上海市宝山区世外学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025 学年宝山世外高二下第二学期期中考试 2025.04.11 一、填空题:(1 至 6 题,每题 4 分；7 至 12 题,每题 5 分,共 54 分) 1. 已知复数 ,其中 为虚数单位,则 的虚部是_____ 2. 若 为正整数,则不等式 的解集是_____ 3. 函数 的最大值为_____ 4. 函数 在 处的切线方程为_____ 5. 设 为等比数列 的前 项和,已知 ,则公比 _____ 6. 若 的二项式展开式中 的系数为 10 ,则实数 的值为_____ 7. 已知向量 ,向量 在 上的投影向量为 ,则 _____ 8. 若直线 上有且仅有一点 ,使得 ,则直线 被圆 截得的弦长为_____ 9. 已知随机变量 ,则实数 的值为_____ 10. 将一枚质地均匀的硬币抛掷 3 次,设事件 为 “第 1 次出现正面”,事件 为“第 3 次出现反面”,则 _____ 11. 若 为双曲线 的左焦点,过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点,则 的取值范围是_____ 12. 若对任意的正整数 ,函数 均存在两个极值点 ,且满足 ,则数列 的所有项和为_____ 二、选择题:(13 至 14 题,每题 4 分；15 至 16 题,每题 5 分,共 18 分) 13. 设随机变量 ,则 ( ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 14. 已知 、 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 15. 函数 是 ( ) A. 偶函数, 且最小值为 -2 B. 偶函数, 且最大值为 2 C. 周期函数,且在 上严格增 D. 非周期函数,且在 上严格减 16. 若对任意 可以作为一个三角形的三条边长,则称函数 是区间 上的 “稳定函数”. 已知函数 是区间 上的 “稳定函数”,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 三、解答题:(17 至 19 题,每题 14 分,其中第 1 问 6 分,第 2 问 8 分；20 至 21 题,每题 18 分,其中第 1 问 4 分,第 2 问 6 分,第 3 问 8 分,共 78 分) 17. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 . (1)求数列 的通项公式 及前 项和 ； (2)若 ,求数列 的前 项和 。 18. 如图 (1),在 中, 分别是 上的点,且 ,将 沿 折起到 的位置,使 ,如图 (2). 设 点为 的中点. (1)求证: 平面 ； (2)求点 到平面 的距离. 19. 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产, 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起,则合格品率为 97%. (1)设甲工厂试生产的这批零件有 件,乙工厂试生产的这批零件有 件,证明: ； (2)用频率估计概率,记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ,求 的分布列、数学期望和方差. 20. 已知函数 . ( 1 )当 时,求函数 的最小值； (2)证明方程 有且仅有一正一负根: (3)若关于 的不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 21. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 . (1)以 为圆心的圆经过椭圆的左焦点 和上顶点 ,求椭圆 的离心率； (2)已知 ,设点 是椭圆 上一点,且位于 轴的上方,若 是等腰三角形,求点 的坐标; (3)已知 ,过点 且倾斜角为 的直线与椭圆 在 轴上方的交点记作 ,若动直线 也过点 且与椭圆 交于 两点 (均不同于 ),是否存在定直线 ,使得动直线 与 的交点 满足直线 的斜率总是成等差数列? 若存在,求常数 的值; 若不存在,请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 学年宝山世外高二下第二学期期中考试 2025.04.11 一、填空题:(1 至 6 题,每题 4 分；7 至 12 题,每题 5 分,共 54 分) 1. 已知复数 ,其中 为虚数单位,则 的虚部是_____ 【解析】 2. 若 为正整数,则不等式 的解集是_____ 【解析】 3. 函数 的最大值为_____ 【解析】 4. 函数 在 处的切线方程为_____ 【解析】 5. 设 为等比数列 的前 项和,已知 ,则公比 _____ 【解析】 6. 若 的二项式展开式中 的系数为 10 ,则实数 的值为_____ 【解析】 7. 已知向量 ,向量 在 上的投影向量为 ,则 _____ 【解析】 8. 若直线 上有且仅有一点 ,使得 ,则直线 被圆 截得的弦长为_____ 【解析】 9. 已知随机变量 ,则实数 的值为_____ 【解析】 10. 将一枚质地均匀的硬币抛掷 3 次,设事件 为 “第 1 次出现正面”,事件 为“第 3 次出现反面”,则 _____ 【解析】 11. 