精品解析：湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高一下学期期中测试数学试卷

湖北省部分省级示范高中2024～2025学年下学期高一期中测试数学试卷 命题人：武汉市第四十九中学 徐方 审题人：武汉经济技术开发区第一中学 符玉欣 考试时间：2025年4月24日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意有求参数y，再由正弦函数的定义求. 【详解】由题意，且，解得， 所以. 故选：D 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分子分母同除，化弦为切代入求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：C． 3. 在中，内角所对的边分别为，已知，则角等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，进而可得角C. 【详解】在△ABC中，，，， 由正弦定理得， 且，则，可得， 所以． 故选：B． 4. 如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可. 【详解】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点， 则，， 所以. 故选：A． 5. 年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用题中定义结合三角恒等变换化简可得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：C． 6. 在下列函数中，周期为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换、结合正余弦函数及正切函数的周期逐项判断即可. 【详解】对于A，，周期为，A不是； 对于B，，周期为，B不是； 对于C，，周期为，C是； 对于D，，周期为,D不是. 故选：C 7. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上共有8100个零点 【答案】D 【解析】 【分析】由图像即可得到函数解析式，从而判断AB，由正弦型函数的单调区间即可判断C，由正弦型函数的零点代入计算，即可判断D. 【详解】由图可知，，且，可得， 又，∴，故A错误； 由五点作图法可知，，解得， 则的最小正周期为，故B错误； 函数解析式为， 当时，，， 在区间上不是单调减的，故C错误； 由，可得，即， 再由，解得， 由，解得， ∴，则在区间上共有8100个零点， 故D正确． 故选：D． 8. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. [3，5] D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】由题意可得： ， 即是上的“完整函数”，所以存在， 使得成立； 即存，使得成立； 又因为，因此， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得， 综上可知． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知，，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，计算即可判断；对于B，根据模长公式计算即可得解；对于C，根据向量夹角余弦公式计算即可判断；对于D，根据投影向量定义公式计算求解即可得解. 【详解】对于A，由题意可得， 所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量是，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一条对称轴 B. 的对称中心是 C. 在区间上的值域是 D. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得函数的对称轴与对称中心可判断AB；利用余弦函数的性质可判断C；求得函数的解析式，计算可判断D. 【详解】由，解得， 所以的对称轴方程为， 当时，，所以是的一条对称轴，故A正确； 由，可得， 所以的对称中心是，故B错误； 当时，，,故C正确； 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 所以，所以是奇函数， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的取值范围是 C. 当时的外接圆半径为 D. 若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对进行化简得，在利用正弦定理可以推出；再由为锐角三角形化简出的取值范围，且根据正弦定理化简出可判断出的取值范围；同样根据，加上，求出，再利用正弦定理即可求出的外接圆半径；由的取值范围，且对进行化简得，且，当取到最大值时转化成求出的取值范围. 【详解】对于A：，且，即， 由正弦定理得：， 即， 或（舍去）， ，故A正确； 对于B：由正弦定理， 则， 锐角三角形，则，即， ，所以，故B不正确； 对于C：且， ，所以， 由正弦定理，求得，即外接圆半径为；故C正确； 对于D： ，且， ，即； 要使得有最大值，即有最大值， 此时，当有最大值时，即时， 有最大值为，此时， ，又， ，， ∴的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是利用正弦定理得到，再求出角的范围即可判断；D选项的关键是充分利用辅助角公式得到其范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数为纯虚数，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为为纯虚数，则，解得. 故答案为：. 13. 在中，角的对边分别为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理及数量积的定义即可求解. 【详解】由余弦定理可得：， ∴， 所以2． 故答案为： 14. 在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是___________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据为相反向量，将表示成，然后分析点的位置即可得解. 【详解】如图： 记的外接圆半径为， ， 由图可知的最大值为时，取最大值0； 因为中，所以当为中点时，最小， 此时，所以取最小值， 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”． （1）求实数； （2）定义复数的一种运算“”：，求． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，由是“理想复数求解； （2）由（1）知，再由求解. 【小问1详解】 解：由题得， ， “理想复数”， ， ； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 由， 得， . 16. 已知. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角基本关系式与角的范围求得，再利用两角差的余弦公式即可得解； （2）利用同角基本关系式与角的范围求得，再利用两角和的正弦公式即可得解. 小问1详解】 因为，，则， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以， 所以 . 17. 已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线. （1）求； （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量共线列出等式，用正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求得角； （2）由面积公式解出的值，再由余弦定理解得的值. 【小问1详解】 向量与向量共线，有，由正弦定理得， ∴， 由，，∴，，又，∴. 【小问2详解】 由（1）知，∴，， ，得， 由余弦定理：， ∴，解得. 18. 已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为. （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合平面向量数量积的坐标运算法则和三角恒等变换知识化简可得，再由，求得的值后，根据正弦函数的单调性，得解； （2）由函数图象的伸缩平移法则可得，采用换元法，令，原问题转化为在，上只有一个解，作出的图象后，即可得解． 【小问1详解】 ， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令，则， 所以的单调递减区间为 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则，所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得，或， 所以的取值范围是 19. 如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为是弧上的动点（不含点），作交OB于点，作交OA于点，同时以OA为斜边，作，且． （1）设，将的面积表示成的函数并求其最大值； （2）从点出发，经过线段，到达点，求途经线段长度的最大值． 【答案】（1），最大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，可得，，再利用三角形的面积公式以及二倍角的正弦公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可； （2）过点作，垂足为点，结合图形关系可得，令，换元，结合二次函数的基本性质可求得途径线段长度的最大值. 【小问1详解】 由，则， 在中，，， 则，， 所以， 因为，则， 当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为. 【小问2详解】 过点作，垂足为点， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，则为等腰直角三角形，则， 所以，， ，， 所以，， 令， 因为，则，则， 所以，，， 所以，， 所以，， 故当时，取最大值， 因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分省级示范高中2024～2025学年下学期高一期中测试数学试卷 命题人：武汉市第四十九中学 徐方 审题人：武汉经济技术开发区第一中学 符玉欣 考试时间：2025年4月24日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角所对边分别为，已知，则角等于（ ） A. B. C. D. 或 4. 如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（ ） A. B. C. D. 6. 在下列函数中，周期为的函数是（ ） A. B. C D. 7. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上共有8100个零点 8. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. [3，5] D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知，，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上投影向量是 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一条对称轴 B. 的对称中心是 C. 在区间上的值域是 D. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 11. 在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的取值范围是 C. 当时的外接圆半径为 D. 若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数为纯虚数，则实数值为_______． 13. 在中，角的对边分别为，则___________． 14. 在中，，点为三边上动点，是外接圆的直径，则的取值范围是___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”． （1）求实数； （2）定义复数的一种运算“”：，求． 16. 已知. （1）求； （2）求. 17. 已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线. （1）求； （2）若的面积为，求的值. 18. 已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为. （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 19. 如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为是弧上的动点（不含点），作交OB于点，作交OA于点，同时以OA为斜边，作，且． （1）设，将的面积表示成的函数并求其最大值； （2）从点出发，经过线段，到达点，求途经线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $