第4单元 第19讲 矩形、菱形、正方形(课件PPT)-【学本课堂】2025年中考数学讲义（重庆专用）

第19讲　矩形、菱形、正方形 第四单元　图形的性质 2025重庆数学 《学本课堂》 2 3 1 2 3 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 3 4 创新实践·展示素养 目 录 2 回归教材·依标扣本 01 3 理解矩形的概念;探索并证明矩形的性质定理;探索并证明矩形的判定定理 课标要求 1 矩形 定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 性质 周长:C＝2(a＋b)(a，b分别表示矩形的长和宽) 面积:S＝ab(a，b分别表示矩形的长和宽) 判定 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 4 (1)角：四个角都是直角，即∠ABC＝∠BCD ＝∠ADC＝∠BAD＝90° (2)对角线：对角线互相平分且相等，即AC＝ BD，OA＝OC＝OB＝OD (3)矩形具有平行四边形的所有性质　 (4)对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形(2条对称轴) 性质 对角线相等是区别于平行四边形的重要性质. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 【提分点拔】1.矩形的两条对角线把矩形分成4个面积相等的等腰三角形. 2.矩形的折叠必然会产生全等三角形及对应的等量关系. 判定 (1)平行四边形 找一个角是直角(定义法) 找对角线相等 (2)四边形 找三个内角是直角 找对角线互相平分且相等 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 理解菱形的概念;探索并证明菱形的性质定理;探索并证明菱形的判定定理 课标要求 2 菱形 定义:有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 性质 周长：C＝4a(a表示菱形的边长) 面积：S＝①_________(m，n分别表示菱形的两条对角线的长)  mn 判定 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 7 (1)边：四条边都相等，即AB＝BC＝CD＝DA 性质 (2)对角线 对角线互相垂直且平分 AC⊥BD， OA＝OC，OD＝OB 每条对角线平分一组对角 AC平分∠DAB，CA平分∠DCB， BD平分∠ABC，DB平分∠ADC (3)菱形具有平行四边形的所有性质 (4)对称性:既是中心对称图形，又是轴对称图形(2条对称轴) 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 判定 (1)平行四边形 找一组邻边相等(定义法)　 找对角线互相垂直 (2)四边形 找四条边相等 找对角线互相垂直且平分 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 理解正方形的概念;正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系 课标要求 3 正方形 定义:有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫正方形 性质 判定 【提分点拔】 1.正方形的两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形. 2.正方形的边长与对角线的长度之比为1∶. 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形被任意一条过对角线交点的直线分成面积相等的两部分. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 10 (1)四边相等，四个角都等于90° (2)对角线互相垂直平分且②_________，并且每条对 角线平分一组对角  (3)既是中心对称图形，又是轴对称图形(4条对称轴) (4)周长、面积:C＝4a，S＝a2＝AC2(a表示正方形的边长，AC表示对角线) 性质 相等 判定 (1)矩形＋一组邻边相等＝正方形 (2)菱形＋一个直角＝正方形 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 课标要求 4 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 从边、角的角度看： 从对角线的角度看： 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 12 定义：顺次连接任意四边形各边中点所形成的四边形叫中点四边形 中点四边形的形状由原四边形的两条对角线的位置关系和数量关系确定： (1)任意四边形平行四边形　 (2)对角线相等的四边形菱形 (3)对角线互相垂直的四边形矩形 (4)对角线互相垂直且相等的四边形正方形 中点四边形 判定中点四边形的形状的原理是三角形的中位线定理. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 【温馨提示】 1.特殊四边形的中点四边形:(1)平行四边形→平行四边形;(2)矩形→菱形;(3)菱形→矩形;(4)正方形→正方形. 2.中点四边形的周长是原四边形两条对角线的长度之和，面积是原四边形面积的一半. 中点四边形 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 基础自查·巩固素养 02 15 1.矩形:(2024·成都) 如图，在矩形ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠ACB＝∠ACD 素养 1 概念型问题 (基础题型，难度系数定位中考和指标到校第1~6、11~14、19~22题，共78分) C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 16 2.矩形与直角三角形斜边上的中线: (2024·垫江县) 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中 点，OM∥CD交AD于点M，若OM＝3，OB＝4，则BC 的长为(　　) A.2 B.10 C.5 D.2 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.菱形:(2024·临夏州) 如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴 的负半轴上，顶点C的坐标为(3，4)，则顶点A的坐标为(　　) A.(－4，2) B.(－，4) C.(－2，4) D.(－4，) C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 4.菱形的对角线平分一组对角:如图，在菱形ABCD中，线段AB的垂直 平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF.若∠BAD＝α，则∠CDF 的度数为(　　) A.α B.α C.180°－α D.180°－2α C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 5.正方形:(2024·育才一诊) 下列说法不正确的是(　　) A.矩形的对角线相等且互相平分 B.菱形的对角线互相垂直平分 C.正方形的对角线相等且互相平分 D.平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.与矩形有关的计算:如图，在矩形纸片ABCD中，将 AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕， 连接MN;再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的 点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若 AD＝24，AB＝15，则线段PE的长为(　　) A.22 B.20 C.18 D.16 素养 2 计算型问题 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 21 2.