精品解析：北京市第五十五中学2024-2025学年高一下学期期中调研数学试卷

北京市第五十五中学2024-2025学年度第二学期 期中调研试卷 高一年级数学 本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的项，把答案填涂在答题纸上） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式可得. 【详解】， 故选：B 2. 已知，，，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示即可求得结果. 【详解】已知，，所以，解得： 故选：B 3. 在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由正弦定理可得可得. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式展开，代入求值即可. 【详解】, 故选：C. 5. 已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体体对角线为外接球的直径，求出外接球半径，进而根据球的表面积公式求得答案. 【详解】因为正方体棱长为2，体对角线为外接球的直径， 所以外接球半径， 所以正方体外接球的表面积为， 故选：C. 6. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】借助正方体中的线面关系可说明选项A、B、C错误；利用空间向量可说明选项D正确. 【详解】 如图，在正方体中分析选项A、B、C. A.平面，平面，平面平面，但，A错误. B.，平面，但平面，B错误. C.平面平面，平面，，但平面，C错误. D.取直线的方向向量，直线的方向向量， ∵，，∴分别为平面的法向量， ∵，∴，∴，选项D正确. 故选：D. 7. 已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设向量夹角为，再由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算，求解即可. 【详解】设向量，的夹角为.因为，则， 所以，则，解得，所以. 故选：C. 8. 设，为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可得出结果. 【详解】如图1，当时，与不一定垂直，如图2，当时，m与n不一定垂直， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 9. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 10. 已知正方形的边长为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为已知条件建系结合平面向量数量积公式计算，再应用正弦函数值域求解即可. 【详解】 如图建系，因为，设，正方形的边长为，， 所以， 所以 所以的取值范围是. 故选：A. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分，把答案填写在答题纸上） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得. 故答案为： 12. 在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱锥性质求高，即得顶点P到底面的距离. 【详解】如图，设为底面的中心，则底面， 因为平面，所以， 由题意，， 则在正方形中，， 所以， 则顶点P到底面的距离为. 故答案为：. 13. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则使得有两组解的a的一个值可以为______． 【答案】8（任何一个值均可） 【解析】 【分析】根据得到答案. 【详解】有两组解，需满足，即，， 所以a的值可以为8， 故答案为：8（任何一个值均可） 14. 已知角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点， （1）______； （2）若将角的终边绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点Q，则点Q的横坐标为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由三角函数的定义结合二倍角公式代入计算，再由和差角公式，即可得到结果. 【详解】（1）由三角函数的定义可得， 由二倍角公式可得； （2）设将角的终边绕原点逆时针旋转后得到角，则， 则， 则点Q的横坐标为. 故答案为：； 15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①平面截正方体所得的截面图形是五边形； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，直线与的延长线分别交于,连接分别交于,连接即可解决；对于②等体积法解决即可；对于③④，建立空间直角坐标系，设，得即可. 【详解】对于①，如图直线与的延长线分别交于,连接分别交于,连接， 则五边形即为所求的截面图形，故①正确； 对于②，由题知，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 设点到平面的距离为，由正方体的棱长为2可得， ，， 所以， ， 所以由，可得， 所以直线到平面的距离是，故②错误； 对于③，如图建立空间直角坐标系， 则， 设， 所以， 又因为， 所以， 所以， 假设存在点使得， 所以， 整理得， 所以（舍去），或， 所以存在点使得，故③正确； 对于④，由③知， 所以点在的射影为， 所以点到的距离为 ， 当时，， 所以面积的最小值是，故④正确； 故答案为：①③④ 三、解答题（共6小题，共5分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值2，最小值 【解析】 【分析】（1）根据二倍角与辅助角公式化简，根据周期公式求得答案； （2）由求出递增区间； （3）先求出的范围，利用数形结合的思想即可求解. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 由， 得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以当，即时，取得最小值， 当，即时，取得最大值2. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． （1）求角A的值； （2）求的值； （3）若D是中点，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，求出，再由正弦定理，求出，得到答案； （2）根据，借助两角和的正弦公式化简求值； （3）在中，根据余弦定理，求得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 根据正弦定理，即， 解得， 又因为，所以. 【小问2详解】 【小问3详解】 因为，，所以， 若D是中点，则根据余弦定理得 ， 所以. 18. 如图，在正四棱柱中，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求点A到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正四棱柱的几何特征得出是平行四边形，进而得出再应用线面平行判定定理证明即可； （2）先应用平面，得出，结合，及线面垂直的判定定理即可证明； （3）应用三棱锥体积公式及等体积法计算点到平面距离求解. 