若 为双曲线 的左焦点,过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点,则 的取值范围是_____ 【解析】（对称性转化+求最值） 12. 若对任意的正整数 ,函数 均存在两个极值点 ,且满足 ,则数列 的所有项和为_____ 【解析】 函数 定义域为 ,且 ,令 ,得 ,不妨设 , 因为 ,所以 （类似于对数函数加绝对值的性质） 解得 ,代入条件得 , 化简得: , 即 , 所以 . 二、选择题:(13 至 14 题,每题 4 分；15 至 16 题,每题 5 分,共 18 分) 13. 设随机变量 ,则 ( ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 【解析】 14. 已知 、 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A. 若 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 【解析】 15. 函数 是 ( ) A. 偶函数, 且最小值为 -2 B. 偶函数, 且最大值为 2 C. 周期函数,且在 上严格增 D. 非周期函数,且在 上严格减 【解析】 16. 若对任意 可以作为一个三角形的三条边长,则称函数 是区间 上的 “稳定函数”. 已知函数 是区间 上的 “稳定函数”,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【解析】（黄金函数图像平移问题+三角形构成问题） 三、解答题:(17 至 19 题,每题 14 分,其中第 1 问 6 分,第 2 问 8 分；20 至 21 题,每题 18 分,其中第 1 问 4 分,第 2 问 6 分,第 3 问 8 分,共 78 分) 17. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 . (1)求数列 的通项公式 及前 项和 ； (2)若 ,求数列 的前 项和 。 【解析】 (1)设等差数列 的公差为 ,由 , 得 ,且 , 联立解得 ,故 ； (2)由(1)可知 ,且 则 , 故 则 两式作差可得： , . （错位相减典型题） 18. 如图 (1),在 中, 分别是 上的点,且 ,将 沿 折起到 的位置,使 ,如图 (2). 设 点为 的中点. (1)求证: 平面 ； (2)求点 到平面 的距离. 【解析】 【解析】 （1）, , , 平面 , . 又 , , 平面 . （2）如图,以 为坐标原点,建立空间直角坐标系 , . 设平面 法向量为 , 19. 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产, 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起,则合格品率为 97%. (1)设甲工厂试生产的这批零件有 件,乙工厂试生产的这批零件有 件,证明: ； (2)用频率估计概率,记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ,求 的分布列、数学期望和方差. 【解析】 （1）设甲工厂试生产的这批零件有 件,乙工厂试生产的这批零件有 件, 事件 “混合放在一起零件来自甲工厂”, 事件 “混合放在一起零件来自乙工厂”, 事件 “混合放在一起的某一零件是合格品”, 则 , , (N) 化简得: （2）由（1）知， , 由题, 的可能取值为0,1,2,3, 则 ,故 . （分布列略） 20. 已知函数 . ( 1 )当 时,求函数 的最小值； (2)证明方程 有且仅有一正一负根: (3)若关于 的不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 【解析】 (1) , , , 单调递减, , , 单调递增, (2)方程 可化简为 方程 的根就是函数， 的零点。 易知 在 , 上单调递增, 因为 , 所以函数 在 有唯一零点 ,且 因为 , ,所以函数 在 有唯一零点 ,所以有且仅有一正一负根。 (3)设 则当 时 恒成立, ①由(1)得 , 当 时, , , , 单调递减, , , 单调递增, . ②当 时, ,这与 矛盾, 综上, .即 . 21. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 . (1)以 为圆心的圆经过椭圆的左焦点 和上顶点 ,求椭圆 的离心率； (2)已知 ,设点 是椭圆 上一点,且位于 轴的上方,若 是等腰三角形,求点 的坐标; (3)已知 ,过点 且倾斜角为 的直线与椭圆 在 轴上方的交点记作 ,若动直线 也过点 且与椭圆 交于 两点 (均不同于 ),是否存在定直线 ,使得动直线 与 的交点 满足直线 的斜率总是成等差数列? 若存在,求常数 的值; 若不存在,请说明理由. 【解析】 (1)由题意可得： , . (2) , ,椭圆 的方程为: . 点 是椭圆 上一点,且位于 轴的上方,若 ,则 . 若 ,设 ,则 , ,联立解得 若 ,设 ,根据对称性可得 . 综上可得点 的坐标为(0,4), ， . , ,椭圆 的方程为 ,把 代入椭圆方程可得 , ,解得 . 设直线 的方程为： , , ,设 , 联立 ,化为 , , 假设存在定直线 : ,使得动直线 与 的交点 满足直线 、 、 的斜率总是成等差数列, 则 , ,代入化为： , 而 ,解得 . 因此存在定直线 ,使得动直线 与 的交点 满足直线 、 、 的斜率总是成等差数列. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$