第一章 直线与圆 章末小结课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章 直线与圆 第一章章末小结 1 知识导图 2 题型1 直线的倾斜角与斜率 例1 直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线 斜率 的取值范围为____________________. [解析] 如图， ，， . 题型探究 3 【变式设问1】 若将题中改为，其他条件不变，求直线 斜率的取值范围. [解析] 易知， . 如图,可知直线斜率的取值范围为， . 题型探究 4 【变式设问2】 若将题中条件改为“经过作直线，若直线与连接 ， 的线段总有公共点”，求直线的倾斜角 的取值范围. [解析] 如图所示，，，由图可观察出，直线 的倾 斜角 的取值范围是 . 题型探究 5 求直线的倾斜角与斜率的注意事项:（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面 几何的知识判断直线向上方向与 轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的取值范 围.（2）当直线的倾斜角时，随着 的增大，直线的斜率 为非负值且逐 渐变大；当直线的倾斜角时，随着 的增大，直线的斜率 为负值且逐 渐变大. 题型探究 6 题型2 直线的方程 例2 已知的顶点，，直线的斜率为 ． （1）求过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）求角 的平分线所在直线的方程． 题型探究 7 [解析] （1）①当所求直线过原点时，设直线方程为，又直线过点 ，则 ，故方程为 ； ②当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上的截距相等，所以设所求的直 线方程为 . 因为直线过点，所以，解得 ， 所以所求直线的方程为 . 综上，满足条件的直线方程为或 . 题型探究 8 （2）由题意知，直线的方程为，直线的倾斜角为 . ①当点位于直线下方时， ，设此时其角平分线为 ， 则角平分线的倾斜角为 ，其斜率为 ， 所以直线的方程为，即 ； ②当点位于直线上方时， ， 设此时其角平分线为，则角平分线的倾斜角为 ，其斜率为 ， 所以直线的方程为，即 . 综上，角的平分线所在直线的方程为 或 ． 题型探究 9 求直线方程的两种方法 （1）直接法:根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选 择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论. （2）待定系数法:设定含有参数的直线方程，再由条件求出参数. 题型探究 10 题型3 距离问题 例3 已知直线经过直线与 的交点. （1）若点到的距离为3，求 的方程； （2）求点到 的距离的最大值. 题型探究 11 [解析] （1）经过两已知直线交点的直线系方程为 ，即 ，所以 ， 即，所以或 . 所以的方程为或 . （2）由解得交点，过点作任一直线（图略），设为点到 的距离，则（当时,等号成立）,所以 . 题型探究 12 （1）求两条平行线间的距离,利用距离公式将其转化为点到直线的距离.（2） 已知距离求参数值,列方程求出参数.（3）求距离的最值,可利用距离公式得出距离关于 某个点的函数，利用函数知识求最值. 题型探究 13 题型4 对称问题 例4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点 重合， 则 ___. [解析] 由题可知纸的折痕应是点与点连线的中垂线，即直线 ，它 也是点与点连线的中垂线，于是解得 故 . 题型探究 14 （1）点关于直线的对称点为 ，则 有 （2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 题型探究 15 题型5 求圆的方程 例5 已知某圆圆心在轴上,半径为5,且截 轴所得线段长为8,求该圆的标准方程. [解析] （法一）如图所示,由题设知, , .在 中, . 设点的坐标为,则, , 所求圆的标准方程为或 . 题型探究 16 （法二）由题意设所求圆的方程为 . 圆截轴所得线段长为8, 圆过点 . 代入方程得, , 所求圆的标准方程为或 . 题型探究 17 求圆的方程的方法:求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般 方程，利用待定系数法解题. 题型探究 18 题型6 直线与圆的位置关系 例6 （多选题）已知圆 ，直线 ，则下列命题正确的有( ) . AD A.直线恒过点 B.圆被 轴截得的弦长为4 C.直线与圆 恒相离 D.直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 题型探究 19 [解析] 将直线的方程整理为 ， 由解得则无论为何值，直线都过定点 ，故选项A正确； 令，则，解得，故圆C被轴截得的弦长为 ，故B 不正确； 题型探究 20 因为，所以点D在圆C的内部，直线 与圆C恒相交，故C 不正确； 圆心为，半径为5，，当截得的弦长最短时， ， ， 则直线的斜率为2，此时直线的方程为，即 ，故D正确． 题型探究 21 直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断点、 直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程. 本题渗透了逻辑推理、数学运算的素养． 题型探究 22 题型7 圆与圆的位置关系 例7 [2022年新高考全国Ⅰ卷] 写出与圆和 都相切 的一条直线的方程:__________________________________________. 或或 题型探究 23 [解析] 由两圆方程可得，两圆圆心距 ， 两圆半径分别为，，， 两 圆外切， 两圆有三条公切线，如图所示. ,,设直线 ,即 ，由,得 （负值舍去）， 直线的方程为 . 由图可知，,且与关于直线 对称， 由解得 题型探究 24 即直线与的一个交点为 , 在上取一点,设该点关于直线 的对称点为, 则解得 , 直线的方程为,即 . 故与两圆都相切的一条直线方程是或或 . 题型探究 判断两圆位置关系的两种比较方法 （1）几何法是利用两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，得到两圆的位 置关系. （2）代数法是把两圆位置关系的判断问题转化为方程组解的个数问题，从而体 现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出相离、相交和相切 三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含 五种位置关系. 题型探究 26 题型8 弦长问题 例8 [2023年新高考全国Ⅱ卷] 已知直线与 交于 ，两点，则满足“的面积为”的 的一个值是__________________________. 或，，其中的一个 [解析] 由条件知，的圆心为，半径，点到直线的距离 ， .由，得 ， 整理得，解得或 . 题型探究 27 直线与圆相交时求弦长的常用的方法是解弦心距为，圆的半径为 ，半弦 长构成的直角三角形.本题渗透了直观想象、逻辑推理、数学运算的素养． 题型探究 28 阿波罗尼斯圆及其应用 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数 学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆 锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一． 在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐， 下面我们通过两道例题来讲解如何运用阿波罗尼斯圆，进一步加强对与此圆有关试题 的认识. 例1 如图，，为两定点，动点满足 ，求证当 时，动点的轨迹为直线；当时，动点 的轨迹为圆， 后世称之为阿波罗尼斯圆． 拓展延伸 29 [解析] 设，，以的中点为原点，直线为 轴建立平面 直角坐标系，则， ． 由得 ， 两边平方并化简整理得 ， 当时，，点的轨迹为线段 的垂直平分线； 当且时，，点的轨迹为以点 为圆 心，以 长为半径的圆. 拓展延伸 30 例2 在中，若，，则 的最大值为_____. [解析] （法一:利用余弦定理和函数的最值问题处理） 设，所以，则 ， 所以 ， 故当时，取得最大值，最大值为 ． 拓展延伸 31 （法二:建立平面直角坐标系处理最值问题） 以的中点为原点，直线为 轴建立平面直角坐标系，如 图，则，，设，由 得 ， 整理得 ， 所以 ， 则 ， 所以的最大值是 ． 拓展延伸 32 （法三:利用阿波罗尼斯圆求解） 显然这是一例阿波罗尼斯圆，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ， 因为，得点 的轨迹是一个阿波罗尼斯圆 （除与轴的两个交点外），计算得点 的轨迹方程为 ， 设圆心为，显然当轴时，的面积最大，此时 ， 所以 . 拓展延伸 33 （法四:利用阿波罗尼斯圆及内外角平分线求解） 既然存在，说明点的轨迹不包括其与轴的两个交点，，现在问:， 这两 点究竟有什么性质？因为点的轨迹方程为 ，所以点 ，点，所以， ，所以 ，所以为的内角平分线；因为，所以 为 的外角平分线． 这就是说，，分别是线段的内分点和外分点，而 正是阿波罗尼斯圆的直径， 于是阿波罗尼斯圆在我国又被称为“内外圆”.因此该题又有如下的简洁解法: 拓展延伸 34 因为动点到定点，距离之比为，所以 ，解得 或 ， 则为内分点， 为外分点， 圆半径 ，即三角形高的最大值， 故的面积的最大值是 ． 拓展延伸 35 阿波罗尼斯圆是一个重要的题根，备受许多命题者青睐.我们在学习过程中应 该强化对这一知识点的整理.