第四章《因式分解》单元检测题 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版数学八年级下册 第四章《因式分解》 综合检测题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．a2﹣16b2＝（a+4b）（a﹣4b） B．m（mn﹣1）＝m2n﹣m C．y2﹣2y﹣1＝y（y﹣2） D．﹣12x3y＝﹣3x3•4y 2．下列各式中，不能进行因式分解的是（　　） A．x2﹣9 B．9x﹣9 C．x2﹣6x+9 D．x2+9 3．多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是（　　） A．3a2b2 B．﹣15a3b3 C．3a2b2c D．﹣12a2b2c 4．多项式x2y（a﹣b）﹣xy（b﹣a）+y（a﹣b）提公因式后，另一个因式为（　　） A．x2﹣x+1 B．x2+x+1 C．x2﹣x﹣1 D．x2+x﹣1 5．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（　　） A．14 B．16 C．20 D．30 6．下列因式分解中，结果正确的是（　　） A．ax+ay+a＝a（x+y） B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） C．4x2+9＝（2x+3）2 D．x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3） 7．下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（　　） A．a2+2a﹣1 B．x2﹣xy+y2 C． D． 8．若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k+a的值可以是（　　） A．﹣25 B．﹣15 C．15 D．20 9．一个三角形的三边长分别是a，b，c，且a，b满足（a+2b﹣19）2+|3a﹣b﹣1|＝0，则此三角形的边c的取值范围是（　　） A．3＜c＜8 B．5＜c＜11 C．3＜c D．c＜11 10．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．若已知a2+b2+c2＝69，ab+bc+ac＝50，由图2所表示的数学等式，则a+b+c的值为（　　） A．1 B．12 C．13 D．14 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．分解因式：mx2﹣4my2＝　 　 ． 12．若多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则k＝　 　 ． 13．若x2+ax+b＝（x+3）（x﹣4），则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 14．若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是　 　 ． 15．分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．因式分解： （1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z． （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3． 17．分解因式： （1）2m3﹣2m； （2）（x﹣y）2+y（y﹣x）； （3）﹣4a2x+12ax﹣9x． 18．下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了． 2x2+3x﹣6+＝（x﹣2）（2x+5）． （1）求被墨水污染的一次式； （2）若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x的取值范围． 19．如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值： （1）a2b﹣ab2； （2）3a3b﹣6a2b2+3ab3． 20．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　 　 ； （2）分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2023的结果是 　 　 ； （3）利用（2）中结论计算：5+52+53+…+52023． 21．先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式． 如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数； 因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x﹣2是x2﹣x﹣2的因式． ②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下： 解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式 ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n） ∵当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0 ∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0 ∴1﹣a﹣2＝0 ∴a＝﹣1 （1）若x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，则m＝　 　 ． （2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求的值． 