第一章 §1.1　集　合（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.1　集　合 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 集合间的基本关系 （4年2考） 2023·全国新Ⅱ卷、2020全国新Ⅰ卷 一般给两个集合，要求通过解不等式求出集合，然后通过集合的运算得出答案。 考点2 交集 （4年10考） 2024·全国新Ⅰ卷、2024年全国甲卷、2023·北京卷、2023全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022年全国乙卷、2022年全国甲卷、2022全国新Ⅰ卷、2021年全国乙卷、2021年全国甲卷、2021年全国甲卷、2021全国新Ⅰ卷 考点3 并集 （4年4考） 2024·北京卷、2022·浙江卷、2021·北京卷、2020·山东卷 考点4 补集 （4年8考） 2024年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023年全国乙卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2021全国新Ⅱ卷、2020全国新Ⅰ卷 【知识梳理】　　　　　　　　　　　　　　　　 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 【名师点拨】 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 3.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 【随堂训练】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.(　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.(　　) (4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　　) 2.(2025·榆林模拟)设集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|(x+1)(x-3)≥0}，则A∩(∁RB)等于(　　) A.{-2，-1，0} B.{-1，-2} C.{0，1，2} D.{1，2} 3.已知集合A={-1，0，1}，B={x|-1≤x≤1}，则(　　) A.A=B B.A∩B=∅ C.B⊆A D.AB 4.已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|x≥a，a∈R}，若M∩N=M，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【名师点拨】 1.掌握有限集子集个数的结论 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个. 2.灵活应用两个常用性质 (1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB). (2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 3.牢记两个注意点 (1)在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论. (2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制. 【必练核心题型】 题型一　集合的含义与表示 例1.(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A.M={3，-1}，P={(3，-1)} B.M={(3，1)}，P={(1，3)} C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R} D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R} 例2.已知集合M={1，a+3，a2+2}，且6∈M，则a的值为　　　　.  【变式训练】 变式1.(2025·遵义模拟)已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，若集合C={xy|x∈A，y∈B}，则C的元素之和为(　　) A.9 B.12 C.16 D.18 变式2.已知m∈R，n∈R，若集合={m2，m+n，0}，则m2 025+n2 025的值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 题型二　集合间的基本关系 例1.(2025·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是(　　) A.A=B B.B⊆A C.A∩(∁UB)=∅ D.(∁UA)∩B=∅ 例2.(2025·扬州模拟)已知集合A={x}，B={x}.若A∪B=A，则实数m的取值范围为(　　) A.[3，+∞) B.[2，3] C.(-∞，3] D.[2，+∞) 【变式训练】 变式1.(多选)已知I为全集，若A∪B=A，则(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.∁IA⊆∁IB D.∁IB⊆∁IA 变式2.(2025·洛阳模拟)已知全集为R，集合A={x|2<x<6}，B={x|a-4≤x≤a+4}，且A⊆∁RB，则实数a的取值范围是　　　　　.  题型三　集合的基本运算 命题点1　集合的运算 例1.(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A={x|-5<x3<5}，B={-3，-1，0，2，3}，则A∩B等于(　　) A.{-1，0} B.{2，3} C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2} 例2.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于(　　) A.{x|x=3k，k∈Z} B.{x|x=3k-1，k∈Z} C.{x|x=3k-2，k∈Z} D.∅ 命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例1.(2024·佛山模拟)已知集合A={x}，B={x|x>m}，若∪B=R，则m的取值范围是(　　) A.(-∞，3) B.(3，+∞) C.(-∞，7) D.(7，+∞) 【变式训练】 变式1.