精品解析：河南省信阳市商城县丰集高级中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题

河南省信阳市商城县丰集高级中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题 命题人：江明 2025年4月14日 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并集的运算即可求解； 【详解】由，， 则， 故选：A 2. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算直接计算即可. 【详解】. 故选：C. 3. 在公差不为0的等差数列中，若，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式和等差数列的通项公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 由得， 所以，即. 故选：D. 4. 新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全国统考的语文、数学、外语，“1”即在物理、历史2门首选科目中选考1门，“2”即在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门.选考方案有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 15种 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合知识和分步乘法计数原理得到答案. 【详解】从物理、历史2门首选科目中选考1门，有种选择， 在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门，有种选择， 故选考方案有种. 故选：C 5. 已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将向量、用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点， 则， 由得，可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因此， . 故选：B. 6. 若，则下列命题正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B、C，利用不等式的性质判断D. 【详解】对于A：当，时满足，但是，故A错误； 对于B：当，时满足，但是，故B错误； 对于C：当，时满足，但是，故C错误； 对于D：若，则，所以，则，故D正确； 故选：D 7. 如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两种放置方式水的体积不变即可求得. 【详解】如图， 设圆柱底面半径为，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底，为高的柱体， 因为水面过的中点，则， 则弓形的面积为， 当底面圆水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为， 则由水的体积不变可得：，即， 解的：. 故选：. 8. 已知函数，，当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取特值解得，整理可得，换元令，构建，根据导数的几何意义求临界状态，结合图象即可得结果. 【详解】因为当时，， 则，即， 整理可得，解得， 若，则， 整理可得， 令，则，可得， 构建，则， 可知在内单调递增， 若与相切， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为，整理可得， 注意到直线过定点，则， 整理可得，注意到， 可得，即，可得， 结合图象可知：，所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：取特指确定的必要条件，这样可以简化讨论和计算. 二、多选题 9. 关于双曲线，下列说法正确的有（ ） A. 实轴长为16 B. 焦点坐标为， C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准形式，求解长轴判断A，求解焦点坐标判断B，求解离心率判断C，求解渐近线方程判断D即可. 【详解】因为，所以， 则，化简得，则， 对于A，则实轴长为，故A正确， 对于B，焦点坐标为，，故B正确， 对于C，离心率为，故C正确， 对于D，渐近线方程为，故D错误. 故选：ABC 10. 关于的函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数的最小正周期 B. 若，则是奇函数 C. 若，则是图象的一条对称轴 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：整理可得，即判断奇偶性；对于C：整理可得，根据对称性的定义分析判断；对于D：代入可得，，两式平方相加整理即可. 【详解】函数的定义域为， 对于选项A：例如， 则， 此时函数无最小正周期，故A错误； 对于选项B：若，即， 可得， 可知函数为奇函数，故B正确； 对于选项C：若，即， 可得， 则， 所以是图象的一条对称轴，故C正确； 对于选项D：若，， 可得，， 因为， 即，整理可得，故D正确； 故选：BCD. 11. 给定棱长为1的正方体，是正方形内（包括边界）一点，下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若点在线段上，则异面直线与所成角为定值 C. 若点在线段上，则的最小值为 D. 若，则点轨迹的长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出底面积，再利用点到平面的距离公式求出点面距离，求出体积是定值判断A，利用线线角的向量求法求出线线角，得到定值判断B，作出展开图，利用先判断最小值是线段，再利用余弦定理求解其长度判断C，求出轨迹方程，再利用圆的弧长公式求解弧长判断D即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接， 设，，则， 对于A，易得面的法向量为，设到面的距离为， 由点到平面的距离公式得，而， 则，即三棱锥的体积为定值，故A正确， 对于B，因为点在线段上，所以， 而，，则，， 得到，，解得，即， 如图，连接，由题意得，， 则，，设异面直线与所成角为， 则，而，故， 即异面直线与所成角为定值，故B正确， 对于C，如图，将面沿着翻折，使面与面共面， 由题意得四边形是正方形，四边形是矩形， 得到，，故 而，则的长度即为所求最小值， 由余弦定理得，解得，故C正确， 对于D，如图，连接，此时，， 则由两点间距离公式得， 因为，所以， 两边同时平方得，化简得， 则的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 由正方体性质得，则弧长为， 即点轨迹的长度不为，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解题关键是建立空间直角坐标系，然后求解出轨迹方程，再利用弧长公式得到所要求的轨迹长度即可． 三、填空题 12. 已知，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的运算性质求解即可． 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 13. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了多次所花时间，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从如图的正态分布.星期一李明出门有可用，他应该选择______交通工具；星期二李明出门有可用，他应该选择______交通工具； 【答案】 ①. 自行车 ②. 公交车 【解析】 【分析】应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具，结合图形，比较概率的大小可得答案. 【详解】由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具. 根据和的分布密度曲线图可知：，， 可得， 若有可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车； 若有可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车； 故答案为：骑自行车；坐公交车. 14. 已知椭圆：的左焦点为，过点且倾斜角为的直线交轴于点，交椭圆于，两点（点在点左侧），，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线为，求得纵坐标，由求得的坐标，代入椭圆方程即可求解. 【详解】由题设，令直线为， 易得 因为 可得，又， 可得：，再结合， 可得 代入椭圆方程，又， 所以 化简可得：，因为， 易知 所以，即 所以 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的面积； （2）求中的角平分线的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式运算求解即可； （2）设角平分线为，根据面积关系运算求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以的面积为. 【小问2详解】 设角平分线为， 因为 则， 即，解得， 所以的角平分线的长为. 16. 