第5单元 第24讲 图形的相似(课件PPT)-【学本课堂】2025年中考数学讲义（重庆专用）

第24讲　图形的相似 第五单元　图形的变化 2025重庆数学 《学本课堂》 2 3 1 2 3 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 3 4 创新实践·展示素养 目 录 2 回归教材·依标扣本 01 3 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割 课标要求 1 比例线段 及其性质 成比例线段 黄金分割 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 4 概念：四条线段a，b，c，d满足a∶b＝c∶d，那么称这四条线段成比例线段， a，d叫①__________，b，c叫②_________ 成比例线段 比例外项 比例内项 注意 (1)有序性；(2)线段取正值；(3)数可以是负数；(4)线段统一长度单位. 比例 性质 基本性质：⇔ad＝bc(两内项之积等于两外项之积) 合比性质：⇔ 等比性质：＝…＝(b＋d＋f＋…＋n≠0)⇔ 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 比例中项：如果a∶b＝b∶c(或b2＝ac)，那么b是a，c的比例中项 概念：点C把线段AB分成线段AC，BC，如果 ≈0.618，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫黄金分割点，叫黄金比 注意 (1)如图，一条线段上有2个黄金分割点； (2)知一求二(AC，AB，BC)； (3)若无AC＞BC等条件则有两个答案； (4)若答案无约等于“≈”，则用计算. 黄金分割 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图，若l1∥l2∥l3，则 ＝③______ 推论：平行三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.如图，DE∥BC，则　　 课标要求 2 掌握平行线分线段成比例的基本事实 平行线分线段成比例 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 7 通过具体实例认识图形的相似;了解相似多边形和相似比 课标要求 3 相似多 边形 定义:各角④__________、各边⑤_________的两个多边形叫相似多边形. 以上两个条件缺一不可(反例:矩形与正方形;菱形与正方形) 相似比:(1)对应边之比;(2)有序性;(3)周长之比等于相似比; 　　　 (4)面积之比等于相似比的平方 相等 成比例 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 8 了解相似三角形的判定定理;了解相似三角形的性质定理 课标要求 4 相似三角形的 判定与性质 判定 性质 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 9 (1)两角分别相等的两个三角形相似； (2)两边成比例且⑥________相等的两个三角形相似；  (3)三边成比例的两个三角形相似 判定 一般三角形 夹角 (1)一个锐角对应相等； (2)两边成比例 直角三角形 两直角边成比例 斜边和一条直角边成比例 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 (1)相似三角形对应角⑦________，对应边⑧________，对应高(中线、角平分线) ⑨________； (2)相似三角形周长之比等于⑩________，面积之比等于⑪________ __________ 性质 相等 成比例 成比例 对应线段的比等于相似比.  相似比 相似 比的平方 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 课标要求 5 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题 相似三角 形的实际 应用 步骤 类型 (1)将实际问题转化为相似三角形问题; (2)找出一对相似三角形; (3)根据相似三角形的性质，表示出相应的量，再列比例式求解 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 12 测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离，常构造相似三角形求解 类型 测量 高度 (1)利用阳光下的影子:同一时刻，物高与影长成比例; (2)利用标杆:AB为观测者⑫_________与地面的高度; 眼睛 (3)利用镜子的反射:反射角＝入射角 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小 课标要求 6 位似 图形 概念:两个相似图形每组对应顶点所在直线都经过同一点，这两个图形叫位似图形，这个点叫⑬______________  与相似图形的关系:相似图形不一定是位似图形;位似图形一定是相似图形 特征:(1)对应角相等;(2)对应边平行(或在同一条直线上)且成比例;(3)对应点连线(或延长线)交于一点;(4)对应点到位似中心的距离之比等于相似比 位似中心 作图(如1∶3) (1)在点O同侧　　　　　　　(2)在点O异侧 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 14 基础自查·巩固素养 02 15 1.相似图形:观察如图每组图形，是相似图形的是(　　) 素养 1 概念型问题 (基础题型，难度系数定位中考和指标到校第1~6、11~14、19~22题，共78分) B A B C D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 16 2.相似多边形的性质:(2024·八中) 两个相似多边形的面积之比为1∶4， 则它们的对应边之比为(　　) A.1∶ B.1∶2 C.1∶4 D.1∶8 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.相似三角形的性质:(2024·渝中区二调) 两个相似三角形对应边上的 高之比为2∶3，则它们的面积比为(　　) A.2∶3 B. C.3∶2 D.4∶9 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.比例的性质:(2023·八中) 已知，则＝(　　) A. B. C. D. 素养 2 计算型问题 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 19 2.比例线段:如果四条线段a，b，c，d满足，m＞0，则下列式子 中，成立的是(　　) A. B. C. D. D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.黄金分割:(2024·一中) P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若AB ＝2，则PA的长度是(　　) A.－1 B.3－ C.2－4 D.1 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.平行线分线段成比例:(2024·大渡口区一诊) 如图，AD∥BE∥CF， 若DE＝7，DF＝21，AB＝6，则AC的长度是(　　) 素养 3 方法型问题 B A.12 B.18 C.15 D. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 22 2.相似三角形的判定与性质:如图，AB是半圆O的直径，点C(不与点O 重合)在AB上.过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，连接OD，AD，BD.过 点C作CE⊥OD于点 E.