(多选)已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|1<x≤3}，则下列判断正确的是(　　) A.A∪B=B B.(∁RB)∪A=R C.A∩B={x|1<x≤2} D.(∁RB)∪(∁RA)={x|x≤1或x>2} 变式2.设集合A={x|x<2或x≥4}，B={x|a≤x≤a+1}，若(∁RA)∩B=∅，则a的取值范围是(　　) A.a≤1或a>4 B.a<1或a≥4 C.a<1 D.a>4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.1　集　合 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 集合间的基本关系 2023·全国新Ⅱ卷、2020全国新Ⅰ卷 一般给两个集合，要求通过解不等式求出集合，然后通过集合的运算得出答案。 考点2 交集 2024·全国新Ⅰ卷、2024年全国甲卷、2023·北京卷、2023全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022年全国乙卷、2022年全国甲卷、2022全国新Ⅰ卷、2021年全国乙卷、2021年全国甲卷、2021年全国甲卷、2021全国新Ⅰ卷 考点3 并集 2024·北京卷、2022·浙江卷、2021·北京卷、2020·山东卷 考点4 补集 2024年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023年全国乙卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2021全国新Ⅱ卷、2020全国新Ⅰ卷 【知识梳理】　　　　　　　　　　　　　　　　 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 【名师点拨】 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 3.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 【随堂训练】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.(　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.(　　) (4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【解析】(1)错误.空集只有一个子集. (2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝【1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线 y＝x2＋1上的点集. (3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性. 2.(2025·榆林模拟)设集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|(x+1)(x-3)≥0}，则A∩(∁RB)等于(　　) A.{-2，-1，0} B.{-1，-2} C.{0，1，2} D.{1，2} 【答案】C 【解析】因为∁RB={x|(x+1)(x-3)<0}={x|-1<x<3}， 所以A∩(∁RB)={0，1，2}. 3.已知集合A={-1，0，1}，B={x|-1≤x≤1}，则(　　) A.A=B B.A∩B=∅ C.B⊆A D.AB 【答案】D 【解析】因为集合A={-1，0，1}，B={x|-1≤x≤1}，所以A中元素都属于B，且A≠B，所以A是B的真子集. 4.已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|x≥a，a∈R}，若M∩N=M，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【答案】(-∞，-1] 【解析】因为M∩N=M，所以M⊆N，所以a≤-1. 【名师点拨】 1.掌握有限集子集个数的结论 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个. 2.灵活应用两个常用性质 (1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB). (2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 3.牢记两个注意点 (1)在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论. (2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制. 【必练核心题型】 题型一　集合的含义与表示 例1.(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A.M={3，-1}，P={(3，-1)} B.M={(3，1)}，P={(1，3)} C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R} D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R} 【答案】ABD 【解析】选项A中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P； 选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P； 选项C中，M={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞)，P={x|x=t2+1，t∈R}=[1，+∞)，故M=P； 选项D中，M是二次函数y=x2-1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y=x2-1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P. 例2.已知集合M={1，a+3，a2+2}，且6∈M，则a的值为　　　　.  【答案】2或3 【解析】由M={1，a+3，a2+2}，且6∈M， 得a+3=6或a2+2=6， 解得a=3或a=±2， 当a=3时，M={1，6，11}，符合题意； 当a=2时，M={1，5，6}，符合题意； 当a=-2时，M={1，1，6}，不符合元素的互异性，舍去. 所以a的值为2或3. 