【小问1详解】 因为所以是平行四边形，所以 平面，且平面，所以平面； 【小问2详解】 因为是正方形，所以得， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面； 【小问3详解】 设点A到平面的距离为， 因为，所以， ， 所以， 故点到平面的距离为； 19. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若，，求的值． （3）将函数的图象先向右平移个单位再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于x的方程在上有两个不等实根．求：实数m的取值范围和的值． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据周期得出，再根据计算即可； （2）由条件可得，再计算即可； （3）先利用图像变换得出的解析式，接着由得，再结合正弦函数图象可得范围，根据其对称性可得. 【小问1详解】 由函数的部分图象可知，， 所以，所以， 又，所以，解得， 由可得， 所以. 【小问2详解】 因，则， 因，则，则，得， 则. 【小问3详解】 将向右平移个单位得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 由，得，又， 结合图象可知，若方程在上有两个不等实根， 则，则实数的取值范围为. 再根据图象的对称性可得，， 则， 则. 20. 在中，． （1）求； （2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 选择条件①：． 选择条件②：或． 选择条件③：不符合题意 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理的推论，将等式进行变形即可求出的值，在由同角三角函数的基本关系即可求解； （2）选择条件①时，利用面积公式求出，再利用正弦定理得，联立求解即可；选择条件②：利用面积公式求出，利用，且，所以．进一步得出，再联立求解即可；选择条件③：不符合题意，因为，不可能． 【小问1详解】 在中，因为， 由余弦定理，得． 因为，所以． 【小问2详解】 选择条件①： 因为，所以，． 由题意得，所以． 因为，， 所以 ． 由正弦定理，得， 又，解得，所以． 选择条件②： 由题意得，所以． 因为，且，所以． 又，所以， 又，解得或． 选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能． 21. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，点E，F分别为，的中点，设平面平面． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，请判断平面与平面是否垂直？若垂直，请证明：若不垂直，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）不垂直，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平面平面，引用面面垂直的性质定理，得平面，再根据线面垂直的性质，得到； （2）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理得平面，最后利用线面平行性质定理得到； （3）假设平面与平面垂直，利用面面垂直得到平面，进而得到，三角形为以为斜边的直角三角形，即可得到与假设矛盾，进而得到答案. 【小问1详解】 因为底面为正方形， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. 【小问2详解】 取的中点，连接，， 因为点分别为的中点， 所以，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 又因为平面，平面平面 所以. 【小问3详解】 假设当平面平面时， 因为，平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以，三角形为以为斜边的直角三角形， 此时，与题干矛盾， 所以平面与平面不垂直. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第五十五中学2024-2025学年度第二学期 期中调研试卷 高一年级数学 本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的项，把答案填涂在答题纸上） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 3. 在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 设，为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正方形的边长为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分，把答案填写在答题纸上） 11. 已知，则______． 12. 在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为______． 13. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则使得有两组解的a的一个值可以为______． 14. 已知角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点， （1）______； （2）若将角的终边绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点Q，则点Q的横坐标为______． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①平面截正方体所得的截面图形是五边形； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（共6小题，共5分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． （1）求角A的值； （2）求的值； （3）若D是中点，求的长． 18. 如图，在正四棱柱中，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求点A到平面的距离． 19. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若，，求的值． （3）将函数的图象先向右平移个单位再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于x的方程在上有两个不等实根．求：实数m的取值范围和的值． 20. 在中，． （1）求； （2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 21. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，点E，F分别为，的中点，设平面平面． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，请判断平面与平面是否垂直？若垂直，请证明：若不垂直，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $