2025年中考数学解答题系列：平面直角坐标系综合

2025年中考数学解答题系列：平面直角坐标系综合 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，三个顶点的坐标分别为．将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点D，E，F分别为点A，B，C的对应点． (1)在图中画出； (2)点F的坐标是_______； (3)求的面积； (4)已知点P在x轴上，且的面积为9，点P的坐标是_______． 2．如图，在所示的直角坐标系中，四边形的四个顶点在格点上． (1)写出下列两个点的坐标______；______； (2)写出四边形的面积______； (3)若点为轴上动点，使得最小值，请在图中标出点位置，并直接写出最小值． 3．已知点，请分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P在y轴上． (2)点Q的坐标为，直线轴． 4．已知二次函数与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求三点的坐标； (2)求的面积． 5．如图，菱形的四个顶点都在格点上，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将菱形向右平移4.5个单位时，对角线的中点所在的反比例函数的解析式为______． 6．长方形的位置如图所示，点的坐标为，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位；点同时从点出发向点移动，速度为每秒2个单位，设运动时间用表示． (1)直接写出点、的坐标； (2)证明在点、移动过程中，四边形的面积一直保持不变． 7．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，过点分别作x轴和y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，M是线段的中点，点P从M点出发沿线段向终点C运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动的时间为t（秒）． (1)请直接写出点B和点C的坐标：B（_______，_______），C（________，________）． (2)求线段的长度（用含有t的代数式表示，不需要写出t的取值范围）． (3)作线段，当三角形的面积等于直角梯形的面积的时，求t的值，并求出此时点P的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空： ， ； (2)如图，直线轴，点M在直线l上．直线与y轴相交于点C，直线交l于点P，已知三角形的面积为6． ①求点M到x轴的距离； ②若三角形的面积是三角形的面积的4倍，且，求点C的坐标． 9．如图，，，点B在x轴上，且． (1)直接写出点B的坐标； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为4.5？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，点，且、满足． (1)求，的值； (2)以为边作，点在直线的右侧且，求点的坐标； (3)若（2）的点在第四象限（如图2），与交于点，与轴交于点，连接，过点作交轴于点． ①求证：； ②写出点到的距离． 11．如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． (1)直接写出A、C的坐标； (2)写出直线的解析式； (3)若与的面积相等，求点E的坐标． 12．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点P的“系好友点”； 例如：的“系好友点”为即． 阅读上述材料，完成下列问题： (1)点的“系好友点”的坐标为______． (2)若点在轴的正半轴上，点P的“系好友点”为点，若在三角形中，，求的值． (3)已知点在第四象限，且满足；点A是点的“系好友点”，求的值． 13．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右…的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（为正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴．给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点． (1)已知，则它们关于y轴和直线l的二次反射点的坐标分别是______； (2)若点D的坐标是，其中，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长； (3)已知点，点，以线段为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，若点关于y轴和直线l的二次反射点分别为，且线段与等腰直角三角形的边有公共点，则a的取值范围为_____________________． 15．在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． (1)如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是 ； ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； (2)如图2，动点D，G分别在边，上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，直接写出S与t的关系式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了作图——平移变换，平移的性质，割补法求面积，绝对值方程，利用数形结合的思想，掌握平移的性质是解题关键． （1）根据平移的性质作出图形，再根据图形写出点F的坐标即可； （2）根据图形点F的坐标即可； （3）利用割补法求出的面积即可； （4）设点P的坐标为，根据的面积列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作，点F的坐标 （2）解：由图可知，． 故答案为：； （3）解：的面积； （4）解：设点P的坐标为， ， ， 的面积为9， ， 解得：或， 点P的坐标为或， 故答案为：或 2．(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) (3)见详解；5 【分析】本题考查了坐标与图形，考查了四边形面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）观察图形直接得出点、的坐标； （2）用一个长方形的面积减去四个空白三角形的面积即可． （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，； （2）解：四边形的面积为． 故答案为：． （3）解：点关于轴的对称点坐标为， 连结交轴于点，如图， 则，此时的值最小， 最小值， 即的最小值为5． 3．(1)； (2)． 【分析】本题考查求点的坐标，熟练掌握点的坐标特征，是解题的关键： （1）根据y轴上的点的横坐标为0，进行求解即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，进行求解即可。 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为． （2）∵点，，直线轴， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为． 4．(1)， (2)的面积为3． 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． （1）将代入二次函数解析求解一元二次方程再结合题意即可求得点A、B的坐标； 将代入二次函数解析，即可求得C点坐标； （2）由三点的坐标可得的长，然后根据三角形的面积公式可得的面积为，最后代入数据求解即可． 【详解】（1）解：将代入可得： ，解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴． 将代入可得：， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 答：的面积为3． 5．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，画反比例函数解析式，平移的性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． （1）由图形可知，，再根据待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数解析式描点画图即可； （3）先求出平移后的、坐标，进而得到对角线的中点坐标，再根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由图形可知，， 反比例函数的图象经过点A， ， ， 这个反比例函数的表达式为． （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 描点画图如下： （3）解：由图形可知，，， 菱形向右平移4.5个单位， 平移后的坐标，， 的中点坐标为， 设对角线的中点所在的反比例函数的解析式为， ， 解得：， 对角线的中点所在的反比例函数的解析式为． 