第3单元 第13讲 反比例函数(课件PPT)-【学本课堂】2025年中考数学讲义（重庆专用）

第13讲　反比例函数 第三单元　函数 2025重庆数学 《学本课堂》 2 3 1 2 3 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 3 4 创新实践·展示素养 目 录 2 回归教材·依标扣本 01 3 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y＝(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况 课标要求 1 反比例函数的图象与性质 图象与性质 k 的几何意义 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 4 图象与性质 表达式 y＝(k≠0)，y＝kx－1，xy＝k k的符号 k＞0 k＜0 图象(双曲线) 渐近性 图象与坐标轴无限接近，但永不与坐标轴相交 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 图象与性质 增减性 在每一象限内(x＞0或x ＜0)，y随x的增大而 ①______ 在每一象限内(x＞0或x＜0)， y随x的增大而② ______ 对称性 关于直线y＝x，y＝－x成轴对称，也关于原点成中心对称 面积不变 过图象上任一点作两坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴所围成矩形的面积不变，恒为|k|，S△＝|k| 画法 (五点法) 在一个象限内取五个点，用平滑的曲线连接起来，再由对称性画出另一支 减小  增大 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 如图，过反比例函数图象上任一点P(x，y)分别作x轴、y轴 的垂线PM，PN，所得矩形PMON的面积S＝|xy|＝③______，  同理可得S△POM＝S△PON＝S△PMN＝S△OMN＝|xy|＝|k| k 的几何意义 |k| 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求 2 能根据已知条件确定反比例函数的表达式 待定系 数法 (1)设反比例函数的表达式为y＝(k≠0);(2)找出反比例函数图象上的一点P(a，b); (3)将点P(a，b)代入表达式得k＝ab;(4)确定反比例函数的表达式为y＝ 利用k的 几何意义 当已知面积时，可考虑用k的几何意义.由面积得|k|值，再结合图象所在象限判断k的正负，从而得出k值，代入表达式即可 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 8 (1)审题，确定自变量，因变量;(2)明确变量之间的数量关系;(3)根据数量关系确定反比例函数解析式;(4)根据题意确定自变量的取值范围;(5)根据反比例函数的性质解决相应问题;(6)对答案进行检验，符合题意后作答. 课标要求 3 能用反比例函数解决简单实际问题 反比例函 数的实际 应用 一般 步骤 常见应用公式 (1)行程问题:速度＝;(2)工程问题:工作效率＝; (3)压强问题:压强＝;(4)电学问题:电阻＝. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 9 基础自查·巩固素养 02 10 1.反比例函数的定义:正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建 设项目.一段工程施工需要运送土石方总量为105 m3，设土石方日平均 运送量为V(单位:m3/天)，完成运送任务所需要的时间为t(单位:天)， 则V与t满足(　　) A.反比例函数关系 B.正比例函数关系 C.一次函数关系 D.二次函数关系 素养 1 概念型问题 (基础题型，难度系数定位中考和指标到校第1~6、11~14、19~22题，共78分) A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 11 2.反比例函数的图象:二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所 示，则一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝在同一平面直角 坐标系中的图象可能是(　　) D A　 B　 C　 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.反比例函数的性质:(2024·河北) 节能环保已成为人们的共识.淇淇家 计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天.下列说法错误的 是(　　) A.若x＝5，则y＝100 B.若y＝125，则x＝4 C.若x减小，则y也减小 D.若x减小一半，则y增大一倍 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.反比例函数与一次函数相交:(2024·安徽) 已知反比例函数y＝(k≠0) 与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为(　　) A.－3 B.－1 C.1 D.3 素养 2 计算型问题 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 14 2.利用待定系数法求反比例函数的解析式: (1)已知反比例函数y＝的图象经过点A(1，1). ①求反比例函数的解析式; ②若点(2，y1)，(4，y2)是反比例函数图象上两点，试比较y1，y2的大小. 解:①将A(1，1)代入y＝，得k＝1. ∴反比例函数的解析式为y＝. ②∵点(2，y1)，(4，y2)是反比例函数图象上两点， ∴当x＝2时，y1＝;当x＝4时，y2＝. ∴y1＞y2. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 (2)已知y＝y1＋y2，若y1与x－1成正比例，y2与x＋1成反比例，当x＝0时，y＝－5;当x＝2时，y＝1. ①求y与x的函数关系式; 解:∵y1与x－1成正比例，y2与x＋1成反比例，∴设y1＝k1(x－1)，y2＝(k1≠0，k2≠0). ∵y＝y1＋y2， ∴y＝k1(x－1)＋. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 ∵当x＝0时，y＝－5;当x＝2时，y＝1， ∴解得 ∴y与x的函数关系式为y＝2(x－1)－. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 ②求当x＝－2时，y的值. 解:把x＝－2代入函数关系式，得y＝－3. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.反比例函数上点的坐标特征:(2024·天津) 若点A(x1，－1)，B(x2，1)， C(x3，5)都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是 (　　) A.x1＜x2＜x3 B.x1＜x3＜x2 C.x3＜x2＜x1 D.x2＜x1＜x3 素养 3 方法型问题 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 19 2.反比例函数与点的关系:(2024·西附三模) 反比例函数y＝－的图象 一定经过的点是(　　) A.(－3，－4) B.(3，4) C.(－2，－6) D.(2，－6) D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.根据实际问题列反比例函数解析式:如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况.实验数据记录如下表: x(cm) … 10 15 20 25 30 … y(N) … 30 20 15 12 10 … 猜测y与x之间的函数关系，并写出函数关系 式为____________.  y＝ 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 综合思考·提升素养 03 22 1.反比例函数中k的几何意义: (1)(2024·实验外语校) 如图，点A，B分别在反比例函 数y＝－和y＝的图象上，线段AB与y轴交于点E， 且AE∶EB＝2∶1，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B 作BC⊥x轴于点C，则四边形ABCD的面积为__________.  素养 4 建模型问题 (综合题型，难度系数定位中考和指标到校第7~9、15~17、24~25题，共44分) 21 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 23 (2)(2024·深圳) 如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形， tan∠AOC＝，且点A落在反比例函数y＝上，点B落在反比例函数 y＝(k≠0)上，则k＝__________.  8 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 2.与一次函数综合:(2024·眉山) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，6)，B(n，2)，与x轴，y轴分别交于C，D两点. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (1)求一次函数和反比例函数的表达式; 解:∵一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，6)， B(n，2)，∴＝6.∴m＝6. ∴反比例函数的表达式为y＝. ∴2＝，即n＝3.∴B(3，2). 把A(1，6)，B(3，2)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝－2x＋8. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标; 解:点P的坐标为(0，5).　[作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于点P，则此时△PAB的周长最小. ∵A(1，6)，∴A'(－1，6). 设直线BA'的解析式为y＝mx＋c. ∴解得 ∴直线BA'的解析式为y＝－x＋5. 当x＝0时，y＝5.∴点P的坐标为(0，5).] 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当EF＝AB时，求a的值. 解:将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交 于E，F两点. ∴直线EF的解析式为y＝－2x＋8－a. ∴E，F(0，8－a). ∵EF＝AB，∴×. 解得a＝6或a＝10. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 1.反比例函数的对称性: (1)如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O， 且正方形的一组对边与x轴平行，P(4a，a)是反比例函数 y＝(k＞0)的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影 部分的面积等于16，则k的值为(　　) A.16 B.1 C.4 D.－16 素养 5 探究型问题 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 29 (2)如图，直线l与双曲线交于A，C两点，将直线l绕点O顺时针旋转α角 (0°＜α≤45°)，与双曲线交于B，D两点，则四边形ABCD的形状一 定是(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.不能确定形状 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 2.实际问题中的应用:某校后勤处每周周日均会 对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒 效果随着时间变化如图所示，消毒效果y(单位: 效力)与时间x(单位:分钟)呈现三段函数图象， 其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段， CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段.请根据图中信息解答下列问题: 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (1)第3分钟时消毒效果为__________效力;  解: [设线段AB所在直线的解析式为y＝ax. ∵B(10，3)，∴10a＝3.解得a＝. ∴线段AB所在直线的解析式为y＝x. 当x＝3时，y＝×3＝0.9.] 0.9 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式; 解:设BC段的函数解析式为y＝kx＋b. 把点(10，3)，(30，6)代入上式，得解得 ∴深消毒阶段中y＝x＋(10≤x≤30). 设CD段的函数解析式为y＝. 把点(30，6)代入上式，得 6＝.∴m＝180. ∴降消毒阶段中y＝(x＞30). 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效? 解:把y＝4分别代入 y＝x＋ 和 y＝，得x＝ 和x＝45. ∵45－＝28＞28， ∴本次消毒有效. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 创新实践·展示素养 04 35 1.反比例函数与几何综合:(2024·牡丹江) 矩形OBAC在平面 直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y＝的图象与AB 边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE， 若四边形ODAF的面积为2，则k的值是(　　) A. B. C. D. 素养 6 创新型问题 (创新题型，难度系数定位中考和指标到校第10、18、23、26题，共28分) D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 36 2.动点问题与新函数:(2024·沙坪坝区模拟) 如 图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5， DC＝4，AB＝10，点P在四边形ABCD的边上， 且沿着点B→C→D→A运动.设点P的运动路程为x， 记AB，BP，PA围成的面积为S，y1＝S，y2＝(x≠0). (1)请直接写出y1与x的函数关系式，并写出x的取值范围; 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 解:当点P在BC上运动时，如图①， 过点P作PH⊥AB于点H，过点C作CN⊥AB于点N. 由题意，得BN＝×(10－4)＝3，则CN＝4. ∴sin B＝. ∴y1＝×AB×PH＝×10×x·sin B＝4x; 图① 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 当点P在CD上运动时，如图②，过点P作PT⊥AB于点T， 则y1＝×AB×PT＝×10×4＝20; 当点P在AD上运动时，同理可得y1＝－4x＋56. 故y1＝ 图② 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中已画出函数y2的图象，请在同一平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并根据函数图象，写出函数y1的一条性质; 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 解:函数y1的图象如图所示. 函数y1的一条性质:当0＜x＜5时，y随x的增大而增大;当5＜x＜9时，y随x的增大而不变;当9＜x＜14时，y随x的增大而减小.(答案不唯一) 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 (3)结合y1与y2的函数图象，直接写出 当y1＞y2时，x的取值范围.(结果保留 一位小数，误差范围不超过0.2)  解:3.2＜x＜13.2.　[令＝4x，解得 x＝(负值已舍去);令＝－4x＋56， 解得x＝7＋(负值已舍去). 从图象看，当y1＞y2时，x的取值范围 为＜x＜7＋，即3.2＜x＜13.2.] 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 请完成《精练本》P29~30素养练测13 本讲内容结束 $$