2025年中考数学二轮复习课件：专题二 靶向提升二次函数的综合

2025年数学中考复习 专题二 靶向提升 二次函数的综合 2 重难点突破 经典试题解析 中考链接 核心素养培优 3 重难点突破 01 4 重点1 二次函数与几何图形的综合 1.常考的设问类型 （1）线段问题（线段的数量关系，线段长的最值，周长的最值等）； （2）面积问题； （3）特殊图形存在性问题； （4）角度的数量关系问题。 2025年 中考复习 · 数 学 5 2.二次函数与几何图形综合的常用方法 （1）待定系数法:根据原始条件所给点的坐标，设关系式的恰当形式, 代入点的坐标解方程（组）可得函数关系式；对于变换后的抛物线,根据变 换特点,一般以顶点式确定特殊点的对应点坐标来确定变换后的关系式。 （2）数形结合、转化法:数形结合问题,也可以看作代数、几何综合问 题。二次函数中常考的题目类型主要是坐标系中的几何问题,以及图形运动 过程中函数解析式、动点的坐标计算等，方法就是把点的坐标转化为点到 坐标轴的距离,或者把点到坐标轴的距离转化为点的坐标进行计算。 2025年 中考复习 · 数 学 6 （3）模型构造法:模型构造主要分图形模型构造和方程模型构造。图 形模型构造表现在抛物线与三角形等几何图形综合时,添加辅助线，例如过 某些特殊点向坐标轴作垂线段,实现点的坐标与线段长度的相互转化；方程 模型构造表现在寻找动点满足的某种等量关系（线段长度或坐标本身）,列 出与动点的坐标有关的方程,通过解方程计算满足条件的动点坐标。 2025年 中考复习 · 数 学 7 （4）分类讨论法:构造与已知三角形全等或相似的三角形时,要考虑顶点 的对应关系是否有变化,分不同情况考虑解的合理性；遇到二次函数与特殊三 角形的存在性问题时,根据特殊三角形形状的判定考虑分类；遇到二次函数与 平行四边形的存在性问题时,根据已给线段是边还是对角线进行分类等。 2025年 中考复习 · 数 学 8 温馨提示 二次函数与几何图形结合中常用的结论：（1）水平线段的 长度线段端点的横坐标之差；竖直线段的长度 线段端点的纵坐标之 差 。 （2）点到坐标轴 , ,根据勾股定理，可得 。 2025年 中考复习 · 数 学 9 重点2 二次函数的实际应用 1.几何图形中的面积问题 通常根据题目中的图形面积公式构造关于自变量 的二次函数表达式， 求面积最值时，把二次函数表达式转化为顶点式，利用二次函数的性质求 最值，同时要关注自变量的取值范围。 2025年 中考复习 · 数 学 10 2.购买销售问题 利用二次函数求最大利润等问题，常与一次函数、不等式、方程相联 系，再结合二次函数的性质求最值。利润问题是购买销售问题中的重点问 题，对于这类问题，解题的一般步骤为：（1）设出自变量，用含自变量 的代数式表示销售的单价、销售量及销售收入等；（2）用含自变量的代 数式表示销售商品的成本；（3）用自变量和含自变量的代数式表示销售 利润，即可得到函数表达式；（4）根据函数表达式求出最值及取得最值 时的自变量的值。 2025年 中考复习 · 数 学 11 3.抛物线形问题 这类问题的情境通常有一个抛物线形的物体，如隧道、桥梁、喷泉等, 可以通过构造二次函数模型，利用其表达式解决问题。一般方法是利用数 形结合和函数思想，建立合理的平面直角坐标系，设出适当的函数表达式， 由已知点所在的位置，利用待定系数法求出未知量，从而得出函数表达式， 再由二次函数的性质去分析解决问题。 温馨提示 在实际问题中，自变量的取值范围往往会受到实际条件的 限制，此时要注意自变量的取值范围会影响最值的大小。 2025年 中考复习 · 数 学 12 经典试题解析 02 13 知识点1 二次函数与线段最值问题 图2-14-1 例1 （2024 · 毕节）在平面直角坐标系 中，抛物线与轴交于 ， 两点，与轴交于点，作直线 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 14 （1）求抛物线的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 15 1 2 3 4 5 6 7 解 （1） 抛物线与轴交于， 两点， 解得 抛物线的解析式为 。 2025年 中考复习 · 数 学 16 （2）如图2-14-2，过点作，垂足为，交于点 。 图2-14-2 ， ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 17 直线的解析式为 。 ， ， 。 ， ， 又 ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时， 最大。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 设，则 ， ， ， 当时，最大，的最大值为 ， 的最大值为，此时 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 知识点2 二次函数与特殊三角形 图2-14-3 例2 （2024 ·九江）如图2-14- 3，抛物线与 轴交 于点和点，与 轴交于 点。点 是抛物线的顶点。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 20 （1）求抛物线的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 （2）如图2-14-3，连接，，直线交抛物线的对称轴于点 。若点 是直线上方抛物线上一点，且，求点 的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点 ， ，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由。 