精品解析：山东省部分学校2024-2025学年高二下学期阶段性诊断测试数学试题

高二阶段性诊断测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六､七章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ） A. 4米/秒 B. 3米/秒 C. 2米/秒 D. 1米/秒 【答案】A 【解析】 【分析】直接求导并代入即可得到答案. 【详解】由，得， 则物体在秒时的瞬时速度米／秒． 故选：A. 2. 现有甲部门的员工9人，乙部门的员工8人，丙部门的员工5人，从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ） A. 36 B. 360 C. 22 D. 224 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为. 故选：C. 3. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在区间上单调递减，可得在区间上恒成立， 参变分离可得恒成立，令，通过求导判断单调性，求得其最小值即可. 【详解】由函数，得， 因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立， 即，等价于恒成立， 令，则， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以. 故选：B. 4. 若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式系数性质可得答案. 【详解】因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，即. 故选：B. 5. 已知函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，得到，再解不等式，即可求解. 【详解】易知函数定义域为，因为， 所以，令，得， 所以，即，所以的单调递增区间为， 故选：A. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用多项式的乘法及组合，即可求解. 【详解】因为可看成个相乘， 由多项式的乘法及组合，得展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为， 故选：B. 7. 函数的极小值点为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】直接求导，根据极小值点定义即可判断. 【详解】. 令，得；令，得. 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以极小值点为1. 故选：B. 8. 包括甲、乙、丙在内的6人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为（ ） A. 180 B. 246 C. 168 D. 192 【答案】D 【解析】 【分析】分甲乙相邻且与丙不相邻、甲与乙相邻且乙与丙相邻两种情况讨论，利用捆绑法和插空法计算可得. 【详解】当甲乙相邻且与丙不相邻时，先将其余三人全排列，有种排法， 再将甲乙组合与丙插空，有种排法，则有种排法； 当甲与乙相邻且乙与丙相邻，则有种排法， 综上可得一共有种排法. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设切点，利用导数的几何意义得到切线方程为，结合条件得到，求出，即可求解. 【详解】设切点，因为，则， 则切线方程为，又， 所以，又切线过点， 所以，整理得到， 即，所以或， 当时，切线方程为，即， 当时，切线方程为，即， 故选：BD. 10. 如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被2024除所得的余数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由，再利用二项式展开式可得答案. 【详解】因为 ， 所以被2024除所得的余数为，所以. 故选：AC. 11. 某电影中太乙真人作为哪吒授业恩师，送给了哪吒七件法宝：乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮.哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（ ） A. 若哪吒每次使用两件法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种 B. 若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，7件法宝全部使用且法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有 【答案】ACD 【解析】 【分析】A计算每次使用法宝的种数，再利用分步乘法计数原理计算；B先将7件法宝分成3组，每组至少2件，再进行分配；C先排列其余5件法宝，再利用插空法排列即可；D利用倍缩法解决定序问题即可. 【详解】对于A，每次使用法宝有种， 因可以重复使用，则对阵3次、不同的使用法宝的方法有种，故A正确； 对于B，将7件法宝分成3组，每组至少2件，共有种， 则对阵3次、不同的使用法宝的方法有种，故B错误； 对于C，先将除乾坤圈、风火轮以外的5种法宝排列，共有种， 再利用插空法将乾坤圈、风火轮插入6个空位置中， 则不同的使用法宝的方法有种，故C正确； 对于D，先将7件法宝排列共有种， 再利用倍缩法解决定序问题即可得，不同的使用法宝的方法有种，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在处可导，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 若随机变量，则__________，__________. 【答案】 ①. 3 ②. 18.9 【解析】 【分析】先根据二项分布的性质求出和，再根据期望和方差的性质可求得结果. 【详解】因为，所以，， 所以，. 故答案为：；. 14. 在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位，移动4次，则蚂蚁移动到圆内部的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】若蚂蚁移动到圆的内部，则移动4次后，蚂蚁可能的位置为原点，，，，，共5种情况.把向上、下、左、右四个方向的步数分别记为，，，，则.通过分析，，，的取值计算概率即可. 【详解】把向上、下、左、右四个方向的步数记分别为，，，，则. 若蚂蚁移动到圆内部，则移动4次后，蚂蚁可能的位置为原点，，，，，共5种情况. 若蚂蚁移动到原点，则，，故，或，或，有种走法； 若蚂蚁移动到点（1，1），则，，故，，，或，，，，有种走法. 由对称可知，蚂蚁移动到圆内部的概率为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求； （2）求在上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，结合条件，利用导数的几何意义可得，即可求出，进而可求出，再利用切点在切线上，即可求解； （2）由（1）知，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以. 又在点处的切线方程为， 所以，解得，所以， 则，又切点在切线上，所以，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，则. 令，得或， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，，，所以在上的值域为. 16. 某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将一批书籍全部分配给甲､乙､丙､丁4个不同的班级. （1）若这批书是10本相同书，每个班至少1本，共有多少种不同的分配方法？ （2）若这批书是10本不同的书，每个班至少2本，共有多少种不同的分配方法？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）相同元素分配问题用“隔板法”，从个元素中间的个空中插入块板隔成份即可，利用组合数公式计算可得； （2）分为，两种情况，先分组，再分配，部分平均分组需除以组数（平均的组）的全排列. 【小问1详解】 相同元素分配问题用“隔板法”， 只需从个元素中间的个空中插入块板隔成份即可， 所以共有种不同的分配方法； 【小问2详解】 将本不同的数分成份，每个班至少本，可分为，两种情况； 若为，则有种不同的分配方法； 若为，则有种不同的分配方法； 综上可得一共有种不同的分配方法. 17. 数据显示，中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照分组，得到如下的频率分布直方图. （1）估计中国大模型用户年龄的第60百分位数. （2）为了进一步了解用户在工作中使用.模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼. ①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率； ②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为，求的分布列. 【答案】（1）40； （2）①；②分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）根据百分数的计算公式即可得到答案； （2）①根据对立事件和古典概型的计算公式即可得到答案；②写出的可能取值，再分别求出其概率即可. 