1.3.2 基本不等式 课时1 基本不等式的概念及其应用（一）课件 2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章 预备知识 §3 不等式 3.2 基本不等式 课时1 基本不等式的概念及其应用（一） 1 1.理解基本不等式的内容及几何解释.（逻辑推理） 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.（数学运算） 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.（逻辑推理） 学习目标 2 如图所示，这是在北京召开的第24届 国际数学家大会的会标,会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的阴暗使 它看上去像一个风车,代表中国人民热情好 客.根据上节的内容我们可得出 ,当且仅当 时等号成 立． 自主预习 3 阅读教材,结合上述情境回答下列问题： 1.若以,分别代替材料中的, ,可得出什么结论？ [答案] . 2.问题1的结论中,“ ”何时成立？ [答案] 当且仅当时,“ ”成立． 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 对于任意，， .( ) √ （2） 当时， .( ) √ （3） 当时， .( ) × （4） 若，则的最小值为 .( ) × 自主预习 5 2.已知 ，则下列不等式正确的是( ) . C A. B. C. D. [解析] 当时，, ，故A，B错误. 当时，由基本不等式的性质可得, ,故C正确，D错误. 自主预习 6 3.不等式 成立的前提条件为_______． [解析] 因为基本不等式成立的前提条件是各项均为正， 所以，即 ． 自主预习 7 4.已知，，都是正数，求证： ． [解析] ，， 都是正数， ，， ， ， ， 即，当且仅当 时，等号成立． 自主预习 8 探究1 基本不等式的概念 如图,是半圆的直径,是上任意一点,, ,过 点作垂直于且交半圆于点,连接, . 问题1: 如何用,表示, 的长度？ [答案] .易证,则,即 . 合作探究 9 问题2: 比较, 的长度,能得出什么结论？ [答案] 的长度大于或等于的长度,通过两者的关系可以得出 . 合作探究 10 1.重要不等式 ,,有 ____,当且仅当______时,等号成立． 2.基本不等式 如果,,那么用,分别代替上式中的,,可得 ,当且仅当______ 时,等号成立.通常称不等式为基本不等式（又称均值不等式）,其中 叫作 ,的算术平均值,叫作, 的几何平均值． 合作探究 11 3.变形 ,,其中,,当且仅当 时,等号成立. 特别提醒：①基本不等式成立的条件：,,当且仅当时取等号.若 , ,且,则,即只能有 . ②利用基本不等式解题时,若分母中含有变量，则分母不能为0. 合作探究 12 例1 给出下面三个推导过程：①因为，，所以 ；②因为 ，且，所以；③因为，， ，所以 . 其中正确的推导过程为( ) . D A.①② B.②③ C.② D.①③ 根据基本不等式中的条件进行判断，从基本不等式成立的条件考虑. 合作探究 13 [解析] 因为，，所以， ，符合基本不等式成立的条件，故① 正确；因为，且不符合基本不等式成立的条件，所以 是 不成立的，故②错误；由，得，均为负数，但在推导过程中将 看成一个 整体提出负号后，， 均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确.故选D． 合作探究 14 方法总结 与 都是带有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取等号”这 句话的含义要有正确的理解.一方面,当时,；另一方面,当 时, 也有 . 合作探究 15 巩固训练1 在不等式 中，等号成立的条件是( ) . C A. B. C. D. [解析] ， 当，即 时，等号成立. 巩固训练2 已知，，且 ，则下列结论恒成立的是( ) . D A. B. C. D. [解析] 对于A，当时，，故A错误；对于B，C， 只能说明 ，同号，当，都小于0时，故B，C错误；对于D，因为，所以 ， ，所以，当且仅当时，取等号，即 恒成立，故D正 确.故选D. 合作探究 16 探究2 运用基本不等式求最值 问题1: 当两个正数,的和为定值时, 有最小值还是最大值？最值是多少？ [答案] 有最大值,当时,取得最大值,最大值是 . 问题2: 当两个正数,的乘积为定值时, 有最小值还是最大值？最值是多少？ [答案] 有最小值,当时,取得最小值,最小值是 . 合作探究 17 已知, 都是正数, （1）如果积等于定值,那么当且仅当时,和取得最小值 ; （2）如果和等于定值,那么当且仅当时,积取得最大值 . 利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即 （1）一正：符合基本不等式成立的前提条件 . （2）二定：化不等式的一边为定值. （3）三相等：必须存在取“”的条件,即“ ”成立． 以上三点缺一不可． 合作探究 18 一、利用基本不等式求最值 例2 （1）已知,则当取得最大值时 的值为__. （2）已知,则 的最小值为___. 6 通过常数拼凑使得两个式子的和或积为定值,再利用基本不等式求出最值,注 意“一正、二定、三相等”的条件以及拼凑中的等价变形过程. 合作探究 19 [解析] （1）, , , 当且仅当,即时等号成立,故 . （2）,, , 当且仅当,即 时等号成立. 合作探究 20 方法总结 若是求和式的最小值,通常化积为定值；若是求积的最大值,通常化和为定值.其解 答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式． 合作探究 21 二、利用基本不等式证明 例3 已知，，为正数，且满足.证明： ． [解析] 因为，，， ，所以 ，当且仅当 时，等号 成立, 所以 ． 合作探究 22 方法总结 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定 理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步 推向“未知”. （2）注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否同时成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用. 合作探究 23 巩固训练1 （1）已知，求 的最大值； （2）当时，求 的最大值． [解析] （1）， ， ，当且仅当，即 时， 等号成立，故 ． （2），，当且仅当，即 时，等号成立，故 ． 合作探究 24 巩固训练2 （1）已知，，且，求 的最大值. （2）已知，，为正数，且，证明： . [解析] （1），且 ， 由基本不等式可得 ， 当且仅当时，等号成立，此时 取得最大值64. （2） . 当且仅当 时，等号成立. 合作探究 25 1.不等式 中等号成立的条件是( ) . C A. B. C. D. [解析] 由基本不等式知等号成立的条件为,即 . 随堂检测 26 2.若 ，则下列不等式一定成立的是( ) . C A. B. C. D. [解析] ，， ， , . 故 ． 随堂检测 27 3.若把36写成两个正数的积,则这两个正数的和的最小值为____. 12 [解析] 设这两个正数分别为,,则 . , , 当且仅当 时,等号成立. 故这两个正数的和的最小值为12. 随堂检测 28 4.已知，为正实数，且.求证： . [解析] ,为正实数，且 , , 当且仅当时“ ”成立. 随堂检测 29 $$