精品解析：北京理工大大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2025北京理工大附中高一（下）期中 数 学 出题人高一数学备课组，审题人 高一数学备课组，审核人 金永涛 ， 考试时间 90 分钟 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在范围内，与角终边相同的角是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，求出结果． 【详解】与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，令k＝1，可得与角终边相同的角是， 故选A． 【点睛】本题考查终边相同的角的定义和表示方法，得到 与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，是解题的关键 2. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的图形，求出，再利用数量积的定义求解即得. 【详解】观察图形知，， 所以 故选：A 3. 已知角终边上一点，若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦函数的定义列式计算即得. 【详解】由角终边上一点，得，因此，解得， 所以的值为. 故选：D 4. 下列各式的值等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用二倍角公式、同角三角函数的基本关系、特殊角的三角函数值判断即可. 【详解】对于A,,故A错误； 对于B,由特殊角的三角函数值可知,故B错误; 对于C,由同角三角函数的基本关系可知,故C错误； 对于D,,故D正确. 故选：D. 5. 已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 . 故选：B 6. 已知满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角的正切公式计算即得. 【详解】在中，，，则， 所以. 故选：A 7. 设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】是函数最小值，是函数最大值，因此的最小值为周期的一半，由此可得． 【详解】由题意f(x)的周期， 对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则是函数最小值，是函数最大值，因此的最小值为周期的一半， ∴|x1－x2|min＝2. 故选：B． 8. 已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用正余弦函数性质，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，为偶函数； 反之，为偶函数，则或， 所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合诱导公式和二倍角的余弦公式，计算即可得到所求值. 【详解】由于，所以， 故选：B 10. 函数是 A. 奇函数，且最大值为2 B. 偶函数，且最大值为2 C. 奇函数，且最大值为 D. 偶函数，且最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值. 【详解】由题意，，所以该函数为偶函数， 又， 所以当时，取最大值. 故选：D. 11. 下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是 A. f(x)=│cos 2x│ B. f(x)=│sin 2x│ C. f(x)=cos│x│ D. f(x)= sin│x│ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择． 【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A． 【点睛】利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数； 12. 如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为轴，以为原点，建立坐标系，设，，根据平面向量基本定理的坐标运算可得：，再利用三角函数的有界性，即可得到答案； 【详解】解：以为轴，以为原点，建立坐标系，如图， 设，， 则，，， ∵， ∴ ， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，， 即的最小值为． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 13. 已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由扇形的弧长及面积公式求解可得答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为， 则由题意可得，解得， 所以扇形的面积， 故答案为：. 14. __________； _____________. 【答案】 ①. ##0.5 ②. -3 【解析】 【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值. 【详解】（1）原式 （2）原式. 故答案为： 15. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点满足，则_______；若点H是线段AP上的动点，则的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. [1，2] 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，由可求出点坐标；点H是线段AP上的动点，设，由数量积的坐标运算结合的范围即可求出的取值范围. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设， 所以， 由，可得：， 所以，所以，故， 点H是线段AP上的动点，所以， 则, ，， ，因为，， 所以.故的取值范围是[1，2]. 故答案：；[1，2]. 16. 已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦型函数的图象与性质计算即可得. 【详解】令，则， 当时，， 由题意可得， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 17. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论错误的序号是______； ①的一个周期为； ②的最大值为； ③的图象关于直线对称； ④在区间上有3个零点． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，代入周期的定义，即可判断；对于②，分别比较两个函数取得最大值的值，即可判断；对于③，代入对称性的公式，即可求解；对于④，根据零点的定义，解方程，即可判断. 【详解】对于①，，故①错误； 对于②，，当，时，取得最大值1，， 当，时，即，时，取得最大值， 所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故②错误； 对于③，， 所以函数的图象不关于直线对称，故③错误； 对于④，， 即，， 即或，解得：或或， 所以函数在区间上有3个零点，故④正确. 故答案为：①②③. 三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 已知向量. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为． （1）求和的值； （2）求的值； （3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）根据单位圆中正弦和余弦的定义，同角三角函数的平方关系，两角差的正切公式及二倍角公式即可求解； （2）根据诱导公式化简得齐次式，再根据同角三角函数的商数关系及即可求解； （3）根据两角和的正弦余弦公式即可求解． 【小问1详解】 由锐角，，得点，都在第一象限，而点纵坐标为，点的横坐标为， 所以， 则点的横坐标为，点的纵坐标为， 因此； ， ． 【小问2详解】 由（1）知，． 【小问3详解】 依题意，点在角的终边上，且，由（1）知， 则点的横坐标为， 点的纵坐标为， 所以点的坐标为． 20. 已知函数的一段图象如图所示： （1）求函数的表达式和单调递减区间； （2）若函数在的值域是，求的取值范围； （3）若，，求的值． 【答案】（1），单调递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象即可求得的表达式，令，求解即可得出单调减区间； （2）根据正弦函数的性质即可求解； （3）根据诱导公式，正弦函数的单调性及同角三角函数的平方关系即可求解． 【小问1详解】 由图象可知，，所以，又，故， 由，得， 又，故，于是， 由， 解得， 所以函数的单调递减区间为． 【小问2详解】 因，所以， 又，所以， 由正弦函数的性质得，，所以． 【小问3详解】 ，即， ， 由，得，又， 所以， 则， 于是． 21. 设函数的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质. （1）判断函数和是否具有性质？(结论不要求证明) （2）若函数具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值； （3）若函数具有性质，且直线为其图象的一条对称轴，证明：为周期函数. 【答案】（1）函数不具有性质，具有性质. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义可得； （2）根据题意时，，进而可得时取最大值； （3）当时，显然成立，当不恒为零时，根据题意，进而根据性质，可得，，进而可得，进而可得，即证. 【小问1详解】 函数是由得，当时，，不符合题意，所以函数不具有性质， 当时，函数对于任意，成立，所以具有性质， 【小问2详解】 设，则， 则题意得， 所以，， 所以当，在上有最大值， 【小问3详解】 当，时，结论显然成立， 以下考虑不恒为零情况，即，使得， 由直线为图像的一条对称轴，得， 由题意可得，，，使得成立， 所以，即， 由直线为图像的一条对称轴，得， 因为，， 所以，所以， 所以对于任意，成立，其中， 综上，为周期函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025北京理工大附中高一（下）期中 数 学 出题人高一数学备课组，审题人 高一数学备课组，审核人 金永涛 ， 考试时间 90 分钟 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在范围内，与角终边相同的角是 A. B. C. D. 2. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知角终边上一点，若，则的值为（ ） A B. 2 C. D. 4. 下列各式的值等于的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 8. 已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数 A. 奇函数，且最大值为2 B. 偶函数，且最大值为2 C. 奇函数，且最大值为 D. 偶函数，且最大值为 11. 下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是 A. f(x)=│cos 2x│ B. f(x)=│sin 2x│ C. f(x)=cos│x│ D. f(x)= sin│x│ 12. 如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 13. 已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________. 14. __________； _____________. 15. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点满足，则_______；若点H是线段AP上的动点，则的取值范围是_________． 16. 已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为__________. 17. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论错误的序号是______； ①的一个周期为； ②的最大值为； ③的图象关于直线对称； ④在区间上有3个零点． 三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 已知向量. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值. 19. 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为． （1）求和的值； （2）求的值； （3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标． 20. 已知函数的一段图象如图所示： （1）求函数的表达式和单调递减区间； （2）若函数在的值域是，求的取值范围； （3）若，，求的值． 21. 设函数定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质. （1）判断函数和否具有性质？(结论不要求证明) （2）若函数具有性质，且其对应，.已知当时，，求函数在区间上的最大值； （3）若函数具有性质，且直线为其图象的一条对称轴，证明：为周期函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$