2025年 中考复习 · 数 学 21 1 2 3 4 5 6 7 思路分析（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得,,的坐标，根据勾股定理的逆定理得出 是等腰直 角三角形，进而得出，连接，，设交 轴 于点，则由得出 是等腰直角三角形，进而得出 ，则点与点重合时符合题意，过点作 交抛物线于 点，得出直线的解析式为 ，联立方程组即可求解； （3）分别表示出，, ，根据等腰三角形的性质，分类讨论列 方程，即可求解。 2025年 中考复习 · 数 学 22 1 2 3 4 5 6 7 解 （1） 抛物线与轴交于点和点 ， 解得 抛物线的解析式为 。 2025年 中考复习 · 数 学 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 1 2 3 4 5 6 7 解得 直线的解析式为 ， 当时，，则 ， ， , , ， 是等腰直角三角形， 2025年 中考复习 · 数 学 25 1 2 3 4 5 6 7 。 如图2-14-4，连接，，设直线交轴于点，则 ， 是等腰直角三角形， ， ， 又 ， ， ， 点与点重合时符合题意， 。 2025年 中考复习 · 数 学 26 1 2 3 4 5 6 7 如图2-14-4，过点作交抛物线于点 ，连接 ，，则 , 设直线的解析式为，将 代入得， ，解得 ， 直线的解析式为 ， 联立方程组得 解得或 综上所述，点的坐标为或 。 图2-14-4 2025年 中考复习 · 数 学 27 1 2 3 4 5 6 7 ， ， 。 点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设 ， ， ， ①当时，，解得或 ； ②当时，，解得 ； ③当时，，解得或 （舍去）， 综上所述，或或或 。 2025年 中考复习 · 数 学 28 方法指导 1.二次函数与直角三角形结合的问题 问题:已知点，和直线,在上求点,使 为直角三角形。 分情况讨论:①以为直角顶点;②以为直角顶点;③以 为直角顶点。 即“两线一圆”模型: 情况一:分别过点，作的垂线，与直线的交点即为所求作的点 ； 情况二:以为直径作圆,圆与直线的交点即为所求作的点 。 图2-14-5 2025年 中考复习 · 数 学 2.二次函数与等腰三角形结合的问题 问题：已知线段，在直线上找一点使得 为等腰三角形。 分情况讨论：;; 。 图2-14-6 即“两圆一线”模型: 情况一：以为腰时，分别以点，为圆心, 长为半径的圆与直线的交点即为所求作的点 ； 情况二：以为底时，的垂直平分线与直线 的 交点即为所求作的点 。 2025年 中考复习 · 数 学 知识点3 二次函数与特殊平行四边形 图2-14-7 例3 如图2-14-7，抛物线 与轴相交于点 ， （点在点左侧），与 轴相交于 点 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 31 （1）求点到直线 的距离； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作直线 的垂线，垂足 为点，过点作轴交于点，求周长的最大值及此时点 的坐标； （3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线 ，平移后的抛物 线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点 是平面坐标系内 一点，是否存在点，，使以点，，， 为顶点的四边形为菱形， 若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由。 2025年 中考复习 · 数 学 思路分析 （1）连接，过作,垂足为，由 ， 可得，，，再用等积法可得点到直线 的距离； （2）由，得直线的解析式，证明 是等腰直角三角 形，求得，设点 的坐标为 ，用含的式子表示 的周长，根据二次函数性质 可得答案； （3）先求出平移后抛物线的解析式，再设， ，最后根 据菱形的性质和判定分类讨论列方程组求解即可。 2025年 中考复习 · 数 学 解 （1）连接，过作，垂足为 ，如图2-14-8。 图2-14-8 在中，令，得 ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 34 ， 。 在中，令，得 ， 解得或 ， ， ， ， ， ， 。 ， ， 点到直线的距离为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 （2）由，可得直线解析式为， ， 。 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则 ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 36 ， ， 当时，的周长最大，周长最大为 ， 此时 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 （3）存在点，，使以点，，， 为顶点的四边形为菱形。理由如下： 将抛物线 向左平移2个单位长度得到新的抛物线 ， 联立方程组 解得 。 