1.3.2 基本不等式 课时3 基本不等式的实际应用课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章 预备知识 §3 不等式 3.2 基本不等式 课时3 基本不等式的实际应用 1 学习目标1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.（逻辑推理） 2.能够建立数学模型解决实际问题.（数学建模） 学习目标 2 春天到了,学校决定用篱笆围一个面积为 的花圃．有以下两种方案：圆形 花圃,造价为12元/；矩形花圃,造价为10元/ . 1.你觉得哪个方案更省钱呢？,结果保留整数 [答案] 圆形花圃：设圆形花圃的半径为,周长为,面积为 ,则 ,解得,,故花费为 元. 矩形花圃：设相邻两边为,,则,解得 , ,故当 时花费最少,最少为400元. 故矩形花圃最省钱. 自主预习 3 2.假如现在只有 的篱笆可用,怎样设计才能使得矩形花圃的面积最大？ [答案] 设矩形相邻两边为, , 由,得 . , , , 当且仅当时,面积有最大值,最大值为 . 自主预习 4 1.某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为 的矩形鸭子活动场地，面向河的 一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要( ) . B A. B. C. D. [解析] 设此矩形面向河的一边的边长为，相邻的一边的边长为 ，则 . 设围栏总长为 ， 则，当且仅当 时，取等号， 此时，，则围栏总长最小需要 . 自主预习 5 2.某公司租地建仓库，每月土地占用费 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货 物的运费 与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用 和 分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ( ) . A A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处 [解析] 设,为仓库到车站的距离,，由题意得， , 得，，所以， . 费用之和 ， 当且仅当，即 时,等号成立. 自主预习 6 3.若在如图所示的锐角三角形空地中，建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分）， 则其边长为____ ． 20 [解析] 设矩形花园的宽为，由相似三角形性质可得 ，则 ，所以矩形花园的面积 ，当且仅当 ,即时取等号，故当 时，内接矩形花园的面积最大． 自主预习 7 4.甲工厂承担了某种产品的生产，当以 千克/时的速度匀速生产时（为保证质量，要 求），每小时消耗材料 千克，已知当每小时生产1千克该产品时， 消耗材料10千克.如果消耗材料的总重量为 千克，那么要使生产1000千克该产品消 耗材料最少，工厂应选取何种生产速度？此时消耗 材料多少千克？ [解析] 由题意，得，即，生产1000千克该产品需要的时间是 小时， 所以生产1000千克该产品需消耗的 材料的重量为 ，当且仅当，即 时，等号成立，且 ． 故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的 材料最少，最少为6000千克． 自主预习 8 探究1 利用基本不等式解决几何的实际问题 问题: 将一根铁丝切割成三段,做一个面积为 ,形状为直角三角形的框架.甲、乙、 丙、丁四种铁丝的长度分别为,,, ,选用最合理（够用且浪费最少） 的铁丝是哪种？为什么？ 合作探究 9 [答案] 选用最合理的铁丝是乙.设两直角边分别为,,框架的周长为 ,则 ,,故 （当且仅当 时,取等号）, 所以乙够用且浪费最少. 合作探究 10 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解决实际问题时,首先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,最后运用基本不 等式解决问题. 合作探究 11 例1 如图,某大学要修建一个面积为 的长方形景观水 池,并且在景观水池四周要修建出宽为和 的小路,则总 占地面积的最小值为( ) . B A. B. C. D. 先由长方形的面积公式求出关系式,再由基本不等式求出面积的最小值. 合作探究 12 [解析] 设水池的宽为,则长为 , 则总占地面积 , 当且仅当,即 时取等号, 故总占地面积的最小值为 . 合作探究 13 方法总结 利用基本不等式解决实际问题时,一般先建立关于目标量的函数关系,再利用基本 不等式求解目标函数的最大（小）值及取最大（小）值的条件. 巩固训练 某镇计划建造一个室内面积为 的矩形蔬菜温室．在温室内,沿左、右 两侧与后侧内墙各保留宽的通道,沿前侧内墙保留 宽的空地．当矩形温室的边 长各为多少时,蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 合作探究 14 [解析] 设矩形温室的左侧边长为,后侧边长为,蔬菜的种植面积为 ,则 , 所以， 当且仅当,即,时，等号成立,则 . 故当矩形温室的左侧边长为,后侧边长为 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面 积为 . 合作探究 15 探究2 生活中的最优化问题 某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买 吨，运费为9万元/次， 一年的总存储费用为 万元. 问题1: 如何求一年的总运费与总存储费用之和的最小值？ [答案] 由题意知，一年的总运费为 万元， 一年的总运费与总存储费用之和为 万元， 又，当且仅当，即 时，等号成立， 当 时，一年的总费用与总存储费用之和最小，最小值为360万元. 合作探究 16 问题2: 利用基本不等式解决实际问题要注意什么？ [答案] 利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其 中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解. 合作探究 17 在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法： （1）先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数； （2）建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在自变量的取值范围内,求出函数的最大值或最小值； （4）根据实际背景写出答案． 合作探究 18 例2 某种生产设备购买时费用为10万元,每年的设备管理费共计0.9万元,这种生产设备 使用年的维修费为 （单位：万元）.问：这种生产设备最多使用多少 年报废最合算？（即使用多少年的年平均费用最少） 在实际问题中建立数学模型,利用基本不等式解决问题. [解析] 设使用年的年平均费用为万元.由题意得 ,即 . 由基本不等式知,当且仅当,即 时取等号. 因此使用10年报废最合算,其年平均费用为3万元. 合作探究 19 方法总结 对于应用题,先弄清题意（审题）,建立数学模型（列式）,再用所掌握的数学知识 解决问题（求解）,最后要结合题意下结论（作答）.使用基本不等式求最值,要注意验 证等号是否成立,若等号不成立,可考虑利用函数的图象求解. 巩固训练 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每 层2000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为 层，则每平方米的平均建筑费 用为 元.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少 层？注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用 合作探究 20 [解析] 由题意知，每平方米的平均购地费用为 , 每平方米的平均综合费用 . 当取最小值时， 取得最小值. ， ， 当且仅当,即 时，等号成立， 当时， 取得最小值，最小值为2000元， 即该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少. 合作探究 21 1.某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 （单位：万元）与机器运转时间（单位：年，）的关系为 ， 若要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间 为( ) . D A.10 B.11 C.7 D.8 随堂检测 22 [解析] 因为每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间 （年）的 关系为 ， 所以年平均利润 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以当每台机器运转8年时，获得的年平均利润最大. 故选D． 随堂检测 23 2.如图，这是一个展览厅的俯视图，已知在正方形中， 是办公区域，，的面积为，则办公区域 面积 的最小值为( ) . A A. B.2 C. D.3 随堂检测 24 [解析] 设，则由得，故 ， 所以办公区域 的面积为 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以，即面积的最小值为 ． 故选A． 随堂检测 25 3.一批货物随17列火车从市以千米/时的速度匀速直达 市,已知两地铁路线长400千 米,为了安全,两列火车的间距不得小于千米,若这批货物全部运到 市,则最快需要 ___小时. 8 [解析] 设这批货物从市全部运到市的时间为 小时, 则 , 当且仅当,即 时,等号成立, 所以这批货物全部运到 市,最快需要8小时. 随堂检测 26 $$