第4单元 第15讲 三角形及其性质(课件PPT)-【学本课堂】2025年中考数学讲义（重庆专用）

第15讲　三角形及其性质 第四单元　图形的性质 2025重庆数学 《学本课堂》 2 3 1 2 3 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 3 4 创新实践·展示素养 目 录 2 回归教材·依标扣本 01 3 课标要求 1 理解三角形、等腰三角形和直角三角形的概念 三角形的分类 按边分 等腰三角形 底边≠腰 正三角形(等边三角形) 三边都不相等的三角形 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 4 探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论；证明三角形的任意两边之和大于第三边；了解三角形的稳定性 课标要求 2 三角形 的边、 角关系 三边关系定理：任意两边之和大于第三边 任意两边之差＜第三边＜任意两边之和 [依据：两点之间，线段最短] → 内角和定理：三角形的内角和等于①________　　　  常用较大边－较小边. 180° 外角 性质 三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和等于② ______ 不等于所有的外角和，所有的外角和为720°.  360° 任意多边形的外角和都等于③________　 360° 【提分点拔】1.三角形具有稳定性. 2.判断三条边(a，b，c)能否构成三角形，不妨设c≥a，c≥b，只需比较两条较短边a，b的和与第三边c的大小，若a＋b＞c，则能构成三角形；反之，不能构成三角形. 边角关系：同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，小边对小角 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 5 理解三角形的中线、高线、角平分线等概念;了解三角形重心的概念;探索并证明三角形的中位线定理 课标要求 3 三角形中的重 要线段 名称 图形 重要性质和结论 高线 AD是△ABC的高 (1)∠ADB＝∠ADC＝90°; (2)S△ABC＝BC·AD，S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC; (3)垂心:三角形三条高线所在直线的交点 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 6 三角形中的重 要线段 名称 图形 重要性质和结论 中线 AD是△ABC 的中线 (1)BD＝DC＝④______________；  (2)S△ABD＝S△ACD＝S△ABC (3)重心：三角形三条中线的交点，重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍 BC 中线将三角形分成面积相等的两个小三角形. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 三角形中的重 要线段 名称 图形 重要性质和结论 角平 分线 AD是△ABC 的角平分线 (1)∠BAD＝⑤________＝∠BAC；  (2)S△ABO∶S△ACO∶S△BCO＝AB∶AC∶BC； (3)角平分线上的点到角两边的距离相等； (4)内心：三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等 ∠DAC [注意：外心是三角形三边垂直平分线的交点，且到三个顶点的距离相等] 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 三角形中的重 要线段 名称 图形 重要性质和结论 中 位 线 DE是△ABC 的中位线 (1)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即DE∥BC，DE＝⑥__________；　  (2)三角形的中位线将三角形分成面积比为1∶3的两部分， 即S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶3，S△ADE∶S△ABC＝1∶4 BC 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 基础自查·巩固素养 02 10 1.三角形的分类:(1)如图表示三角形分类，则Q表示的是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 素养 1 概念型问题 (基础题型，难度系数定位中考和指标到校第1~6、11~14、19~22题，共78分) A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 11 (2)根据下列条件，不能判断△ABC形状的是(　　) A.AB＝BC B.∠A＝80° C.∠A＝50°，∠B＝70° D.∠A－∠B＝∠C B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 2.三角形的稳定性:(2023·石柱一中) 下列选项中，有稳定性的图形是 (　　) B A　 B　 C　 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.三角形的高:如图，在△ABC中，下列关于高的说法正确的是(　　) A.线段AD是AC边上的高 B.线段CF是BC边上的高 C.线段CF是AC边上的高 D.线段BE是AC边上的高 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.三角形三边的关系:(2024·南开) 已知△ABC两边长分别为4与5，第 三边的长为奇数，则第三边的长的最大值为__________.  素养 2 计算型问题 7 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 15 2.三角形的中线:如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上 的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是(　　) A.20 B.24 C.26 D.28 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.三角形的角平分线: (2024·凉山州) 如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD 是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是__________.  100° 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 4.三角形的内角和定理:(2024·齐齐哈尔) 将一个含30°角的三角尺和 直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是(　　) A.30° B.40° C.50° D.60° B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 5.直角三角形两锐角互余:如图，在△ABC中，AB⊥AC，过点A作 AD⊥BC于点D，若∠B＝36°，则∠DAC的度数为(　　) A.36° B.46° C.54 ° D.64° A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.三角形的外角性质: (2024·凉山州) 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为(　　) 素养 3 方法型问题 A.10° B.15° C.30° D.45° B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 20 2.三角形的外角与内角:下列说法: ①三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和; ②三角形中最小的锐角不能大于60°; ③三角形任意两个内角的和大于第三个内角; ④三角形一边上的高小于这个三角形的其他两边; ⑤直角三角形只有一条高. 其中正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.三角形的外角和:一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说:“李明，我考考你!这个人字架中的∠3＝110°，你能求出∠1比∠2大多少吗?”请你帮李明计算一下，正确的 答案是(　　) A.50° B.60° C.70° D.80° C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 综合思考·提升素养 03 23 1.三角形内角和定理的证明:证明:三角形的内角和为180°.(要求:结合图形，写出已知，求证，并证明) 素养 4 建模型问题 (综合题型，难度系数定位中考和指标到校第7~9、15~17、24~25题，共44分) 已知:如图，△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C. 求证:∠A＋∠B＋∠C＝180°. 证明:过点A作直线MN，使MN∥BC. ∵MN∥BC，∴∠B＝∠MAB， ∠C＝∠NAC(两直线平行，内错角相等). 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 24 ∵∠MAB＋∠NAC＋∠BAC＝180°(平角定义)， ∴∠B＋∠C＋∠BAC＝180°(等量代换)， 即∠BAC＋∠B＋∠C＝180°. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 2.尺规作图:(2024·河北) 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定 是△ABC的(　　) A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 1.三角形高线的作法:(2023·丰都县) 如图，在△ABC中，AB边上的高 线画法正确的是(　　) 素养 5 探究型问题 A B C D B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 27 2.三角形的中位线:【课本再现】 已知:如图1，DE是△ABC的中位线. 求证:DE∥BC，且DE＝BC. (1)【定理证明】证明:如图2，延长DE至点F，使得EF ＝DE，连接CF.请你根据小乐添加的辅助线，写出完整 的证明过程;(不再添加新的辅助线) 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 证明:在△AED和△CEF中， ∴△AED≌△CEF(SAS). ∴AD＝CF，∠A＝∠ECF.∴AB∥CF. ∵AD＝BD，∴BD＝CF. ∴四边形DBCF为平行四边形. ∴DF∥BC，DF＝BC. ∴DE∥BC，DE＝BC. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)【知识应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝6，CD ＝8，∠BAC＝30°，∠ACD＝120°，E，F，M分别是 AD，BC，AC的中点，求EF的长. 解:∵E，M分别是AD，AC的中点， ∴EM是△ADC的中位线. ∴EM＝CD＝4，EM∥CD. ∴∠EMC＋∠ACD＝180°. ∵∠ACD＝120°，∴∠EMC＝60°. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 同理可得MF＝AB＝3，MF∥AB. ∴∠CMF＝∠BAC. ∵∠BAC＝30°，∴∠CMF＝30°. ∴∠EMF＝90°. ∴EF＝＝5. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 3.三角形内角平分线、外角平分线的夹角: (1)如图1，BO，CO分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平 分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________;  (2)如图2，BO，CO分别是△ABC两个外角∠CBD和 ∠BCE的平分线，则∠BOC与∠A的关系是 _______________________;  ∠BOC＝90°＋∠A ∠BOC＝90°－∠A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (3)如图3，BO，CO分别是△ABC一个内角和一个外角的平分线，则 ∠BOC与∠A的关系是_________________.  ∠BOC＝∠A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 创新实践·展示素养 04 34 1.三角形中三种线段综合:如图，在△ABC中，BD，BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH垂直于BE，交BD于点G，交BC于点H.下列结论正确的有(　　) ①∠DBE＝∠F; ②2∠BEF＝∠BAF＋∠C; ③∠FEB＝∠ABE＋∠C; ④2∠F＝∠BAC－∠C. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 素养 6 创新型问题 (创新题型，难度系数定位中考和指标到校第10、18、23、26题，共28分) D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 35 2.综合分析:如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于点F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论: ①∠CEG＝2∠DCA;②CA平分∠BCG;③∠ADC＝∠GCD;④∠DFB＝∠A;⑤∠DFE＝135°.其中正确的结论序号是_____________.  ①③④⑤ 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 3.数学文化 综合与实践 问题探究:(1)如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几 何原本》第1卷命题9:“平分一个已知角.”即:作一个已 知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给 出的角平分线作图法:在OA和OB上分别取点C和D，使 得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE， 则OE就是∠AOB的平分线.请写出OE平分∠AOB的依据: _________________________________;  SSS，全等三角形的对应角相等 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 解:[∵△CDE是等边三角形，∴CE＝DE. 又∵OC＝OD，OE＝OE， ∴△OCE≌△ODE(SSS). ∴∠COE＝∠DOE. ∴OE是∠AOB的平分线.] 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 类比迁移:(2)小明根据以上信息研究发现:△CDE不一 定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可.他查阅资料: 我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下:如图3， 在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺， 使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶 点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由; 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 解:∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC， ∴△OCM≌△OCN(SSS). ∴∠AOC＝∠BOC. ∴射线OC是∠AOB的平分线. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 拓展实践:(3)小明将研究应用于实践.如图4，校园的 两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在 学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照 亮两条小路(两条小路一样亮)，并且路灯E到岔路口 A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路 灯应该安装在哪个位置?请用不带刻度的直尺和圆规 在对应的示意图5中作出路灯E的位置.(保留作图痕迹， 不写作法) 解:如图5中，点E即为所求. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 41 请完成《精练本》P33~34素养练测15 本讲内容结束 $$