22．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“组合多项式”，这个常数称为它们的“组合数”．如M＝4x2﹣2x+6与N＝﹣4x2+2x﹣3，M+N＝3，则M与N互为“组合多项式”，它们的“组合数”为3． （1）下列各组多项式中，互为“组合多项式”的是　 　 （填序号）； ①3x2﹣2与3x2+2；②x﹣9与﹣x+8；③﹣5xy2+2xy+2与5xy2﹣2xy． （2）多项式A＝（x﹣m）2与B＝nx2+4x+n（m，n为常数）互为“组合多项式”，求它们的“组合数”； （3）（3）关于x的多项式C＝﹣mx2﹣6x+7m与D＝m（x﹣1）（x+n）的“组合数”能为0吗？若能，请求出m，n的值；若不能，请说明理由． 23．【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数． （1）【验证】（3+1）2﹣（3﹣1）2＝　 　 ； （2）【证明】设两个正整数为m、n，则（m+n）2﹣（m﹣n）2＝　 　 ；一定　 　 4的倍数（填“是”或“不是”）； （3）【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差． 24．阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）． ②求2x2+12x+22的最小值． 解：2x2+12x+22＝2（x2+6x+11）， 先求出x2+6x+11的最小值， x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2； 由于（x+3）2是非负数，所以（x+3）2≥0，可得到（x+3）2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2． 进而2x2+12x+22的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　 ； （2）用配方法因式分解：a2+12a+35； （3）求2x2﹣4x+10的最小值． （4）已知实数x，y满足﹣x2+5x+y﹣3＝0，求x+2y的最小值，并指出此时y的值． 25．综合应用 在学习《完全平方公式》时，某兴趣小组发现：已知a+b＝5，ab＝3，可以在不求a、b的值的情况下，求出a2+b2的值．具体做法如下： a2+b2＝a2+b2+2ab﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19． （1）若a+b＝7，ab＝6，则a2+b2＝ 　 　 ； （2）若m满足m（8﹣m）＝3，求m2+（8﹣m）2的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下： 解：设m＝a，8﹣m＝b，则a+b＝m+（8﹣m）＝8，ab＝m（8﹣m）＝3， 所以m2+（8﹣m）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×3＝58． 请参照上述方法解决下列问题： ①若3x（5﹣3x）＝6，求9x2+（5﹣3x）2的值． ②若（2x﹣1）（2x﹣5）＝3，求（2x﹣1）2+（2x﹣5）2的值； （3）如图，某校园艺社团在三面靠墙的空地上，用长11米的篱笆（不含墙AD）围成一个长方形的花圃ABCD，面积为15平方米，其中墙AD足够长，墙AB⊥墙AD，墙DC⊥墙AD．随着学校社团成员的增加，学校在花圃ABCD旁分别以AB，CD边向外各扩建两个正方形花圃，以BC边向外扩建一个正方形花圃（扩建部分如图所示虚线区域部分），求花圃扩建后增加的面积． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B D D D A B C 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．m（x+2y）（x﹣2y） 12．1． 13．a＝﹣1，b＝﹣12． 14．2． 15．（x+1）（x﹣6）． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z＝4xy2（xy+2xz﹣3z）； （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3 ＝5x（x﹣2y）3+20y（x﹣2y）3 ＝5（x﹣2y）3（x+4y）． 17．解：（1）2m3﹣2m ＝2m（m2﹣1） ＝2m（m+1）（m﹣1）； （2）（x﹣y）2+y（y﹣x） ＝（x﹣y）2﹣y（x﹣y） ＝（x﹣y）（x﹣y﹣y） ＝（x﹣y）（x﹣2y）； （3）﹣4a2x+12ax﹣9x ＝﹣x（4a2﹣12a+9） ＝﹣x（2a﹣3）2． 18．解：（1）被墨水污染的一次式为 （x﹣2）（2x+5）﹣（2x2+3x﹣6） ＝2x2+5x﹣4x﹣10﹣2x2﹣3x+6 ＝﹣2x﹣4； （2）根据题意得：﹣2x﹣4≥2， 解得：x≤﹣3， 即x的取值范围是x≤﹣3． 19．