专题15 辅助圆问题（PPT课件）-【中考导学案】2025年中考数学复习讲义（武汉专用）

专题15　辅助圆问题 《中考导学案》 2025武汉数学 1 1 考法示例 2 精题精练 目 录 2 考法示例 考点综述 01 3 1 类型 定点定长作(隐形)圆 1.若有共端点的三条等线段(如图1， OA＝OB＝OC)，可考虑构造辅助圆(☉O). 2.如图2，E为定点，F为线段BD上 的动点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得 到△B'EF，得到定点E，定长BE＝B'E，可构造(隐形)圆，则点B'的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的一段圆弧. 若遇到求最值问题，可利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”解决. 类 型 读 解 首页 目录 考法示例 精题精练 类型1 类型2 类型3 4 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BAC＝50°，则∠BDC＝　 　°.  例 1 思路点拔 例1:以A为圆心，AB为半径构造辅助圆(☉A)，由圆周角定理即可得出结果. 25 首页 目录 考法示例 精题精练 类型1 类型2 类型3 ☞变式　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，且CF＝2，E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是( ) A.1.5　 　　 B.1.2　 　　 C.2.4　 　　 D.以上都不对 思路点拔 变式:以F为圆心，FC为半径构造辅助圆(☉F)，P为☉F上一动点，过点F作FH⊥AB于点H，当点P在线段FH上时，点P到边AB的距离最小. B 首页 目录 考法示例 精题精练 类型1 类型2 类型3 2 类型 定弦对定角找隐圆 固定的线段只要对应固定的角度(非90°)也叫定弦对定角，那么这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧. 如图1，在☉O中，若弦AB长度固定，则弦AB 所对的圆周角都相等；(注意:弦AB的劣弧和优弧 所对的圆周角不一样，需要根据题目灵活运用) 类 型 读 解 图1 首页 目录 考法示例 精题精练 类型1 类型2 类型3 7 如图2，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一.当∠C<90°时，点C在优弧上运动；当∠C＝90°时，点C在半圆上运动，且线段AB为☉O的直径；当∠C>90°时，点C在劣弧上运动. 解题技巧:(1)先确定好定弦、定角度数；(2)根据 定角的特殊度数找到圆心；(3)画出(隐形)圆，根据题 目条件解决所求问题. 图2 首页 目录 考法示例 精题精练 类型1 类型2 类型3 如图，已知等边△ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE＝CF，连接AF，BE相交于点P，当点E从点A运动到点C时， 点P经过的路径长为  .  例 2 思路点拔 例2:由△AFC≌△BEA证得∠APE＝60°，可知∠APB＝120°(定角)，AB＝6(定弦). 　 首页 目录 考法示例 精题精练 类型1 类型2 类型3 ☞变式　如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形ABCD的边长为6，则线段CF的最小值是　 　.  思路点拔 变式:由题意易证△ADM≌△BCN，得∠DAM＝∠CBN，由正方形轴对称性得∠CDE＝∠CBN，可知∠AFD＝90°(定角)，AD＝6(定弦). 3－3 首页 目录 考法示例 精题精练 类型1 类型2 类型3 3 类型 四点共圆 1.如图1、图2，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB的中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OC＝OD＝OA＝OB，∴A，B，C，D四点共圆，即共斜边的两个直角三角形，直角顶点在斜边同侧或异侧，都可得到四点共圆.得到 四点共圆后可以根据圆周角定理得到角 度相等，完成角度等量关系的转化，这 是证明角度相等重要的途径之一. 类 型 读 解 图1　　　　　图2 首页 目录 考法示例 精题精练 类型1 类型2 类型3 11 2.如图3，若在四边形ABCD中有∠1＝∠2(或∠3＝∠4)，则A，B，C，D四点共圆，即四边形ABCD是圆的内接四边形，则有∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴△BPC∽△APD.(同理，△BPA∽△CPD) 3.如图4，在四边形ABCD中，∠A＋ ∠C＝180°(或∠B＋∠D＝180°)，则 A，B，C，D四点共圆(圆内接四边形的 性质). 图3　　　　　 图4 首页 目录 考法示例 精题精练 类型1 类型2 类型3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P为动点，且∠CPB＝∠A，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的 最大值为  .  例 3 思路点拔 例3:因为∠CPB＝∠A，所以P，A，C，B四点共圆，AB为圆的直径. 　 首页 目录 考法示例 精题精练 类型1 类型2 类型3 ☞变式　如图，在正方形OABC中，A(8，0)，B(8，8)，点D的坐标为(－6，0)，连接CD，P为边OA上一个动点，连接CP，过点D作DE⊥CP 于点E，连接AE，当AE取最小值时，点E的纵坐标为　 　 .  思路点拔 变式:因为∠DOC＝∠DEC＝90°，所以D，O，E，C四点共圆，DC为圆的直径，则CD的中点M为圆心，当点E在线段AM上时，AE的值最小. 4－ 首页 目录 考法示例 精题精练 类型1 类型2 类型3 精题精练 考点综述 02 1.(2024·武汉三调)如图，AB是☉O的直径，AB＝4，C是上半圆的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作CD的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是 ( ) A.π B.π C.2π D.2π B 首页 目录 考法示例 精题精练 2.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，∠ACD＝15°，则∠DAB＝　 　°.  30 首页 目录 考法示例 精题精练 3.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P到点A的距离PA＝3，连接PC，M为PC的中点，连接BM，则BM的最大值为　 　.  4 首页 目录 考法示例 精题精练 4.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP的长的最小值为　 　. 2 首页 目录 考法示例 精题精练 5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，O为AC的中点，过点O作OE⊥OF，OE，OF分别交射线AB，BC于点E，F，则EF的最小值为　 　.  5 首页 目录 考法示例 精题精练 6.如图，正方形ABCD的边长为10，G是边CD的中点，E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时， AE的长是　 .  5－5 首页 目录 考法示例 精题精练 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6， E，F分别为AD，DC边上的点，且EF＝4，G为EF的中点，P为 BC边上一动点，则PA＋PG的最小值为　 　.  8 首页 目录 考法示例 精题精练 8.如图，AB为半圆O的直径，AB＝4，C为半圆O上一动点，以BC为边在半圆O外作正方形BCDE(点D在直线AB的上方)，连接OD.当点C运动时，线段OD长的最大值为　 　.  2＋2 首页 目录 考法示例 精题精练 请完成《练测本》B本P41~42专题练测15 本讲内容结束 $$