设， ， 又， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 38 ①以，为菱形的对角线，则，的中点重合，且 ， 解得或 或 ； 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 39 ②以，为菱形的对角线，则，的中点重合，且 ， 解得（舍去）或 ； 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 40 ③以，为菱形的对角线，则，的中点重合，且 ， 解得 ； 综上所述，点的坐标为或或或 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 41 方法指导 1.探究平行四边形存在性问题的方法 （1）已知平面内不共线三定顶点,求一动顶点，使得 ， ，,组成平行四边形:顺次连接，，，分别过点，， 作对 边的平行线,三条平行线的交点即为所有点 ； （2）已知平面内两定顶点,求两动顶点，使，，， 四点组成平行四边形:分为边和为对角线两种情况讨论。 为平行 四边形的边时,平移,利用平行四边形的对边平行且相等确定点， 的位 置；为平行四边形的对角线时，取 的中点,利用平行四边形的对角 线互相平分确定点， 的位置。 2025年 中考复习 · 数 学 2.探究菱形存在性问题的方法 （1）利用菱形的四条边相等这一性质，通过点的坐标关系，列出方 程求顶点坐标； （2）利用菱形的对角线互相平分且垂直（或两条对角线互为中垂线） 这一性质，以交点的坐标为“桥梁”构造直角三角形，利用勾股定理列方程 求顶点坐标； （3）若以点，，，构成菱形，分类讨论：为边时； 为对角线时。列方程求顶点坐标。 2025年 中考复习 · 数 学 3.探究矩形存在性问题的方法 （1）将矩形问题转化成直角三角形的问题，利用勾股定理求解； （2）表示出矩形顶点坐标，利用矩形的对角线相等这一性质列方程 求解；也可利用矩形的中心对称性，通过点的坐标关系求解； （3）若以点，，，构成矩形，分类讨论：为边时； 为对角线时。列方程求解。 2025年 中考复习 · 数 学 4.探究正方形存在性问题的方法 （1）根据正方形的一组邻边相等，构造“一线三垂直”的三角形全等， 然后得到线段间的等量关系，求解即可； （2）若以点，，，构成正方形，通常以 为边分类讨论，在 的两侧会有两个正方形，构造全等三角形求点的坐标。 2025年 中考复习 · 数 学 知识点4 二次函数与三角形相似（全等） 图2-14-9 例4 如图2-14-9，在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ，和，连接 ， 为抛物线上一动点，过 点作轴，垂足为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 46 （1）求抛物线和直线 的解析式； （2）如图2-14-9①，连接，，当是直角三角形时，求 的值； （3）点在第一象限内运动过程中，若在轴上存在点，使得以， ， 为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点 相对 应），请直接写出 的值。 2025年 中考复习 · 数 学 思路分析 （1）将点，，代入 ，进 而可得抛物线的解析式，用待定系数法求直线 的解析式即可； （2）由题意知，当是直角三角形时，分 和 两种情况求解；当 时，轴， ，则 ，计算求出的值即可；当 时， ，， ，根据勾股定理求解即可； （3）由，点在第一象限内运动，可知 。由 ，可得 ， ， 。由点与点相对应，可分 和 两种情况求解即可。 2025年 中考复习 · 数 学 解 （1）将点，，代入 得， 解得 抛物线的解析式为 。 设直线的解析式为 ， 将， 代入得， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 49 解得 直线的解析式为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 （2）由题意知，当是直角三角形时，分 和 两种情况。 当 时，由题意知， 轴， ， ， 解得（舍去）或 ； 当 时， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 51 ， ， ，， ， 由勾股定理得，即 ， 又 ， 联立①②，解得或 （舍去）， 综上所述，的值为1或 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 ，点 在第一象限内运动， 。 ， ，， 。 点与点 相对应， 或 ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 53 ① 当时，即 时，如图2-14-10， 图2-14-10 直线的解析式为 ， ， 解得或 （舍去）。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 54 ②当时，即 时，当点在点 上方时， , 。 ， ，即 , 解得（舍去）或 （舍去）； 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 55 当点在点下方时，如图2-14-11，作轴，垂足为 ， 图2-14-11 , 。 ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 56 ，即 ， 解得或 （舍去）， 综上所述，的值为或 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 方法指导 探究相似三角形存在性问题的方法 （1）当相似关系确定时,设出点的坐标，表示出线段长，根据比例关 系求解； （2）当相似关系不确定时，先确定是否为直角三角形，当三角形是 直角三角形时，找对应的直角关系；当三角形是一般三角形时，找隐含的 等角关系再求解。 