专题16 第2课时 二次函数中面积综合计算问题(课件PPT)-【学本课堂】2025年中考数学讲义（重庆专用）

(第2课时　二次函数中面积综合计算问题) 专题16　 二次函数背景下的综合应用 2025重庆数学 《学本课堂》 1 2 3 1 2 考 法 示 例 精 题 精 练 目 录 2 考 法 示 例 01 3 考向　1 图形面积的计算：关键词——平行、垂直、相似、2倍角 ☞示例1　(2023·南开) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A(－3，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 4 (1)求抛物线的表达式; [解答]　解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A(－3，0)，B(4，0)两点， ∴y＝－(x＋3)(x－4)＝－x2＋x＋4. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 (2)直线y＝x＋与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E.点M(m，0)是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交直线AE于点G，交抛物线于点F，交直线BC于点H.若点F在第二象限，且S△EFG＝S△OEG，求m的值. [解答]　解：设AE交y轴于点N，易得C(0，4). ∵B(4，0)，∴设直线BC的解析式为y＝kx＋n， 则解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 令－x＋4＝x＋，解得x＝1.∴E(1，3). ∵M(m，0)，且MH⊥x轴， ∴G，F. ∵S△EFG＝S△OEG，∴FG·(xE－xF)＝×ON·(xE－xG). ∴(1－m)＝×(1－m). ∴m的值为－1或－. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 1.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，－2)，点A的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝－1. 变 式 训 练 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 (1)求抛物线的函数表达式; 解：∵A，抛物线的对称轴是直线x＝－1，则B(－4，0)，∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x－2)(x＋4)＝a(x2＋2x－8). 把C(0，－2)代入上式，得－8a＝－2.解得a＝. ∴抛物线的函数表达式为y＝x2＋x－2. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 (2)若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积. 解：设直线BC的函数表达式为y＝mx＋n. 将点B，C的坐标代入y＝mx＋n，得 解得 ∴直线BC的函数表达式为y＝－x－2，则tan∠ABC＝.∴sin∠ABC＝. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 设D(t，0)，t＜0， 则P，E. ∵PE＝OD.∴PE＝t2＋t－2＋t＋2＝(－t). 解得t＝0(舍去)或t＝－5. ∴D(－5，0) ，P，E.∴PE＝. 又∵B(－4，0)，∴BD＝1. ∴S△PBE＝PE·BD＝××1＝. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 考向　2 图形面积的最值：关键词——面积相等、等积法、平行等 面积 ☞示例2　(2024·南川区)如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋2与x轴交于点B，C两点(点B在点C的左侧)，与y轴交于点A. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 12 (1)判断△ABC的形状，并说明理由; [解答]　解：△ABC是直角三角形. 理由：∵y＝－x2＋x＋2与x轴交于B，C两点(点B在点C的左侧)，与y轴交于点A， ∴当x＝0时，y＝2;当y＝0时，－x2＋x＋2＝0，解得x＝－1或x＝4. ∴A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0). ∴OA＝2，OB＝1，OC＝4. ∴AB＝，BC＝5，AC＝2. ∵()2＋＝52，即AB2＋AC2＝BC2. ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 (2)设P(m，n)是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积. [解答]　设直线AC的解析式为y＝kx＋b. ∵A(0，2)，C(4，0)， ∴解得 ∴直线AC的解析式为y＝－x＋2. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 ∵P(m，n)是抛物线y＝－x2＋x＋2在第一象限 部分上的点，PH⊥x轴， ∴P，H(m，0)， Q. ∴PQ＝－m2＋m＋2－＝－m2＋2m. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 ∵S△OAC＝·OA·OC＝×2×4＝4，S△APC＝PQ·(xC－xA)＝ (4－0)＝－m2＋4m， ∴＝S△OAC＋S△APC＝－m2＋4m＋4＝－(m－2)2＋8. ∴S关于m的函数关系式为S＝－m2＋4m＋4. ∴当m＝2时，S的最大值为8，此时P(2，3). ∴Q(2，1)，H(2，0). ∴S△QHC＝·CH·QH＝×2×1＝1. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 2.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(0，2)，C(4，0)，且交x轴于另一点B. (1)求抛物线的解析式; 变 式 训 练 解：将A(0，2)，C(4，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 (2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求△ACM面积的最大值及此时点M的坐标. 解：过点M作MN⊥x轴，与AC交于点N. 设直线AC的解析式为y＝kx＋b1. 将A(0，2)，C(4，0)代入y＝kx＋b1，得 解得 ∴直线AC的解析式为y＝－x＋2. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 可设M，则N. ∴MN＝＝ －m2＋m.