1.3.2 基本不等式 课时2 基本不等式的概念及其应用（二）课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章 预备知识 §3 不等式 3.2 基本不等式 课时2 基本不等式的概念及其应用（二） 1 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.（数据分析） 2.会用基本不等式解决条件最值问题.（数学运算） 3.能运用基本不等式求解含参问题.（逻辑推理） 学习目标 2 1.基本不等式中的， 只能是具体的某个数吗？ [答案] ， 既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 2. 的最小值是2吗？ [答案] 当时，的最小值是2；当时， 没有最小值． 自主预习 3 3.利用基本不等式求最值的常用不等式有哪些？ [答案] （1）若为定值，则 ； （2）若,为正且为定值，则 . 等号成立的条件均是 . 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大. 自主预习 4 1.已知实数，满足，，且，则 的最小值为( ) . D A.2 B.4 C.6 D.8 [解析] ，，且 ， ，当且仅当 ， ，即，时，等号成立，故 的最小值为8． 自主预习 5 2.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 吨，运费为4万元/次，一年的总存储 费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 ____． 20 [解析] 总运费与总存储费用之和 ， 当且仅当，即 时取等号． 自主预习 6 3.设，，且，求 的最小值. [解析] （法一）由，得 . ，，， ， ， 当且仅当，即 时，等号成立， 的最小值是18. （法二）由及，，得 ， ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 的最小值是18. 自主预习 7 探究1 利用基本不等式比较大小 问题1: 式子及 都成立吗？说明了什么？ [答案] 前者成立,后者不成立,说明了与 成立的条件不同． 问题2: 对于任意实数,,都有 成立吗？ [答案] 不一定,当, 都为正数时,不等式才成立． 合作探究 8 常见的基本不等式的变形 （1）, ; （2）,同号,,异号 ； （3）, ； （4）,,当且仅当 时取等号. 合作探究 9 例1 已知,,则, 之间的大小关系是( ) . A A. B. C. D.不确定 基本不等式 的一端为和,另一端为积,使用基本不等式比较大小时要 善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和. [解析] 因为,所以 ,所以 ，当且仅当 时取等号. 由,得,所以.综上可知 . 合作探究 10 方法总结 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 （1）利用基本不等式比较大小,要注意观察式子的形式（和与积）,同时要注意结合函 数的性质进行判断． （2）利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足, . 合作探究 11 巩固训练 已知实数,,满足且,,则 的值 ( ) . B A.一定是正数 B.一定是负数 C.可能是0 D.正负不确定 [解析] 因为且,,所以,,,且 , 所以 . 因为,,所以,当且仅当时，等号成立,所以 . 又,当且仅当 时，等号成立, 所以 , 即 . 合作探究 12 探究2 利用基本不等式求条件最值 已知正数，满足 . 问题1: 能直接利用“1”的代换求 的最小值吗？为什么？ [答案] 不能，因为相乘后，不能利用基本不等式求最值. 问题2: 怎样变形能利用“1”的代换求最值？ [答案] 已知条件无法变换，把变形，即 ，再利用“1”的代 换求最值. 合作探究 13 问题3: 你能根据问题2的方法，求 的最小值吗？ [答案] 因为，， , 所以 , 当且仅当，即,时,等号成立，所以 的最小值为8. 合作探究 14 （1）利用基本不等式,通过恒等变形,使得“和”或“积”为定值,从而求得函数的最大值 或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；② “二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可. （2）利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的 式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件. 合作探究 15 例2 已知，，且，求 的最小值． [解析] ，， ， ，当且仅当 ， ,即，时，等号成立， 的最小值为16． 【变式探究】 本例条件变为“，，”，试求 的最小值． [解析] 由，当且仅当 ， 即，时，等号成立， 的最小值为16． 合作探究 16 方法总结 1.用常值代换法求解条件最值问题的步骤: （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 2.若常值代换法不适用于求条件最值，则对条件变形，直接使用基本不等式，建 立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值. 合作探究 17 巩固训练 已知,,且,则 的最小值是___. 9 [解析] 因为,,且 , 所以 , 当且仅当且,即, 时取等号, 所以 的最小值为9. 合作探究 18 1.已知，，且，则 的最小值为( ) . D A. B.3 C.8 D.9 [解析] ， 当且仅当即时，等号成立，所以 的最小值为9. 随堂检测 19 2.（多选题）已知，，，则对于 ，下列说法正确的是 ( ) . AD A.取最值时， B.最大值是5 C.取最值时， D.最小值是 [解析] 因为，所以 ， 当且仅当，且，即， 时，等号成立． 随堂检测 20 3.已知正数，满足恒成立，则 的最小值为( ) . B A. B. C.2 D.3 [解析] 由，得 ， 于是 ， 当且仅当，即， 时，等号成立， 所以的最小值为 ． 故选B． 随堂检测 21 4.已知,则与 的大小关系是_____________________. [解析] 因为,所以, , 所以,当且仅当 时,等号成立. 随堂检测 22 $$