【小问1详解】 AI大模型的用户年龄在，，，，内的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.15，0.05， 所以AI大模型用户年龄的第60百分位数在内. 设AI大模型用户年龄的第60百分位数为， 则，解得， 所以估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数为40. 【小问2详解】 由分层抽样可知，抽取的7名用户中年龄在内和内的分别有3人和4人. ①记至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼为事件， 则，所以至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率为. ②的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 18. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛，已知甲、乙两人射击的命中率分别为和，假设两人射击互不影响. （1）求两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率. （2）两人各射击一次，在只有一个人命中的条件下，求甲命中的概率. （3）甲参加射击训练，训练计划如下：甲先射击（，）次，若这次都命中，则训练结束，否则额外射击次.试问为何值时，甲射击次数的期望最大? 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求出两人射击一次不能命中目标的概率，可得各射击一次两人都没有命中目标的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可； （2）先求出“两人各射击一次，只有一个人命中目标”概率，再求出“两人各射击一次，只有一个人命中目标，且是甲命中目标”的概率，再结合条件概率公式即可求解； （3）根据题意求出甲射击次数的分布列，利用期望公式求出期望，然后利用求出临界值和，判断与大小，即可得出最大值. 【小问1详解】 设事件M为“甲射击的命中目标”；事件N为“乙射击的命中目标”； 由题意，，所以， 两人各射击一次，都没有命中目标的概率为， 所以两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为. 【小问2详解】 设事件为“两人各射击一次，只有一个人命中目标”，事件为“两人各射击一次，甲命中目标”， 所以， ， 则所求概率为. 【小问3详解】 设甲射击的次数为，所有可能取值为， ， 所以的分布列为 则， 令，则， ，因单调递减， 当时，，即； 当时，，即 又 所以， 所以当时，甲射击次数的期望最大. 19. 已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. （1）若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. （2）已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的二阶导数，依题意可得当时，恒成立，分、两种情况讨论，结合二次函数的性质计算可得； （2）①依题意可得在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，利用导数求出，即可求出参数的取值范围；②依题意可得方程在内有两个根，，即，结合①可得，欲证，即证，再结合函数的单调性证明即可. 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以，. 因为是上的凸函数，所以在上恒成立， 即当时，恒成立. 函数图象的对称轴为直线， 当，即时，只需时，即可，所以， 当，即时，只需时，即可，所以， 综上可得. 【小问2详解】 ①因为，，所以，. 因为是上的凹函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. ②证明：由①知，因为在内有两个不同的零点，， 所以方程在内有两个根，，即. 因为在上单调递增，在上单调递减，所以. 欲证，即证. 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证. 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立. 欲证，即证. 因为，所以只需证， 即证，即需证. 令，，则， 所以在上单调递增，所以，则原不等式得证. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二阶段性诊断测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六､七章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ） A 4米/秒 B. 3米/秒 C. 2米/秒 D. 1米/秒 2. 现有甲部门的员工9人，乙部门的员工8人，丙部门的员工5人，从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ） A. 36 B. 360 C. 22 D. 224 3. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围（ ） A B. C. D. 4. 若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 5. 已知函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的极小值点为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 包括甲、乙、丙在内的6人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为（ ） A. 180 B. 246 C. 168 D. 192 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被2024除所得的余数为，则（ ） A. B. C. D. 11. 某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝：乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮.哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（ ） A. 若哪吒每次使用两件法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种 B. 若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，7件法宝全部使用且法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数处可导，若，则__________. 13. 若随机变量，则__________，__________. 14. 在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位，移动4次，则蚂蚁移动到圆内部的概率为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求； （2）求在上的值域. 16. 某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将一批书籍全部分配给甲､乙､丙､丁4个不同的班级. （1）若这批书是10本相同的书，每个班至少1本，共有多少种不同的分配方法？ （2）若这批书是10本不同的书，每个班至少2本，共有多少种不同的分配方法？ 17. 数据显示，中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长爆发式发展阶段.为了解中国大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照分组，得到如下的频率分布直方图. （1）估计中国大模型用户年龄的第60百分位数. （2）为了进一步了解用户在工作中使用.模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼. ①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率； ②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为，求的分布列. 18. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛，已知甲、乙两人射击的命中率分别为和，假设两人射击互不影响. （1）求两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率. （2）两人各射击一次，在只有一个人命中的条件下，求甲命中的概率. （3）甲参加射击训练，训练计划如下：甲先射击（，）次，若这次都命中，则训练结束，否则额外射击次.试问为何值时，甲射击次数的期望最大? 19. 已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. （1）若函数是上凸函数，求实数的取值范围. （2）已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$