2025年 中考复习 · 数 学 知识点5 二次函数与图形面积 图2-14-12 例5 如图2-14-12，过原点的二次函 数的图像与 轴正半轴 交于点，经过点 的直线与该函数 图像交于，与 轴交于点 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 59 （1）分别求此二次函数与直线 的解析式； （2）点是第四象限内二次函数图像上的一个动点，过点作直线 轴，垂足为点，与直线交于点，设点的横坐标为 。 ①当时，求 的值； ②当点在直线下方时，连接，过点作轴，垂足为点， 与交于点，连接，求四边形 面积的最大值。 2025年 中考复习 · 数 学 思路分析 （1）利用待定系数法可求得直线的解析式，再求得点 的坐 标，代入二次函数的解析式求解即可； （2）①分当点在直线上方和点在直线 下方时两种情况讨论，根 据 列一元二次方程求解即可； ②证明，推出，再证明四边形 为矩形，利 用矩形面积公式得到二次函数的解析式，再利用二次函数的性质即可求解。 2025年 中考复习 · 数 学 解 （1）设直线的解析式为 ， 将，两点的坐标，分别代入，得 解得 直线的解析式为 。 将代入，得 ， 点的坐标为 ； 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 62 将，两点的坐标，分别代入 ， 得解得 二次函数的解析式为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 点在第四象限内二次函数的图像上，且 轴 ，垂足为点，与直线交于点，点的横坐标为 。 ， ， ，， 。 点的坐标为 ， 。 ， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 64 图2-14-13 如图2-14-13，当点在直线 上方时， 。 ， 。 解得， ， ， ； 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 65 图2-14-14 如图2-14-14，当点在直线 下方时， 。 ， ， 解得， ， 综上所述，的值为2或3或 ； 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 66 ② 如图2-14-15，由①知，，， 。 图2-14-15 轴，垂足为，交于点，点的坐标为 ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 。 点在直线 下方， 。 轴，垂足为 ， ， ， ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 ， ， ， 四边形 为平行四边形， 轴， 平行四边形 为矩形， ， ， 当时，四边形的面积最大，最大面积为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 方法指导 二次函数与三角形面积相关问题 在平面直角坐标系中涉及图形面积的计算时，先找图形中有无特殊图 形,从图形面积的计算公式出发进行计算，所需的线段长度尽量是坐标轴上 或平行于坐标轴的线段长度,也可利用铅垂线分割的方法,再利用点的坐标 的几何意义,得到线段的长度或表示出线段的长度。常见的有以下3种方法： 2025年 中考复习 · 数 学 1.直接使用公式法： 。 图2-14-16 2025年 中考复习 · 数 学 2.分割法： 。 图2-14-17 2025年 中考复习 · 数 学 3.补全法： 。 图2-14-18 2025年 中考复习 · 数 学 知识点6 二次函数与实际应用 例6 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价 不低于44元，且不高于52元。某商户在销售期间发现，当销售单价定为44 元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个。现商 家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为 元。 （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量 的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利 润 （元）最大？最大利润是多少元？ 2025年 中考复习 · 数 学 74 思路分析（1）根据题意直接写出与 之间的函数关系式和自变量的取值 范围； （2）根据“销售利润销售量 （售价-进价）”列出每天的销售利润 与 销售单价 之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润。 2025年 中考复习 · 数 学 （2）根据题意得 ， ， 当时，随 的增大而增大。 ， 当时，有最大值，最大值为 。 答：将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润 最大，最大利润是2 640元。 1 2 3 4 5 6 7 解 （1）根据题意得 ， 与之间的函数关系式为 。 2025年 中考复习 · 数 学 76 例7 （项目式学习）根据以下素材，探索完成任务。 