如果掌握这一知识背景，可以主动引导求解的方向，降低 求解的难度.但在有些问题中，阿波罗尼斯圆并不那么明显，需要对图形分析后才能找 到对应的动点具有阿波罗尼斯圆的特点. 拓展延伸 36 （限时：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1.过点，的直线的斜率为，则 的值为( ) . A A.6 B.1 C.2 D.4 [解析] 由题意知， . 综合测试 37 2.圆关于直线 对称的圆的方程为( ) . C A. B. C. D. [解析] 由题意得圆的圆心为，半径为 ，易得点 关于直线对称的点为 ， 故所求的圆的方程为 . 综合测试 38 3.过点 且与原点距离最大的直线的方程是( ) . A A. B. C. D. [解析] 结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点 连线垂直的直线，其 斜率为，直线方程为，即 . 综合测试 39 4.若直线截圆所得劣弧所对的圆心角为 ， 则 的值为( ) . C A. B. C.2 D. [解析] 圆心到直线的距离，又劣弧所对圆心角为 ， ． 综合测试 40 5.圆和圆 的公切线的条数 为( ) . B A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 圆，圆， 圆 的圆 心为，半径为2，圆的圆心为，半径为2， 两圆的圆心距为 . ， 两圆相交，即圆与圆 只有2条公切线. 综合测试 41 6.已知两点，，动点在线段上运动，则 ( ) . D A.无最小值且无最大值 B.无最小值但有最大值 C.有最小值但无最大值 D.有最小值且有最大值 [解析] 线段的方程为，于是 ，从而 ，显然当时， 取得最大值，最大值为3；当 或3时， 取得最小值，最小值为0. 综合测试 42 7.有一根蜡烛点燃后，蜡烛长为；点燃后，蜡烛长为 .已知 蜡烛长度（单位：）与燃烧时间（单位： ）可以用直线方程表示，则这根蜡 烛从点燃到燃尽共耗时( ) . B A. B. C. D. [解析] 由题意知，蜡烛长度（单位：）与燃烧时间（单位： ）可以用直线方 程表示， 该直线过，两点，故其斜率， 直线方 程为，令，得 . 故这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时 . 综合测试 43 8.若圆关于直线对称，则由点 所作 的圆的切线长的最小值是( ) . C A.2 B.3 C.4 D.6 [解析] 将圆化为标准方程为 ， 圆心为，半径. 圆C关于直线对称， 直线 过圆心，将，代入直线方程得 ，即 点与圆心的距离， 由点 向圆C所作 切线长，当且仅当 时切线长最小，最小值为4. 综合测试 44 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分） 9.已知直线 ，则下列结论正确的是( ) . BD A.直线的倾斜角是 B.点到直线 的距离为2 C.若直线，则 D.过点与直线平行的直线方程是 综合测试 45 [解析] 直线，即，则其斜率，其倾斜角是 ，故 A错误； 点到直线的距离 ，故B正确； 直线，即，其斜率 ， 而，故直线与直线 不垂直，故C错误； 依题意，设所求直线的方程为，将 代入得 ，故，则所求直线方程为 ，故D正确. 综合测试 46 10.已知直线，圆 ，则下列说法正确的是( ) . ABC A.直线必过点 B.直线与圆 必相交 C.圆与圆 有3条公切线 D.当时，直线被圆截得的弦长为 综合测试 47 [解析] 由，得直线过定点 ，故A正确； 将定点代入圆，得，故点在圆内，即直线与圆 必 相交，故B正确； 由题意知，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 ， 所以 ，即两圆外切，故两圆有3条公切线，故C正确； 由题意知，则到直线的距离，故直线被圆 截得的 弦长为 ，故D错误. 综合测试 48 11.已知圆与圆 交于不同的 ， 两点，则下列结论正确的有( ) . AC A. B. C. D. 综合测试 49 [解析] 由题意知，两圆的方程相减可得直线的方程为 ，即 ， 分别把，两点代入上式可得 ， ,所以B错误； 两式相减可得，即 ，所以A 正确； 由圆的性质可得，线段与线段互相平分，所以， ，所以 C正确，D错误． 综合测试 50 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知直线与平行，则实数 的值为_______． 或1 [解析] 因为直线与 平行， 所以解得或 . 综合测试 51 （答案不唯一，只要圆心在直线上，半径为1，均可） [解析] 由题可知，圆关于直线 对称，半径为1， 则圆心在直线上，当时， ， 所以当圆心为时，圆的标准方程为 ． 13.已知半径为1的圆关于直线对称，写出圆 的一个标准方程: ______________________________________________________________________________ _____． 