19.3课题学习 选择方案 教学设计 2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.2一次函数 19.3课题学习 选择方案 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课为“19.3课题学习 选择方案”，主要内容是利用一次函数解决实际问题中的方案选择问题，包括建立函数模型、分析函数图像与解析式、比较不同方案的经济性。学生需掌握如何将现实问题抽象为数学函数模型，并通过方程、不等式及函数图像分析，找到最优解决方案。 2.内容解析 本节内容是在学习一次函数定义、图像与性质的基础上，进一步将其应用于实际问题的决策分析中。通过比较不同收费方案、租车方案等，学生需要理解如何将现实问题抽象为数学函数模型，并运用数学工具进行分析，培养数学建模能力和优化意识，为后续学习二次函数、线性规划奠定基础。 二、目标和目标解析 1.目标 （1）能够根据实际问题中的变量关系，建立一次函数模型，并求出自变量的取值范围。 （2）能通过求交点坐标、画函数图像、比较函数值大小等方法，确定不同方案的最优选择区间。 （3）能综合运用数学知识解决复杂决策问题（如多约束条件下的租车方案），提升逻辑推理能力。 2.目标解析 通过本节学习，学生将理解如何将生活中的优化问题转化为数学问题，体会函数工具在决策中的作用。同时，通过分析分段函数、多变量问题，学生的抽象思维和数据处理能力将得到提升，为高中学习函数综合应用打下坚实基础。 三、教学问题诊断分析 1. 建模困难：学生可能难以从文字描述中提取关键变量并建立函数关系。 1. 分段函数理解障碍：对“超时费” “包时上网”等分段计费方式，部分学生无法正确分段写出函数表达式。 1. 多变量综合分析不足：在租车问题中，需同时考虑人数、费用、车辆类型等多个约束，学生容易遗漏条件或找不到关联变量。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1 某校计划组织学生春游，需租用车辆。现有两种车型可选： · 甲种客车：载客45人，租金400元/辆。 · 乙种客车：载客30人，租金280元/辆。 总预算为2300元，如何安排车辆才能保证所有师生（共240人）有车坐且费用最低？ 问题2 若某通信公司提供两种手机套餐： · 套餐A：月租费30元，包含25小时上网时间，超时后按0.05元/分钟收费。 · 套餐B：月租费50元，包含50小时上网时间，超时后按0.05元/分钟收费。 如何根据每月上网时间选择更省钱的套餐？ 问题3 某快递公司提供两种计费方式： · 方式A：首重10元，续重2元/千克。 · 方式B：首重15元，续重1.5元/千克。 当货物重量为多少时，选择方式B更优惠？ 设计意图：通过生活实例引发兴趣，引导学生感知函数建模的必要性，对应目标（1）（2）。 （二）合作探究1 探究1 分析问题2中的上网费用函数。 1. 学生活动：设月上网时间为小时，写出套餐A、B的费用函数、。 · 套餐A的分段函数： · 化简得： · 套餐B的分段函数： · 化简得： 1. 追问： · 当小时时，套餐A和B的费用分别是多少？ 答案： 元，元，故选择套餐A更省钱。 · 如何找到两种套餐费用相等的临界值？ 解析：联立方程，解得小时。 设计意图：训练分段函数建模能力，对应目标（1）。 （三）巩固练习1 1. 题目：某健身房会员费方案： · 方案A：60元/月，不限次数。 · 方案B：20元/月，每次健身5元。 问：每月健身多少次时，方案A更划算？ 解析：设健身次数为，则方案B费用为。 当时，解得，即健身超过8次时选A。 1. 题目：快递公司收费方式： · 方式A：首重10元，续重2元/kg。 · 方式B：首重15元，续重1.5元/kg。 问：货物重量为多少时方式B更优惠？ 解析：设重量为 kg（），联立方程： · 解得，即货物超过9 kg时选择方式B。 知识点分析：分段函数的应用及不等式求解。 （四）合作探究2 探究2 解决租车问题（问题1）。 1. 约束分析： · 总人数：234学生 + 6教师 = 240人。 · 每辆车至少有1名教师 → 最多6辆汽车（教师共6人）。 · 费用限制：不超过2300元。 1. 建立函数：设租甲种车辆，乙种车辆，则： 1. 求解策略：列举可能的值（0 ≤ ≤ 5），计算对应的并验证条件。 · 当时： · 费用：元（符合预算）。 · 当时： · 费用：元（符合预算）。 1. 最优解：租5辆甲种车和1辆乙种车，总费用2280元，载客量255人。 设计意图：培养多约束问题处理能力，对应目标（3）。 （五）典例分析 例1 某公司需运输240吨货物，现有两种车型： · 甲种车：载重10吨，运费400元/辆。 · 乙种车：载重8吨，运费300元/辆。 如何安排车辆使总运费最低？ 解：设租甲种车辆，乙种车辆，满足： 通过枚举法验证： · 当时，，费用=9600元。 · 当时，，费用=400×20 + 300×5 = 9500元（最优）。 变式1 若预算增加至10000元，如何调整方案？ 答案：租用更多甲种车以降低总成本。 设计意图：通过实际问题强化函数建模与优化思想，对应目标（2）（3）。 （六）巩固练习 1. 题目：某书店会员卡方案： · 卡A：年费50元，购书享8折优惠。 · 卡B：年费0元，购书享9折优惠。 问：每年购书金额超过多少元时，卡A更划算？ 解析：设购书金额为元，则，解得元。 1. 题目：某停车场收费方式： · 方式A：前2小时5元，后续每小时2元。 · 方式B：每小时3元。 问：停车时间超过多少小时时方式A更省钱？ 解析：设停车时间为小时，联立方程： · 实际有效解为小时。 1. 题目：某电商平台运费方案： · 方案A：订单满100元包邮，否则运费10元。 · 方案B：运费固定5元。 问：订单金额为多少时选择方案A更优？ 解析：当订单金额≥100元时选A；若金额<100元且运费10元>5元，则选B。 知识点分析：分段函数与不等式在实际场景中的应用。 （七）归纳总结 问题类型 数学工具 关键步骤 上网套餐选择 分段函数、图像交点分析 分段建模、联立方程求临界值 租车方案优化 多变量约束、线性规划 枚举法验证、费用与载客量平衡 快递费用比较 不等式求解、函数值比较 分段函数比较、临界值计算 （八）感受中考 1. （2023·江苏） 某公司提供两种工资方案： · 方案A：底薪3000元，每销售1件提成10元。 · 方案B：底薪2000元，每销售1件提成15元。 当销售量为多少时，方案A更优？ 解析：设销售量为件，联立，解得。 1. （2022·浙江） 某快递公司收费方式如下表： 方式 首重费用（元） 续重（元/kg） A 12 2 B 8 3 当货物重量为多少时，两种方式费用相同？ 解析：设重量为 kg，联立，解得 kg。 1. （2024·广东） 某景区门票方案： · 方案A：成人票50元，儿童票30元。 · 方案B：团体票（≥5人）每人40元。 某家庭有3成人和2儿童，应如何购票？ 解析：方案A费用=3×50 + 2×30=210元；方案B不适用（人数不足5人），故选A。 1. （2023·四川） 某出租车收费标准： · 3公里内10元，超过3公里后每公里2元。 乘客乘车8公里需支付多少元？ 解析：费用=10 + 2×(8-3)=20元。 （九）小结梳理 知识点 实际应用 数学方法 分段函数建模 套餐选择、运费计算 函数图像分析、方程求解 多变量约束 租车方案、资源分配 线性规划、枚举法 临界值分析 费用比较、最优决策 不等式求解、逻辑推理 （十）布置作业 必做题： 1. 教材P102 习题19.3第1题（上网套餐分析）。 1. 教材P103 习题19.3第4题（租车方案优化）。 选做题： 某电商平台推出两种会员卡： · 卡A：年费100元，所有商品享9折优惠。 · 卡B：年费0元，所有商品享95折优惠。 研究：年消费金额达到多少时，卡A更划算？ 五、教学反思 （课后补充） 学科网（北京）股份有限公司 $$