与菱形有关的计算:(2024·甘肃) 如图1，动点P从菱 形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到 点C时停止.设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x 的函数图象如图2所示，当点P运动到BC的中点时， PO的长为(　　) A.2 B.3 C. D.2 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.与正方形有关的计算: (2024·广西) 如图，边长为5的正方形ABCD，E，F， G，H分别为各边中点.连接AG，BH，CE，DF，交点 分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为(　　) A.1 B.2 C.5 D.10 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.矩形的判定:下列命题是真命题的是(　　) A.对角线相互垂直的四边形是平行四边形 B.对角线相等且相互垂直的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是正方形 D.对角线相等且相互平分的四边形是矩形 素养 3 方法型问题 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 24 2.菱形的判定:(2024·育才一模) 下列条件能判定四边形是菱形的是 (　　) A.对角线相等的四边形 B.对角线互相垂直的四边形 C.对角线互相垂直平分的四边形 D.对角线相等且互相垂直的四边形 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.正方形的判定:下列命题，其中是真命题的是(　　) A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.对角线互相平分的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 综合思考·提升素养 03 27 1.最值模型:如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝ 6，E是边AD上的一个动点，F是对角线BD上一 个动点，连接BE，EF，则BE＋EF的最小值是(　　) A.6 B.6 C.12 D.12 素养 4 建模型问题 (综合题型，难度系数定位中考和指标到校第7~9、15~17、24~25题，共44分) B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 28 2.尺规作图与证明:(2024·梁平区) 已知四边形ABCD是矩形，BD是对角线，过点C作CE⊥BD于点E. (1)尺规作图:过点A作垂线AF，使得AF⊥BD于点F(不写作法，保留作图痕迹); 解:作图如图所示. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)连接AE，CF，求证:四边形AFCE是平行四边形. 证明:∵四边形ABCD是矩形， ∴①_____________，AB∥CD.  ∴∠ABF＝∠CDE. ∵CE⊥BD，AF⊥BD， ∴②___________________＝90°.  ∴△ABF≌△CDE(AAS). ∴③________________.  AB＝CD ∠AFB＝∠CED AF＝CE 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 又∵CE⊥BD，AF⊥BD， ∴∠AFE＝∠CEF＝90°. ∴④_____________. ∴四边形AFCE是平行四边形(⑤________________________的四边形是平行四边形).  AF∥CE 一组对边平行且相等 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 1.角度的探究:(2024·K12) 如图，在正方形ABCD中， E，F分别为边AD，AB上一点，且DE＝AF，连接BE， CF，BG平分∠CBE交CD于点G，且G为CD的中点.若 ∠BFC＝α，则∠DGE的度数为(　　) A. B.α C.90°－α D.90°－ 素养 5 探究型问题 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 32 2.中点四边形探究:如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直， 将四边形ABCD各边中点依次相连，得到四边形A1B1C1D1，若四边形 A1B1C1D1的面积为15，则四边形ABCD的面积为__________.  30 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 创新实践·展示素养 04 34 如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝ DA＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.动点 P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿 线段BC方向运动，动点Q同时以每秒4个单 位长度的速度从点A出发，沿正方形的边AD－DC－CB运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t秒. 素养 6 创新型问题:动点问题 (创新题型，难度系数定位中考和指标到校第10、18、23、26题，共28分) 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 35 (1)运动时间为________秒时，点P与点Q相遇;  解: [由题意，得(4＋1)t＝12.解得t＝. ∴运动时间为秒时，点P与点Q相遇.]   首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 (2)当t为何值时，△ABQ是等腰三角形? 解:在正方形ABCD中，AB＝AD＝DC＝BC＝4. 当AB＝AQ时，点D与点Q重合，t＝AD÷4＝1; 当AB＝BQ时，点C与点Q重合，t＝(AD＋DC)÷4＝2; 当BQ＝AQ时，点Q在线段AB的垂直平分线上，即Q为CD的中点，此时t＝÷4＝. 综上所述，当t的值为1或或2时，△ABQ是等腰三角形. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 (3)用含t的代数式表示△AQP的面积S，并写出相应t的取值范围; 解:①如图1，当0＜t≤1，即点Q在AD上时，S＝×4t×4＝8t; ②如图2，当1＜t≤2，即点Q在CD上时，S＝S正方形ABCD－S△ADQ－S△ABP－S△PQC＝4×4－×4××4×t－×＝－2t2＋2t＋8; 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 ③如图3，当2＜t＜，即点Q在BC上时，S＝×[4－t－(4t－8)]×4＝－10t＋24. 综上所述，S＝ 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 (4)连接PA，当以点Q及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和△PAB全等时，直接写出t的值(点P与点Q重合时除外). 解:如图4， ①当DQ1＝BP时，△CDQ1≌△ABP，此时4－4t＝t，t＝; ②当DQ2＝BP时，△ADQ2≌△ABP，此时4t－4＝t，t＝; ③当CQ3＝BP时，△BCQ3≌△ABP，此时8－4t＝t，t＝; ④当BQ4＝BP时，△ABQ4≌△ABP，此时点P与点Q重合，t＝(舍去). 综上所述，t的值为或或. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 请完成《精练本》P41~42素养练测19 本讲内容结束 $$