综合测试 52 14.已知圆，从点向圆作两条切线， ，切点 分别为，，若，则点的轨迹方程为_______________________；点 到 直线 的最小距离为___． 6 [解析] 从点向圆作两条切线，，且 ， 可得在中，，，所以 ， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，故点 的轨迹方程为 . 因为点到直线的距离 ， 所以点到直线的最小距离为 ． 综合测试 53 四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16~17题每题15分，第18 ~19题每题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.直线经过和两条直线的交点 ，且_____． （1）求直线 的方程； （2）求直线 与坐标轴围成的三角形面积． 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别 解答，按第一个解答计分． ①与直线平行；②直线在轴上的截距为 ． 综合测试 54 [解析] 直线经过和两条直线的交点 ， 解得即交点的坐标为 . （1）选①: 直线与直线 平行， 可设直线的方程为，把代入直线 的方程中,可得 ，故直线的方程为 . 选②:由题意可知直线的斜率存在，设为,且 ， 则直线的方程为，且过点 ， 代入可得 ， 故直线的方程为 . 综合测试 55 （2）在直线中，令,可得;令,可得 . 直线与坐标轴围成的三角形的面积 ． 综合测试 56 16.已知直线经过和 的交点，且与直线 垂直． （1）求直线 的方程； （2）若圆的圆心为，直线被该圆所截得的弦长为，求圆 的标准方程． 综合测试 57 [解析] （1）由题意知解得 直线和的交点为 . 设直线的斜率为， 直线与直线垂直， ， 直线的方程为，即 . （2）设圆的半径为，圆心为到直线 的距离 ，由垂径定理得 ，解得 ， 圆的标准方程为 ． 综合测试 58 17.已知圆，是坐标原点，是圆 上一动点． （1）求线段的中点 的轨迹方程； （2）设是（1）中轨迹上一点，求 的最大值和最小值． 综合测试 59 [解析] （1）设点， ， 为线段 的中点， 即 是圆 上一动点， ， ，即 , 线段的中点的轨迹方程为 ． 综合测试 60 （2） ， 所求式可以看作点与点 的距离的平方再减4， 只要求得圆的圆心到的距离，即可求得点 与 点 的距离的最大值与最小值． ， 点与的距离的最大值为，最小值为 . 的最大值为 ，最小值为 ． 综合测试 61 18.一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心 为圆心，半径为 的圆形区域内，一辆运输车从位于火山口的正东方向 处准备出发，已 知运输车沿北偏西 方向以每小时 的速度做匀速直线运动. （1）运输车将在无人区经历多少小时？ （2）若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输 车成功避开无人区，至少从离火山口多远处出发才安全？ 综合测试 62 [解析] （1）以火山口的位置为坐标原点 ，其正东方 向为轴正方向，正北方向为 轴正方向，建立平面直 角坐标系，如图所示.记运输车从点出发，点 处开始进入无人区，到点处离开无人区，与 轴交于 点，,则圆的方程为 .由运输 车沿北偏西 方向运动，可得直线 的斜率 ，则 ，即 . 因为点到的距离为 , 所以 ，所以经历时长为 . 综合测试 63 （2）设运输车至少从离火山口 处出发才安全， 此时运输车的行驶直线刚好与圆 相切， 且直线方程为，即 ， 则点到直线的距离，解得 ， 即运输车至少从离火山口 处出发才安全. 综合测试 64 19.已知圆经过，两点，且圆心在直线 上． （1）求圆 的标准方程； （2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线 的方程； （3）若是直线上的动点，过点作圆的两条切线， ，切点分别为 ，.探究:直线 是否过定点？若存在，请写出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 综合测试 65 [解析] （1）由于圆的圆心在直线 上， 设圆的圆心坐标为 ， 依题意，有 ， 解得，所以 ， 所以圆的标准方程为 ． 综合测试 66 （2）依题意，圆心到直线的距离 ， 若直线的斜率不存在，则，符合题意，此时直线的方程为 ． 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即 ，则 ，解得 ． 此时直线的方程为 . 综上，直线的方程为或 ． 综合测试 67 （3）存在定点.根据题意，设，又因为,是过点作的圆 的两条切 线，则， ， 则是圆与以为圆心，为半径的圆的两圆的公共弦，且以为圆心， 为半 径的圆的方程为 . ① 圆的方程为 . ② 由，可得，即为直线 的方程. 令解得则直线必过点 ． 综合测试 68 $$