第16讲 相似三角形（PPT课件）-【中考导学案】2025年中考数学复习讲义（武汉专用）

第16讲　相似三角形 第四单元　三角形 《中考导学案》 2025武汉数学 1 1 2 梳理教材 掌握必备知识 聚焦中考 提升核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 目 录 2 梳理教材 掌握必备知识 考点综述 01 3 知识结构图 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 1.(人教九下P31练习T2改编)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点.若DE∥BC，，则＝ 　 .  基础夯实练 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 2.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝2，DF＝3，则的值为  .  首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高. (1)求证:△ABD∽△CBA； (2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长. (1)求证:∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC. 又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA. (2)解:由(1)知△ABD∽△CBA， ∴，即.∴BD＝3.6. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 4.一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证.小慧的证明思路是:如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明. 尝试证明:请参照小慧提供的 思路，利用图2证明:. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 证明:∵AB∥CE，∴∠BAD＝∠DEC. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∴∠CAD＝∠DEC.∴AC＝EC. 又∵∠BDA＝∠CDE，∴△ABD∽△ECD.∴.∴. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 聚焦中考 提升核心素养 考点综述 02 10 (人教九下P58复习题T11改编)一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝60 mm，把它加工成正方形零件(如图1)，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上. (1)求这个正方形零件的边长； 例 1 1 命题点 相似三角形的性质 解:(1)∵四边形EGHF是正方形，∴EF∥BC. ∴△AEF∽△ABC.∴. 设EG＝EF＝x，则.∴x＝40. ∴这个正方形零件的边长为40 mm. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 11 (2)如果把它加工成矩形零件(如图2)，求这个矩形的最大面积. (2)设EG＝a.∵四边形EGHF是矩形，∴EF∥BC. ∴△AEF∽△ABC. ∴，即.∴EF＝120－2a. ∴矩形面积S＝a(120－2a)＝－2a2＋120a＝ －2(a－30)2＋1 800. 当a＝30时，这个矩形的面积最大，最大面积是1 800 mm2. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE. (1)求证:△ABC∽△AEB； (2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长. 例 2 2 命题点 相似三角形的判定 (1)证明:∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠ACB. ∵∠ACD＝∠ABE，∴∠ACB＝∠ABE. 又∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB. (2)解:∵△ABC∽△AEB，∴，即.∴AE＝9. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 13 (2024·湖北)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下: 例 3 3 命题点 相似三角形的应用 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 方案 示意图 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 14 (续表) 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看 树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (续表) 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 测量 数据 ①DB＝10 m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6 m. 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据:tan 32.5°≈0.64. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (续表) 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “平面镜”方案 方案 示意图 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (续表) 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “平面镜”方案 实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度CD. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (续表) 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “平面镜”方案 测量 数据 ①EB＝10 m； ②ED＝2 m； ③CD＝1.6 m. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (续表) 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “平面镜”方案 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学 知识可得∠CED＝∠AEB. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度. 解:“测角仪”方案:由题意知，CF⊥AB，CD⊥BD，AB⊥BD， ∴四边形CDBF是矩形.∴CF＝DB＝10 m，BF＝CD＝1.6 m. ∵∠ACF＝32.5°，∴AF＝CF·tan 32.5°≈10×0.64＝6.4(m). ∴AB＝AF＋BF≈6.4＋1.6＝8(m). 答:树AB的高度约为8 m. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 “平面镜”方案:∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠CDE＝∠ABE＝90°. ∵∠CED＝∠AEB，∴△CDE∽△ABE. ∴，即.∴AB＝8 m. 答:树AB的高度为8 m. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 课堂反馈 落实学业要求 考点综述 03 1.(2024·台湾)如图1，等腰梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠C，且点E在BC上，DE∥AB.今以DE为折线将点C向左折后，点C恰落在AB上，如图2所示.若CE＝2，DE＝4，则图2的BC与AC的长度比为何? ( ) A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.3∶5 B 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 2.如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F.下列结论:①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2＝AD·EF.其中正确的结论是　 　.(填写所有正确结论的序号)  ①③④ 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 3.如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA. (1)求证:∠FDE＝∠A； (1)证明:∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形.∴∠FDE＝∠A. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 (2)若BD∶DC＝1∶4，S△CDE＝16，求S四边形AFDE. (2)解:∵BD∶CD＝1∶4，∴CD∶CB＝4∶5. ∵DE∥AB，DF∥AC，∴△CDE∽△CBA∽△DBF. ∴＝()2＝＝()2＝. ∵S△CDE＝16，∴S△BDF＝1，S△ABC＝25. ∴S四边形AFDE＝25－16－1＝8. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 4.小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度(AB)，测量方法如下:在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到瞭望塔AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中B，C，D三点在同一直线上.已知小辉的 眼睛距离地面的高度ED约为1.75 m，测得BC＝40 m， CD＝1 m，请你帮助他求出该瞭望塔的高度AB. 解:由题意，得∠ECD＝∠ACB，AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠CDE＝90°.∴△ABC∽△EDC.∴，即. ∴AB＝70.∴该瞭望塔的高度AB为70 m. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 5.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边CB，AC的延长线上，且∠DAB＝∠EBC，EB的延长线交AD于点F. (1)求证:△DBF∽△EBC； 证明:(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ABC，∠ACB分别是△ADB和△BCE的外角， ∴∠ABC＝∠DAB＋∠D，∠ACB＝∠EBC＋∠E. ∵∠DAB＝∠EBC，∴∠D＝∠E. 又∵∠DBF＝∠EBC，∴△DBF∽△EBC. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 (2)如果AB＝BC，求证:EC2＝DF·DA. (2)∵∠DBF＝∠EBC，∠DAB＝∠EBC， ∴∠DBF＝∠DAB. 又∵∠D＝∠D，∴△DBF∽△DAB. ∴，即DB2＝DF·DA. 在△ADB和△BEC中，∴△ADB≌△BEC(AAS). ∴DB＝EC.∴EC2＝DF·DA. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 6.在△ABC中，P为边AB上一点. (1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证:AC2＝AP·AB； (1)证明:∵∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC， ∴△ACP∽△ABC. ∴.∴AC2＝AP·AB. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 (2)若M为CP的中点，AC＝2， ①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长； (2)解:①如图，过点C作CQ∥BM交AB的延长线 于点Q，则∠PBM＝∠AQC. 设BP＝x，则PQ＝2x. 又∵∠PBM＝∠ACP，∴∠ACP＝∠AQC. 又∵∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ. ∴，即AC2＝AP·AQ. ∴22＝(3－x)(3＋x).∴x＝，即BP＝. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 ②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长. ②BP的长为－1. 首页 目录 聚焦中考 提升核心素养 梳理教材 掌握必备知识 课堂反馈 落实学业要求 请完成《练测本》A本P33~35素养综合练测16 本讲内容结束 $$