如图，在三棱锥中，，点在棱PC上. （1）证明：平面平面； （2）若平面，Q为垂足，当三棱锥的体积最大时，求PM的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明 平面平面即可； （2）建立空间直角坐标系，再计算体积结合不等式计算求解. 【小问1详解】 取AB的中点，连接OC，OP，如图． 因为， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以，则，又因为，所以. 又因为平面， 所以平面. 又因为平面ABP， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面， 所以以点为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，因为，，其中， 所以可得即点， 因为平面ABC，则点，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故当点为线段PC的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，. 17. 已知函数. （1）当时，曲线在点处的切线与曲线相切，求实数的值； （2）函数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程为，再联立直线与曲线方程，利用根的判别式求解即可； （2）由恒成立可得，利用导数求解，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则，即， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 联立，得， 因为直线与曲线相切， 所以，解得（舍去）或. 【小问2详解】 由恒成立，则， 由，，则， 当时，，则函数在上单调递增，不满足题意； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 设，，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以，即实数的取值范围为. 18. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 （1）请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）； （2）机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令.机器人执行命令的正确率为，出错率为.当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为.如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？ （3）该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为.假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值. 参考公式：相关系数. 【答案】（1），可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用公式求出即可判断； （2）根据全概率公式及条件概率公式求解即可； （3）根据题意表示出小李挑战成功的概率为，再结合基本不等式及二次函数的知识求解即可. 【小问1详解】 由表知，， ， ， ， ， 则， 由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强． 【小问2详解】 设事件为机器人执行命令正确”，事件为“机器人执行命令错误”， 事件为“使用者不满意”， 则，， ，， 则， 所以. 【小问3详解】 当小李答对题数为3时，概率为： ， 当小李答对题数为4时，概率为：， 所以小李挑战成功的概率为：， 由，，， 则，当且仅当时等号成立， 所以，由二次函数的知识可知， 当时，小李挑战成功的概率最大，最大为. 19. 已知上下顶点分别为的椭圆经过点为直线上的动点，且不在椭圆上，与椭圆的另一交点为与椭圆的另一交点为（均不与椭圆上下顶点重合）. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线过定点； （3）设（2）问中定点为，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）由题意，直线的斜率一定存在，设，直线的方程为， 联立椭圆和直线的方程得， 由韦达定理可得， 由点斜式可知直线的方程为，直线的方程为， 两式相比得，因为点在直线上，所以， 又点在椭圆上，所以，变形得，所以， 将直线方程代入得，即， 将韦达定理结果代入得，解得或， 因为均不与椭圆上下顶点重合，所以舍去，即， 直线的方程为，过定点. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入即可求得椭圆的方程； （2）设，直线的方程为，联立椭圆和直线的方程得到两根之和与之积，因为点在直线上，代入化简可求得的值，即直线过定点； （3）先表示出为，，，由等比中项知，再将（2）中结果代入化简可解得的值，即存在这样的常数. 【小问1详解】 因为椭圆经过点，代入可得，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知，显然在直线的两侧，不妨设， 则， 设存在常数，使得，，为等比数列，则， 即， 由（2）可知， 代入化简可得， 由（2）知联立后的方程， 所以，解得， 所以存在，使得，，总为等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳市商城县丰集高级中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题 命题人：江明 2025年4月14日 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（ ） A. B. C. D. 3. 在公差不为0的等差数列中，若，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全国统考的语文、数学、外语，“1”即在物理、历史2门首选科目中选考1门，“2”即在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门.选考方案有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 15种 5. 已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列命题正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 关于双曲线，下列说法正确的有（ ） A. 实轴长为16 B. 焦点坐标为， C. 离心率为 D. 渐近线方程为 10. 关于的函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数的最小正周期 B. 若，则是奇函数 C. 若，则是图象的一条对称轴 D. 若，，则 11. 给定棱长为1的正方体，是正方形内（包括边界）一点，下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若点在线段上，则异面直线与所成角为定值 C. 若点在线段上，则的最小值为 D. 若，则点轨迹的长度为 三、填空题 12. 已知，则________． 13. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了多次所花时间，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从如图的正态分布.星期一李明出门有可用，他应该选择______交通工具；星期二李明出门有可用，他应该选择______交通工具； 14. 已知椭圆：的左焦点为，过点且倾斜角为的直线交轴于点，交椭圆于，两点（点在点左侧），，则椭圆的离心率为______. 四、解答题 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的面积； （2）求中的角平分线的长. 16. 如图，在三棱锥中，，点在棱PC上. （1）证明：平面平面； （2）若平面，Q为垂足，当三棱锥的体积最大时，求PM的值. 17. 已知函数. （1）当时，曲线在点处的切线与曲线相切，求实数的值； （2）函数恒成立，求实数的取值范围. 18. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 （1）请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）； （2）机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令.机器人执行命令的正确率为，出错率为.当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为.如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？ （3）该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为.假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值. 参考公式：相关系数. 19. 已知上下顶点分别为的椭圆经过点为直线上的动点，且不在椭圆上，与椭圆的另一交点为与椭圆的另一交点为（均不与椭圆上下顶点重合）. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线过定点； （3）设（2）问中定点为，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $