面积是△ABC面积的一半.其中正确的有(　　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 B 首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 (1)如图1，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，求证：∠BOC＝90°＋∠A；　 例 4 类型 4 双角平分线模型 证明：设∠ABO＝∠OBC＝x，∠ACO＝∠BCO＝y. 由△ABC的内角和为180°，得 ∠A＋2x＋2y＝180°.① 由△BOC的内角和为180°，得 首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 ∠BOC＋x＋y＝180°.② 由②，得x＋y＝180°－∠BOC.③ 把③代入①，得∠A＋2(180°－∠BOC)＝180°， 即2∠BOC＝180°＋∠A.∴∠BOC＝90°＋∠A. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)如图2，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，求证：∠BDC＝90°－∠A； 证明：∵BD，CD为△ABC的外角平分线， ∴∠BCD＝(∠A＋∠ABC)， ∠DBC＝(∠A＋∠ACB). 由三角形内角和定理，得 ∠BDC＝180°－∠BCD－∠DBC＝180°－[∠A＋(∠A＋∠ABC＋∠ACB)]＝180°－(∠A＋180°)＝90°－∠A. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 (3)如图3，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，求证：∠BDC＝∠A. 证明：如图，∵BD为△ABC的内角平分线， CD为△ABC的外角平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 由三角形的外角性质，得 在△BCD中，∠4＝∠2＋∠BDC.① 在△ABC中，2∠4＝2∠2＋∠A.② ①×2－②，得2∠BDC＝∠A， 即∠BDC＝∠A. 首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 ☞变式 如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2…… ∠A2 024BC与∠A2 024CD的平分线相交于点A2 025，得∠A2 025，则∠A2 025 ＝ _______.(用含α的代数式表示)　  首页 目录 类型1 类型2 类型3 类型4 知识储备 典例精讲 精题演练 精题演练 考点综述 03 23 1.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点 D，∠D＝40°，那么∠A等于(　　) A.50° B.60° C.70° D.80° D 首页 目录 1 2 3 4 6 5 知识储备 典例精讲 精题演练 2.如图，BD是矩形ABCD的对角线，DE平分∠BDC，若AB＝5，AD＝ 12，则线段BE的长为(　　) A. B. C.3 D.4 B 首页 目录 1 2 3 4 6 5 知识储备 典例精讲 精题演练 3.(2024·辽宁) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB，AD＝ a，AB＝10.以点A为圆心，AB长为半径作弧，与BC相交于点E，连接AE.以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M， N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在 ∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为 _________. (用含a的代数式表示)  a－10 首页 目录 1 2 3 4 6 5 知识储备 典例精讲 精题演练 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点， 若BD是∠ABC的平分线，则AD＝_________.  5 首页 目录 1 2 3 4 6 5 知识储备 典例精讲 精题演练 5.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD边的中点，∠ABE的平分 线交AD于点F，连接EF，则tan∠DEF的值为_________.  3－ 首页 目录 1 2 3 4 6 5 知识储备 典例精讲 精题演练 6.问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证.小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 知识储备 典例精讲 精题演练 尝试证明： (1)请参照小慧提供的思路，利用图2证明：； 证明：∵CE∥AB， ∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB. ∴△CED∽△BAD.∴. ∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD， ∴∠E＝∠CAD.∴CE＝AC. ∴. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 知识储备 典例精讲 精题演练 应用拓展： (2)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点.连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的点E处. ①若AC＝1，AB＝2，求DE的长； ②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长.(用含m，α的式子表示) 首页 目录 1 2 3 4 6 5 知识储备 典例精讲 精题演练 解：①∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的点E处， ∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE. 由(1)可知，. 又∵AC＝1，AB＝2， ∴.∴BD＝2CD. ∵∠BAC＝90°， ∴BC＝. ∴BD＋CD＝.∴3CD＝. ∴CD＝.∴DE＝. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 知识储备 典例精讲 精题演练 ②∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的点E处， ∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α. ∴tan C＝tan α＝. 由(1)可知， ∴tan α＝.∴BD＝CD·tan α. 又∵BC＝BD＋CD＝m， ∴CD·tan α＋CD＝m. ∴CD＝.∴DE＝. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 知识储备 典例精讲 精题演练 请完成《练测本》P74~75专题练测4 本讲内容结束 $$