∴S△ACM＝MN·OC＝× ×4＝－(m－2)2＋2. ∵－＜0，∴当m＝2时，△ACM的面积最大，最大值为2，此时点M的坐标为(2，2). 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 考向　3 图形面积的比值：关键词——面积的比 ☞示例3　如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0). (1)求抛物线的解析式; [解答]　解：把A(－1，0)，B(3，0)代入y＝－x2＋ bx＋c，得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 20 (2)抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点(不与端点重合)，直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设△PAD的面积为S1，△PBE的面积为S2，求的值. [解答]　解：设P(0，p)，直线AP的解析式为y＝k1x＋b1. 把A(－1，0)，P(0，p)代入y＝k1x＋b1，得 解得 ∴直线AP的解析式为y＝px＋p. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 联立 解得或 ∴E(3－p，－p2＋4p). 同理可得D. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 ∴S1＝S△ABD－S△ABP＝AB·(yD－yP)＝ 2(3p－p2)， S2＝S△ABE－S△ABP＝AB·(yE－yP)＝ 2(－p2＋4p－p)＝2(3p－p2). ∴. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 3.已知抛物线y＝ax2＋bx－2过点(2，－3)，与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且对于该二次函数图象上的任意不同两点M(x1，y1)，N都满足：当x1＜x2＜时，＜0;当＜x1＜x2时，＞0. 变 式 训 练 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 (1)求抛物线的解析式; 解：∵当x1＜x2＜时，(x1－x2)(y1－y2)＜0;当＜x1＜x2时，(x1－x2)(y1－y2)＞0，∴在y＝ax2＋bx－2中，当x＜时，y随x的增大而减小;当x＞时，y随x的增大而增大. ∴抛物线y＝ax2＋bx－2的对称轴为直线x＝. ∴－①. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 ∵抛物线y＝ax2＋bx－2过点(2，－3)， ∴4a＋2b－2＝－3②. 由①②解得a＝，b＝－. ∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 (2)若Q是抛物线上一点，且在直线BC的下方，连接AQ交BC于点D，过点Q作QE∥AC交BC于点E.记△QDE，△ACD的面积分别为S1，S2，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值及点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 解：存在最大值. 如图，过点Q作QK∥y轴交BC于点K，过点A作 AT∥y轴交BC的延长线于点T. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 设Q.由y＝x2－x－2可知A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－2). ∴直线BC的解析式为y＝x－2. ∴K. ∴KQ＝m－2－＝－m2＋2m. 在y＝x－2中，令x＝－1，得y＝－. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 ∴T.∴AT＝. ∵AT∥y轴∥KQ，∴△ADT∽△QDK. ∴. ∵QE∥AC，∴△QED∽△ACD. ∴. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 ∵＝－(m－2)2＋，∴当m＝2时，的最大值为. ∵点Q在BC下方，即0＜m＜4，∴0＜，∴当Q(2，－3)时，取最大值. 首页 目录 考向1 考向2 考法示例 精题精练 考向3 精 题 精 练 02 31 1.如图，抛物线y＝－x2－4x－3与x轴负半轴交于A，B(点A在点B的左侧)两点，与y轴负半轴交于点C. (1)求点A，B的坐标; 解：当y＝0时，－x2－4x－3＝0， 解得x1＝－3，x2＝－1. ∵点A在点B的左侧， ∴A(－3，0)，B(－1，0). 首页 目录 1 2 考法示例 精题精练 32 (2)连接AC，过点B作BD∥AC，交抛物线于点D，直线AD，BC交于点P，求△PAC的面积. 解：当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3). 设直线AC的解析式为y＝k1x＋b1，则 解得 ∴直线AC的解析式为y＝－x－3. ∵BD∥AC，∴设直线BD的解析式为y＝－x＋m，则m＋1＝0. ∴m＝－1. 首页 目录 1 2 考法示例 精题精练 ∴直线BD的解析式为y＝－x－1. 令－x－1＝－x2－4x－3，解得x＝－2或x＝－1(舍去). ∴D(－2，1). 同理可求直线AD的解析式为y＝x＋3，直线BC的解 析式为y＝－3x－3. 令x＋3＝－3x－3，解得x＝－.∴P. 过点P作PE⊥x轴于点E， ∴S△APC＝S△APB＋S△ABC＝AB·(PE＋OC)＝×2×. ∴△PAC的面积为. 首页 目录 1 2 考法示例 精题精练 2.如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且OA＝OC.P为第二象限内抛物线上一动点. (1)求抛物线的表达式; 解：易得C(0，3)，∴OA＝OC＝3.∴A(－3，0). 将点A的坐标代入y＝ax2＋2ax＋3，得 0＝9a－6a＋3.解得a＝－1. ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3. 首页 目录 1 2 考法示例 精题精练 35 (2)连接PA，PC，BC，求四边形ABCP面积的最大值. 解：设直线AC的表达式为y＝kx＋3. 将A(－3，0)代入y＝kx＋3，得0＝－3k＋3.解得k＝1. ∴直线AC的表达式为y＝x＋3. 过点P作x轴的垂线，交AC于点Q. 设P(m，－m2－2m＋3)，则Q(m，m＋3). ∴PQ＝－m2－2m＋3－m－3＝－m2－3m. 首页 目录 1 2 考法示例 精题精练 36 ∴S四边形ABCP＝S△ABC＋S△ACP＝AB·CO＋PQ·AO＝×4×3＋(－m2－3m)×3＝－(m2＋3m)＋6＝－. ∵－＜0，，∴四边形ABCP的面积有最大值， 当m＝－时，四边形ABCP面积的最大值为. 首页 目录 1 2 考法示例 精题精练 37 本讲内容结束 $$