素材1：图2-14-19①是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞 机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集发现飞机相对于出发点的飞行 水平距离随飞行时间的变化满足一次函数关系；飞行高度 随 飞行时间 的变化满足二次函数关系。数据如下表所示。 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 8 16 24 32 … 飞行高度 0 18 32 42 48 … 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 77 素材2：图2-14-19②是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一 个高度可以变化的发射平台 ，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹 可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知 , 。 图2-14-19 问题解决： 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 78 任务1： 确定函数表达式。 ①直接写出关于 的函数表达式：_______； [解析] 设，将， 代入得 解得 关于的函数表达式为 ， 故答案为 ； 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 79 ②求出关于 的函数表达式。 解设关于的函数表达式为，将， ， 代入得 解得 关于的函数表达式为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 80 任务2： 探究飞行距离。当飞机落地（高度为 ）时，求飞行的水平距离。 当飞机落地时，即 ， ， 解得或 （不合题意，舍去）。 又 ， 当时， 。 答：飞机落地时，飞行的水平距离为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 81 任务3： 确定弹射口高度。当飞机落到回收区域内（不包括端点 ， ）时，请写出发射台弹射口高度 的变化范围：____________。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 82 [解析] 由和得 ， 设发射台弹射口高度为 ，则此时抛物线的表达式为 ， 当时， ， 解得 。 当时， ， 解得，即 。 故答案为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 83 思路分析 任务1：根据表格数据，利用待定系数法求函数表达式即可； 任务2：令，解方程 即可求解； 任务3：设发射台弹射口高度为 ，则此时抛物线的表达式为 ，分别求得落地点和点时的值，进而可得 的取 值范围。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 84 中考链接 03 85 图2-14-20 1.（2024·湖州中考）一条河上横跨 着一座宏伟壮观的悬索桥。桥梁的缆 索与缆索 均呈抛物线型，桥塔 与桥塔 均垂直于桥面，如图2- 已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔 与桥塔之间的距离，，缆索 的最低点 到的距离 。（桥塔的粗细忽略不计） 14-20，以为原点，以直线为轴，以桥塔所在直线为 轴，建立平 面直角坐标系。 1 2 3 4 2025年 中考复习 · 数 学 86 （1）求缆索 所在抛物线的函数表达式； 解：由题意得 ， 。 ，缆索的最低点到的距离 ， 缆索所在抛物线的顶点的坐标为 。 设所在抛物线的函数表达式为 ， 将 代入抛物线的表达式可得， ， 解得 ， 缆索所在抛物线的函数表达式为 。 1 2 3 4 2025年 中考复习 · 数 学 87 （2）点在缆索上，，且，，求 的长。 缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于 轴对称， 又缆索所在抛物线的函数表达式为 ， 缆索所在抛物线的函数表达式为 ， 令 ， ， 解得或 。 又 ， ，的长为 。 1 2 3 4 2025年 中考复习 · 数 学 88 图2-14-21 2.（2023·大连）某校想将新建 图书楼的正门设计为一个抛物线形拱 门，并要求所设计的拱门的跨度与拱 高之积为 ，还要兼顾美观、大 方、和谐、通畅等因素，设计部门按 要求给出了两个设计方案。现把这两 方案一：抛物线形拱门的跨度，拱高 。其中，点 在轴上，， 。 个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图2-14-21所示： 1 2 3 4 2025年 中考复习 · 数 学 89 方案二：抛物线形拱门的跨度，拱高 。其中，点 在轴上，， 。 要在拱门中设置高为 的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细 忽略不计）。方案一中，矩形框架的面积记为，点， 在抛物线 上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点， 在抛物线上，边在 上。现知，小华已正确求出方案二中，当 时， ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列 问题： 1 2 3 4 2025年 中考复习 · 数 学 90 （1）求方案一中抛物线的函数表达式； 解：由题意知，方案一中已知抛物线的顶点 ，设抛物线的函数表达 式为,将 代入， 得，解得 , 抛物线的函数表达式为 。 