设AC＝a，CB＝b，则图中长度一定等于的 线段是(　　) A.CD B.OD C.OE D.DE D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.位似变换:(2024·凉山州) 如图，一块面积为 60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面 时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1， 若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是(　　) A.90 cm2 B.135 cm2 C.150 cm2 D.375 cm2 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 4.射影定理:如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，DC ＝4，BC＝9，则AC的长为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 综合思考·提升素养 03 26 1.操场上有一根竖直的旗杆AB，它的一部分影子(BC)落在水平地面上， 另一部分影子(CD)落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2 m， 地面的影长为2.8 m，同时测得一根高为2 m的竹竿OM的影长是ON＝ 1.4 m，请根据以上信息，则旗杆AB的高度是(　　) A.4.5m B.104.7m C.5.2m D.5.7m 素养 4 建模型问题:相似三角形的应用 (综合题型，难度系数定位中考和指标到校第7~9、15~17、24~25题，共44分) C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 27 2.如图是一个常见的铁夹的剖面图(单位:mm)， OA，OB表示铁夹的剖面的两条边，点C是转动 轴的位置，CD⊥OA，垂足为D，DA＝15 mm， DO＝24 mm，DC＝10 mm，且铁夹的剖面图是 轴对称图形，则A，B两点间的距离为(　　) A.30 mm B.32.5 mm C.60 mm D.65 mm A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 3.如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是:在河 的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得点A，D， B在同一条直线上，且与河的边沿DE垂直，然后又在 垂直于AB的直线上取点C，并测得BD＝15 m，BC＝ 40 m.若DE＝30 m，则河宽AD的长为(　　) A.30 m B.35 m C.40 m D.45 m D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 1.相似三角形的判定: (1)如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与 △ABC相似的是(　　) 素养 5 探究型问题 A A　 　B C　　 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 30 (2)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，则下列条件中， 不一定能使△AED∽△ABC的是(　　) A.∠2＝∠B B.∠1＝∠C C. D. D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (3)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E，F分别为AC，BC的中点， 连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE， 则与△ABC相似(不含△ABC)的三角形个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 2.作位似变换:(2024·绥化) 如图，矩形OABC各顶点 的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(3，2)，C(0，2)， 以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则 顶点B在第一象限对应点的坐标是(　　) A.(9，4) B.(4，9) C. D. D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 3.作相似变换:如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点都在小方格的格点上.现以点D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (1)在图甲中画出一个三角形与△ABC相似且相似比为1∶2; (2)在图乙中画出一个三角形与△ABC的面积比为1∶4但不相似. 解:(1)如图甲所示.(2)如图乙所示. 以上画法都不唯一. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 创新实践·展示素养 04 36 综合与实践 【问题发现】(1)如图1，在正方形ABCD中，E为对角线 AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线， 两条垂线交于点F，连接EF，求证:BE＝BF; 素养 6 创新型问题:相似形综合问题  (创新题型，难度系数定位中考和指标到校第10、18、23、26题，共28分) 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 37 证明:∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°， AB＝BC. ∵BE⊥BF，CF⊥AC， ∴∠EBF＝∠ECF＝90°＝∠ABC. ∴∠ABE＝∠CBF，∠BCF＝45°＝∠BAC. ∴△ABE≌△CBF(ASA). ∴BE＝BF. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 【类比探究】(2)如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，且∠ACB＝60°，连接EF，求的值; 解:∵BE⊥BF，CF⊥AC， ∴∠EBF＝∠ECF＝90°. 根据直径所对的圆周角是90°，可得点C，E，B， F都在以EF为直径的圆上.∴C，E，B，F四点共圆. ∴∠ACB＝∠EFB＝60°. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 ∴∠BAE＝∠BEF＝30°. ∴AB＝BC，BE＝BF. ∴. ∵∠EBF＝∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE. ∴△CBF∽△ABE. ∴. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 【拓展延伸】(3)如图3，在(2)的条件下，将E改为直线 AC上的动点，其余条件不变，取线段EF的中点M，连 接BM，CM.若AB＝4，则当△CBM是直角三角形时， 请直接写出线段CF的长. 解:线段CF的长为2－2或2＋2. [提示:求出EF＝2CM＝4， 设CF＝x，则AE ＝x，分两种情况解答，由勾股定理即可求出 答案.] 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 请完成《精练本》P51~52素养练测24 本讲内容结束 $$