解：（1）根据题意得a﹣b＝1，ab＝12， 当a﹣b＝1，ab＝12时， 原式＝ab（a﹣b） ＝12×1 ＝12； （2）当a﹣b＝1，ab＝12时， 原式＝3ab（a2﹣2ab+b2） ＝3ab（a﹣b）2 ＝3×12×12 ＝36． 20．解：（1）由题干计算步骤可得分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）原式＝（1+x）[1+x+x（x+1）+…+x（x+1）2022] ＝（1+x）2[1+x+x（x+1）+…+x（x+1）2021] … ＝（1+x）2024， 故答案为：（1+x）2024； （3）原式4（5+52+53+…+52023） （4×5+4×52+4×53+…+4×52023） （1+4+4×5+4×52+4×53+…+4×52023） ． 21．解：（1）∵x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式， ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+mx﹣10＝（x+5）（mx+n）， ∵当x＝﹣5时，（x+5）（mx+n）＝0， ∴当x＝﹣5时，x2+mx﹣10＝0， ∴25﹣5m﹣10＝0， ∴m＝3； 故答案为：3； （2）∵整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1， ∴存在一个整式（3x2+mx﹣1），使得3x4﹣ax2+bx+1＝（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）， ∴当x＝1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0， 即3x4﹣ax2+bx+1＝0， 则3﹣a+b+1＝0①， 当x＝﹣1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0， 即3x4﹣ax2+bx+1＝0， 则3﹣a﹣b+1＝0②， 联立①②解得a＝4，b＝0． ∴2． 22．解：（1）∵3x2﹣2+3x2+2＝6x2，6x2不是常数， ∴①组多项式不是互为“组合多项式”； ∵x﹣9+（﹣x+8）＝﹣1，﹣1是常数， ∴②组多项式是互为“组合多项式”； ∵﹣5xy2+2xy+2+5xy2﹣2xy＝2，2是常数， ③组多项式是互为“组合多项式”， 故答案为：②③； （2）（x﹣m）2+nx2+4x+n ＝x2﹣2mx+m2+nx2+4x+n， ＝（1+n）x2+（4﹣2m）x+m2+n， ∵A＝（x﹣m）2与B＝nx2+4x+n（m，n为常数）互为“组合多项式”， ∴1+n＝0，4﹣2m＝0，m2+n为常数， 解得：n＝﹣1，m＝2， ∴m2+n＝3， 它们的“组合数”为3； （3）能为0，理由如下： ∵C＝﹣mx2﹣6x+7m，D＝m（x﹣1）（x+n）， ∴C+D＝﹣mx2﹣6x+7m+m（x﹣1）（x+n） ＝﹣mx2﹣6x+7m+m（x2+nx﹣x﹣n） ＝﹣mx2﹣6x+7m+mx2+mnx﹣mx﹣mn ＝（﹣6+mn﹣m）x+7m﹣mn， 若C和D的“组合数”能为0， ∴， 解得：． 23．解：（1）（3+1）2﹣（3﹣1）2 ＝16﹣4 ＝12， 故答案为：12． （2）（m+n）2﹣（m﹣n）2 ＝m2+2mn+n2﹣（m2﹣2mn+n2） ＝m2+2mn+n2﹣m2+2mn﹣n2 ＝4mn， 4mn÷4＝mn， 因为m、n为正整数， 所以4mn一定是4的倍数． 即（m+n）2﹣（m﹣n）2一定是4的倍数． 故答案为：4mn，是． （3）设m＝2a+1，n＝2a﹣1， mn ＝（2a+1）（2a﹣1） ＝4a2﹣1， 所以这两个数的积可以表示为两个整数的平方差． 24．解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2， 故答案为：4． （2）a2+12a+35 ＝a2+12a+36﹣1 ＝（a+6）2﹣1 ＝（a+6+1）（a+6﹣1） ＝（a+7）（a+5）； （3）2x2﹣4x+10 ＝2x2﹣4x+2+8 ＝2（x2﹣2x+1）+8 ＝2（x﹣1）2+8， 由于（x﹣1）2是非负数， 所以2（x﹣1）2≥0，可得到2（x﹣1）2+8≥8， 即2x2﹣4x+10的最小值为8． （4）因为﹣x2+5x+y﹣3＝0， 所以y＝x2﹣5x+3， x+2y ＝x+2×（x2﹣5x+3） ＝2x2﹣10x+6+x ＝2x2﹣9x+6 ， 当时，x+2y有最小值为， 此时y． 25．解（1）因为a+b＝7，ab＝6， 所以a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝72﹣2×6 ＝37． （2）①因为3x（5﹣3x）＝6， 设3x＝a，5﹣3x＝b， 所以ab＝6，a+b＝5， 9x2+（5﹣3x）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝52﹣2×6 ＝13； ②设a＝2x﹣1，b＝2x﹣5， 因为（2x﹣1）（2x﹣5）＝3， 所以ab＝3，a﹣b＝4， （2x﹣1）2+（2x﹣5）2 ＝a2+b2 ＝（a﹣b）2+2ab ＝42+2×3 ＝22． （3）设AB＝x米，BC＝y米， 所以2x+y＝11，xy＝15， 花圃扩建后增加的面积： 4x2+y2 ＝（2x+y）2﹣4xy ＝112﹣4×15 ＝121﹣60 ＝61（平方米）． 答：花圃扩建后增加的面积是61平方米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$