1 2 3 4 2025年 中考复习 · 数 学 91 （2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积 ，并比较 ， 的大小。 令，则 ， 解得， , ， 。 ,而 ， 。 1 2 3 4 2025年 中考复习 · 数 学 92 图2-14-22 3.（2022·连云港）现要修建一条隧道，其截面为 抛物线形状，如图2-14-22，线段 表示水平的路面， 以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点 垂 直于轴的直线为 轴，建立平面直角坐标系。根据 设计要求：，该抛物线的顶点到 的距 离为 。 1 2 3 4 2025年 中考复习 · 数 学 93 （1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式； 解：由题意得，抛物线的顶点的坐标为 ， 设抛物线的函数表达式为 ， 把代入，得，解得 ， 抛物线的函数表达式为 。 1 2 3 4 2025年 中考复习 · 数 学 94 （2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图2-14-22，即在该抛物线上 的点，处分别安装照明灯。已知点，到的距离均为，求点 ， 的坐标。 令，得 ， 解得， ， , 。 1 2 3 4 2025年 中考复习 · 数 学 95 4.（2023·崇左）已知抛物线与轴交于点， （点在点的左侧），与轴交于点 。 （1）求点， 的坐标； 解： ， 令，得 ， 。 令，得 ， 解得， ， 。 1 2 3 4 2025年 中考复习 · 数 学 96 （2）设点与点关于该抛物线的对称轴对称。在轴上是否存在点 ，使 与相似，且与是对应边?若存在，求出点 的坐标；若 不存在，请说明理由。 1 2 3 4 2025年 中考复习 · 数 学 97 存在。由已知得，该抛物线的对称轴为直线 。 点与点关于直线 对称， ， 。 设 , ，且与 是对应边， 当时， , 即 ， 解得， ， 或 。 1 2 3 4 2025年 中考复习 · 数 学 98 核心素养培优 04 99 1.（2024·贵阳）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产 品也随之畅销全国。某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30 天中，第天且为整数的售价为元/。当 时， ；当时，。销量与 的函数关系式为 ，已知该产品第10天的售价为20元/ ，第 15天的售价为15元/ ，设第天的销售额为 （元）。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 100 （1）____， ____； -1 30 [解析] 依题意，将，代入 ， 解得 。 故答案为 ，30。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 101 （2）写出第天的销售额与 之间的函数关系式； 解：依题意， 当时， ； 当时， ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 102 （3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？ 依题意，当 时， 。 当时， ， 解得，且 为正整数， 第24天至第30天，销售额超过500元， （天）。 答：在试销售的30天中，共有7天销售额超过500元。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 103 图2-14-23 2.如图2-14-23，抛物线 与轴交于点，与直线 交于 点，点在 轴上。点 从点出发，沿线段 方向匀速运 动，运动到点 时停止。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 104 （1）求抛物线 的表达式； 解： 抛物线过点 ， ， ， 抛物线的函数表达式为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 105 （2）当时，请在图2-14-23①中过点作 交抛物线于点 ，连接，，判断四边形 的形状，并说明理由； 四边形 是平行四边形，理由如下： 如图，作交轴于点，交抛物线于点 ，连接 , 。 点在 上， ， 。 ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 106 ， 。 当时， ， 。 ， ， 。 轴， 轴， ， 四边形 是平行四边形。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 （3）如图2-14-23②，点从点开始运动时，点从点 同时出发，以与 点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点 也停止运动。 连接，，求 的最小值。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 108 如图，由题意得，，连接 。 在上方作，使得 ， 。 ， ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 109 ， 。 