【解题技巧】解决集合含义问题的关键点 (1)确定集合中的代表元素. (2)确定元素的限制条件. (3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾. 【变式训练】 变式1.(2025·遵义模拟)已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，若集合C={xy|x∈A，y∈B}，则C的元素之和为(　　) A.9 B.12 C.16 D.18 【答案】C 【解析】因为0×1=0×2=0×3=0，1×1=1，1×2=2×1=2，1×3=3，2×2=4，2×3=6， 所以集合C={0，1，2，3，4，6}，集合C的元素之和为0+1+2+3+4+6=16. 变式2.已知m∈R，n∈R，若集合={m2，m+n，0}，则m2 025+n2 025的值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】B 【解析】因为={m2，m+n，0}，m≠0， 所以 解得或 当m=1时，不满足集合元素的互异性， 故m=-1，n=0，m2 025+n2 025=(-1)2 025+02 025=-1. 题型二　集合间的基本关系 例1.(2025·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是(　　) A.A=B B.B⊆A C.A∩(∁UB)=∅ D.(∁UA)∩B=∅ 【答案】C 【解析】因为集合A，B满足A⊆(A∩B)，故可得A⊆B， 对A，当A为B的真子集时，不成立； 对B，当A为B的真子集时，也不成立； 对C，A∩(∁UB)=∅，恒成立； 对D，当A为B的真子集时，不成立. 例2.(2025·扬州模拟)已知集合A={x}，B={x}.若A∪B=A，则实数m的取值范围为(　　) A.[3，+∞) B.[2，3] C.(-∞，3] D.[2，+∞) 【答案】C 【解析】由题意，集合A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}， ∵A∪B=A， ∴B⊆A. ①若B=∅，则m+1>2m-1，即m<2； ②若B≠∅，则解得2≤m≤3. 综上所述，m≤3. 【解题技巧】 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 【变式训练】 变式1.(多选)已知I为全集，若A∪B=A，则(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.∁IA⊆∁IB D.∁IB⊆∁IA 【答案】BC 【解析】因为A∪B=A，所以B⊆A，所以∁IA⊆∁IB. 变式2.(2025·洛阳模拟)已知全集为R，集合A={x|2<x<6}，B={x|a-4≤x≤a+4}，且A⊆∁RB，则实数a的取值范围是　　　　　.  【答案】{a|a≤-2或a≥10} 【解析】由题可知B≠∅， ∁RB={x|x<a-4或x>a+4}， 因为A⊆∁RB，所以6≤a-4或2≥a+4， 解得a≥10或a≤-2， 所以实数a的取值范围是{a|a≤-2或a≥10}. 题型三　集合的基本运算 命题点1　集合的运算 例1.(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A={x|-5<x3<5}，B={-3，-1，0，2，3}，则A∩B等于(　　) A.{-1，0} B.{2，3} C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2} 【答案】A 【解析】因为A={x|-<x<}， B={-3，-1，0，2，3}， 且1<<2，-2<-<-1， 所以A∩B={-1，0}. 例2.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于(　　) A.{x|x=3k，k∈Z} B.{x|x=3k-1，k∈Z} C.{x|x=3k-2，k∈Z} D.∅ 【答案】A 【解析】方法一　M={…，-2，1，4，7，10，…}，N={…，-1，2，5，8，11，…}， 所以M∪N={…，-2，-1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}， 所以∁U(M∪N)={…，-3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数， 即∁U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}. 方法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集. 命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例1.(2024·佛山模拟)已知集合A={x}，B={x|x>m}，若∪B=R，则m的取值范围是(　　) A.(-∞，3) B.(3，+∞) C.(-∞，7) D.(7，+∞) 【答案】A 【解析】方法一　由集合A={x|3≤x<7}，B={x}，可得∁RA={x|x<3或x≥7}， 因为∪B=R，则满足m<3. 方法二　因为A={x|3≤x<7}，B={x|x>m}， (∁RA)∪B=R， 所以A⊆B，所以m<3. 【解题技巧】 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 【变式训练】 变式1.(多选)已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|1<x≤3}，则下列判断正确的是(　　) A.A∪B=B B.(∁RB)∪A=R C.A∩B={x|1<x≤2} D.(∁RB)∪(∁RA)={x|x≤1或x>2} 【答案】CD 【解析】由x2-3x+2≤0，即(x-2)(x-1)≤0， 解得1≤x≤2， 所以A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}， 由B={x|1<x≤3}， 所以A∪B={x|1≤x≤3}，故A错误； A∩B={x|1<x≤2}，故C正确； 又∁RB=(-∞，1]∪(3，+∞)，所以(∁RB)∪A=(-∞，2]∪(3，+∞)，故B错误； ∁RA=(-∞，1)∪(2，+∞)，所以(∁RB)∪(∁RA)=(-∞，1]∪(2，+∞)，故D正确. 变式2.设集合A={x|x<2或x≥4}，B={x|a≤x≤a+1}，若(∁RA)∩B=∅，则a的取值范围是(　　) A.a≤1或a>4 B.a<1或a≥4 C.a<1 D.a>4 【答案】B 【解析】由集合A={x|x<2或x≥4}，得∁RA={x|2≤x<4}，又集合B={x|a≤x≤a+1}且(∁RA)∩B=∅，则a+1<2或a≥4，即a<1或a≥4. 学科网（北京）股份有限公司 $$