6．(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)证明见解析 【分析】本题考查坐标与图形的性质、割补法求四边形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据点坐标的定义求解，即可解题； （2）根据列式计算，即可证明在点、移动过程中，四边形的面积一直保持不变． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：四边形的面积不变．证明如下： ∵ ． ∴四边形的面积不变． 7．(1)点坐标，点的坐标 (2)或 (3)t的值为2，此时点P的坐标为 【分析】本题考查了坐标与图形性质，矩形的判定和性质，三角形的面积和梯形的面积等知识点的应用，能进行分类讨论是解此题的关键． （1）由矩形的性质以及点的坐标即可求出点，的坐标； （2）分为两种情况：当在上时，当在上时，求出，再根据点的位置写出的取值范围即可； （3）分为两种情况：当在上时，当在上时，分别求出和四边形的面积，即可得出关于的方程，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点分别作轴和轴的平行线，交轴于点，交轴于点， ∴，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ∵， ，， 点坐标，点的坐标； （2）解：四边形是矩形，，为的中点， ，，， 当在上时，； 当在上时，； 综上，线段的长度为或． （3）解：当在上时，如图1， 当三角形的面积等于直角梯形的面积的， ， 解得：， 当时，，此时点P与点A重合， 点的坐标为； 当在上时，如图2， ， ， ， 解得：， ， 此时点P与点A重合， 点的坐标为． 综上，当三角形的面积等于直角梯形的面积的时，t的值为2，此时点P的坐标为． 8．(1)， (2)①M到x轴的距离是3；②或 【分析】本题主要考查非负性和解一元一次方程、点坐标和距离的关系，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用． （1）根据题意得，解得a和b即可； （2）①过点M做垂直于点N，根据点坐标求得，结合面积公式列出方程求得点M到x轴的距离即可； ②设，则，和，分情况：当M在y轴左侧和点M在y轴右侧，根据面积公式和点与线段距离列方程求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， 则，； （2）解：①过点M做垂直于点N， 因为， 所以， 因为三角形的面积为6， 所以， 所以， 则点M到x轴的距离是3； ②设， 所以，，， 当点M在y轴左侧时， 三角形的面积， 三角形的面积， 因为三角形的面积是三角形的面积的4倍， 所以， ， 解得， 所以， 当点M在y轴右侧时， 三角形的面积， 三角形的面积， 因为三角形的面积是三角形的面积的4倍， 所以， ， 解得， 所以， 综上所述或． 9．(1)或 (2)6 (3)存在，或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在点的右边时，， 点在点的左边时，， 所以，的坐标为或； （2）解：的面积； （3）解：存在，设点到轴的距离为， 则， 解得， 点在轴正半轴时，， 点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或． 10．(1)， (2)点的坐标为或 (3)①见解析；②点到的距离为 【分析】（1）根据非负数的性质可得出答案； （2）分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可求出点的坐标； （3）①由（2）知点，过点作轴于点，则，证明，得出，证明，得出，则结论得证；②过点作于点，过点作轴于点，则，证明，可得，由角平分线的性质可得． 【详解】（1）解：、满足， ，， 解得：，； （2）由（1）知，，， ，， ，， 是直角三角形，且， 只有或， ①如图1，当时，过点作轴于， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； ②如图2，当时，过点作轴于点， 则， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）①如图3，由（2）知点，过点作轴于点，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②如图4，过点作于点，过点作轴于点，则， 由①知，，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 即点到的距离为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，点到直线的距离，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11．(1)、 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键． （1）根据，求解即可； （2）用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，； （2）解：设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （3）解：∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ ∴． 12．(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． （1）根据“系好友点”的定义列式计算即可求解； （2）设，根据定义得到点，则，即可求解； （3）点是点的“系好友点”，可得点，由得到，即可求解． 【详解】（1）解：   的坐标为． 故答案为：； （2）解：设其中， ， 轴， ， 又，， ， ； （3）解：点是点的“系好友点” ． ，， 又， ，即 ， 点在第四象限， ， 即． 13．(1)；；； (2)点的坐标为； (3)向右． 【分析】本题考查了规律型-点的坐标，找到规律是解题的关键． （1）由题意和图得出（为整数）在轴上，横坐标为，纵坐标为；在轴上，横坐标为，纵坐标为；与的横坐标相同为，纵坐标为，即可求解； （2）根据（1）可得出答案； （3）由，知道蚂蚁从点到点的移动方向与点到的移动方向一致，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意和图可知，， ∴（为整数）在轴上，横坐标为，纵坐标为， 在轴上，横坐标为，纵坐标为， 与的横坐标相同为，纵坐标为， ∴， 当时，即的横坐标相同为，纵坐标为， ∴， 故答案为：；；； （2）解：由（1）可知，点的坐标为； （3）解：∵， ∴蚂蚁从点到点的移动方向与点到的移动方向一致为：向右． 14．(1)、、； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案； （3）根据二次反射点的定义得出，，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点 ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标 ∵ ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点 ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标 ∵ ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点 ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标 故答案为：、、 （2）∵点的坐标是， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∴关于直线对称的点， ∴； （3）∵点 ∴点关于轴和直线的二次反射点分别为， 当与有公共点时， ∴， 解得 当与有公共点时， 解得； 综上：或 【点睛】本题考查了轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解． 15．(1)①；②点的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】（1）①由折叠的性质得出，则可得出答案； ②连接．证明，得出，设，则，由勾股定理可求出点坐标，证出，由可得出答案； （2）连接，设，则，设，则，解得．由梯形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：①∵正方形边长为 2 ，点的坐标为， ， ∵将沿直线折叠， ， 又 ∵， ， ， ∴点的坐标是， 故答案为：； ②如图，连接， ∵点是线段的中点， ， 由折叠的性质可得， 又 ∵， ， 在和中， ， ∴， ， 设点的坐标为，则， ， ， 在中，， ， 解得， ∴点的坐标为， ， ， 又， ， ， ， ∴点的坐标为． （2）解：如图，连接， 设，则． 设，则， 在中，， ， 解得， ， 设，则， 在中，． 在中，， 由折叠可知垂直平分， ， ，即， 解得：， ， ， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$