在和 中， ， ， （当，，三点共线时， 最短）， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 的最小值为 。 ， ， 的最小值为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 图2-14-24 3.（2024·嘉兴）如图2-14- 24，在平面直角坐标系中，已知直线 与轴交于点，与 轴交 于点，过， 两点的抛物线 与 轴的另 一个交点为点，点是抛物线位于第四象限图像上的动点，过点 分别作轴和轴的平行线，分别交直线于点，点 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 112 （1）求抛物线的解析式； 解：直线与轴交于点，与轴交于点，则点， 的坐标分 别为， ， 设抛物线的解析式为 ， ，解得 ， 抛物线的解析式为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 113 （2）点是轴上的任意一点，若是以 为腰的等腰三角形，请直 接写出点 的坐标； 设点的坐标为 ， 由点，，的坐标得，，， ， 则或 ， 即或 ， 解得或4（舍去）或 ， 点的坐标为或或 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 114 （3）当时，求点 的坐标； 轴， 。 轴， 。 又 ， , 。 设，则 , 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 115 ， ， 解得 ， 当时， ， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 （4）在（3）的条件下，若点是轴上的一个动点，过点 作抛物线对称 轴的垂线，垂足为，连接，，则 的最小值为_ ____。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 117 [解析] 抛物线的对称轴为直线,作点 关于 轴的对称点，将点向右平移 个单 位长度，得到点 ， 连接交抛物线对称轴于点，过点 作 轴，垂足为，连接， 。 且，则四边形 为平行四边形，则 ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 118 则 最小，最小值为 。 故答案为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 图2-14-25 4.（2023·漳州）如图2-14-25，抛物线 过点， ， 。 （1）求抛物线的解析式； 解：由题意，设抛物线的解析式为 ， 则 ， 解得 ， 抛物线的解析式为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 120 （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出 的最大面积及此时 点 的坐标； 设直线的解析式为，将， 代入得， 解得 直线的解析式为 。 ， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 121 如图，过点作轴的平行线交于点，连接， 。 设点，则点 ， , 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 122 ， 当时，的面积最大，最大面积为，此时 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点 为坐标平面内一点，是否存在 以为边，点，，， 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出 点 的坐标；若不存在，请说明理由。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 124 存在。理由如下： ， ， 。 抛物线的解析式为 ， 抛物线的对称轴为直线 。 设点， ， 若为菱形 的边， 则，即 ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 125 解得， ， ， ； 若为菱形 的边， 则，即 ， 解得， ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 ， 。 综上所述，点的坐标为或或 或 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 图2-14-26 5.（2024·浙江）如图2-14-26，在平面直角 坐标系中，二次函数 的图像 经过原点和点。经过点 的直线与该二次函数图 像交于点，与轴交于点 。 （1）求二次函数的解析式及点 的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 128 解：把，，代入 ， 得解得 二次函数的解析式为 。 设直线的解析式为 ， 则解得 直线的解析式为 。 当时， ， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 129 （2）点是二次函数图像上的一个动点，当点在直线上方时，过点 作轴，垂足为点，与直线交于点，设点的横坐标为 。 ①为何值时线段 的长度最大，并求出最大值； 设，则 ， ， 当时，有最大值，最大值为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 130 ②是否存在点，使得与相似。若存在，请求出点 坐标；若 不存在，请说明理由。 ， ， 。 又 ， ， 又 轴， 轴， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 131 如图，当 时， ， 轴， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 132 点 的纵坐标为3， ， 解得（舍去）， ， 点的坐标为 ； 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 如图，当时，过作，垂足为 ， 则， ， 又 ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 134 ， ， ， ， ， 解得， （舍去）， ， 点的坐标为 ， 综上，当的坐标为或时，与 相似。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 图2-14-27 6.如图2-14-27，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标轴交于， 两点， 直线交轴于点，点为直线 下方 抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为， 分 别交直线，于点， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 136 （1）求和 的值； 解： 抛物线与坐标轴交于， 两点， 解得 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 （2）当时，连接，求 的面积； ， ， 抛物线的解析式为 。 设直线的解析式为 ， 解得 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 138 直线的解析式为 。 设，则，， ， ， 当时， ， 解得 ， ，， ， ， ， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 （3）是轴上一点，当四边形是矩形时，求点 的坐标。 如图，连接，交于点 。 四边形 是矩形， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 140 , 。 又 ， ， 。 四边形 是矩形， ， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 当时， ， 。 ， ， ， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 7.（项目式学习）【发现问题】 如图2-14-28，某公园在一个扇形草坪上的圆心 处垂直于草坪的 地上竖一根柱子，在 处安装一个自动旋转喷水装置，喷头向外喷水， 爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状。 【提出问题】 喷出的水距地面的高度与喷出的水与喷头的水平距离 之间有怎 样的函数关系？ 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 143 【分析问题】 小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与点的水平距离 处达到最高点，点距离地面。于是小腾以所在直线为 轴，垂直 于的地平线为轴，点 为坐标原点建立如图2-14-28①所示的平面直角 坐标系，根据测量结果得到点，点的坐标，从而得到关于 的函数解 析式。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 144 【解决问题】 图2-14-28 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 145 （1）如图2-14-28①，在建立的平面直角坐标系中，点的坐标为 ， 水流的最高点的坐标为 ，求抛物线水流对应的函数解析式； 解：设抛物线的解析式为 ， 水流的最高点的坐标为 ， ，代入 ， 得 ， 解得 。 抛物线水流对应的函数解析式为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 146 （2）当喷头旋转 时，这个草坪刚好被水覆盖，求这个草坪的面积 （结果用含 的式子表示）； 令，,解得， （舍去）。 这个草坪的面积为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 147 （3）现要在扇形中的中建造一个矩形花坛 ，如图2-14- 28②的设计方案是使，分别在，上，在上。设 ， 当为多少时，矩形 花坛的面积最大？最大面积是多少？ 由矩形可得，， ， 。 如图，过作，交于点 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 148 ， ， 。 ， ， ， 。 ， 由矩形和等腰三角形的对称性可知 ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 149 ， 矩形花坛的面积为 ， 当时，矩形花坛的面积最大，最大为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 150 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