第3单元 第12讲 二次函数的综合应用(课件PPT)-【学本课堂】2025年中考数学讲义（重庆专用）

第12讲　二次函数的综合应用 第三单元　函数 2025重庆数学 《学本课堂》 2 3 1 2 3 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 3 4 创新实践·展示素养 目 录 2 回归教材·依标扣本 01 3 求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题 课标要求 二次函数的综合应用 模型 (2)最大面积 类型 (1)最大利润 (3)拱桥问题(隧道问题) (4)线段最值问题 (5)动点问题 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 4 (1)自变量的取值范围是全体实数，函数在顶点处取最值; (2)x1≤x≤x2:当－在x1，x2之间时，函数最值在①_______处取得;  当－不在x1，x2之间时，函数最值为②_______或③______对应的函数值  模型 顶点 x1 x2 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 5 (1)最大利润 此升彼降(单价升，销量降；单价降，销量升) 总利润＝单件利润×总销售量 (2)最大面积 方法：相似三角形对应高之比等于相似比 方法：相似三角形 关键：用一个量表示另一个量 (3)拱桥问题 (隧道问题) 汽车能否通过(设车宽为x，求出y的值，再与车高作比较) 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 6 (4)线段最值问题：线段和最小、差最大， 周长最小(三角形，四边形) (5)动点问题 构成△≌△，△∽△，Rt△，等腰△ 构成四 边形 已知A，B 两点 AB为边 (如图1) AB为对角线 (如图2) 图1 图2 已知A，B，C三点(如图3) 图3 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 7 基础自查·巩固素养 02 8 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3). (1)求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式; 素养 1 回顾性质 (基础题型，难度系数定位中考和指标到校第1~6、11~14、19~22题，共78分) 解:∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为(－1，0)， 与y轴的交点坐标为(0，3)， ∴把x＝－1，y＝0代入y＝－x2＋bx＋c，得－1－b＋c＝0①. 把x＝0，y＝3代入y＝－x2＋bx＋c，得c＝3. 把c＝3代入①，可得b＝2. 则此二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋3. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 9 (2)当函数值y＞－5时，求自变量x的取值范围; 解:令y＝－x2＋2x＋3＝－5，可化为(x－4)(x＋2)＝0， 解得x1＝4，x2＝－2. 由函数图象可知，当y＞－5时，－2＜x＜4. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 (3)当－1≤x≤2时，求y的取值范围. 解:由二次函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4知， 其图象的对称轴为直线x＝1. 当－1≤x≤2时，y分别在x＝－1和x＝1处取得最小 值和最大值. 当x＝－1时，y＝0;当x＝1时，y＝4. 故当－1≤x≤2时，y的取值范围为0≤y≤4. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 综合思考·提升素养 03 12 1.(2024·西附) 如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为y＝－x2＋10，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E，F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水 平距离EF为__________米.  素养 2 建模应用:二次函数的实际应用 (综合题型，难度系数定位中考和指标到校第7~9、15~17、24~25题，共44分) 10 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 13 2.(2023·綦江区) 冬天来临，气候寒冷，市场上保暖产品热销.綦江区某商场提前谋划，从10月中旬开始销售一种每件进价为50元的保暖内衣，物价部门规定每件保暖内衣售价不得高于80元，商场销售部负责人通过对销售数据的分析，发现这种保暖内衣每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足函数关系:y＝－2x＋240. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 (1)商场每月想从这种保暖内衣销售中获利2 250元，该如何给这种保暖内衣定价? 解:由题意，得 (x－50)(－2x＋240)＝2 250. 解得x1＝75，x2＝95(不合题意，舍去). 答:此时这种保暖内衣每件的定价为75元. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 (2)请问这种保暖内衣每件的售价定为多少元时可获得最大月利润?最大月利润是多少? 解:设这种保暖内衣售价定为x元时，月利润为w元.由题意，得w＝(x－50)(－2x＋240)＝－2(x－85)2＋2 450. ∴当x＜85时，w随x的增大而增大. ∵物价部门规定每件售价不得高于80元， ∴x≤80.∴当x＝80时，w取得最大值，此时w＝2 400. 答:这种保暖内衣每件的售价定为80元时可获得最大月利润，最大月利润是2 400元. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 3.(2024·实验外语校) 草莓是深受人们喜爱的明星水果，世界范围内共有2080多个不同品种的草莓，某水果超市近期有“春旭”和“星都2号”两种品种的草莓正在销售.已知这两种草莓每千克的进价之和为150元，“春旭”草莓每千克的利润率为50%，“星都2号”草莓每千克的售价比进价的2倍少50元.某顾客购买了2千克“春旭”草莓和3千克“星都2号”草莓，共支付了570元. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 (1)求该水果超市“春旭”和“星都2号”草莓的进价分别为每千克多少元; 解:设“春旭”和“星都2号”草莓的进价分别为每千克x元和每千克y元，则“春旭”草莓每千克的售价为(1＋50%)x元，“星都2号”草莓每千克的售价为(2y－50)元.由题意，得 解得 答:“春旭”和“星都2号”草莓的进价分别为每千克60元和每千克90元. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 (2)若按照原售价销售，该水果超市平均每天可售出“春旭”草莓50千克和“星都2号”草莓30千克.经调查发现，每千克“春旭”草莓售价每降低1元，每天可多销售10千克，每千克“星都2号”草莓售价每降低2元，每天可多销售10千克;该水果超市某天计划将两种草莓都降低相同价格出售，为尽最大可能让消费者获得实惠，且当天销售这两种草莓的利润之和为5 580元，则这两种草莓每千克都降低了多少元? 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 解:由(1)，得 (1＋50%)×60＝90，2×90－50＝130. 设两种草莓每千克都降低了m元. 由题意，得(90－60－m)(50＋10m)＋(130－90－m)(30＋5m)＝5 580. 整理，得m2－28m＋192＝0. 解得m1＝12，m2＝16. 为尽最大可能让消费者获得实惠，则取m＝16. 答:两种草莓每千克都降低了16元. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 创新实践·展示素养 04 21 1.(2024·实验外语校二诊) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; 解:把A(－3，0)，B(1，0)代入抛物线 y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. 素养 3 几何推理 (创新题型，难度系数定位中考和指标到校第10、18、23、26题，共28分) 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 22 (2)如图，作点C关于x轴的对称点C'，将抛物线沿射线AC'方向平移3个单位长度得新抛物线y'，点D是新抛物线y'的顶点，E是新抛物线y'对称轴上一点，在新抛物线y'上确定一点Q，使得∠EAQ＝∠DCB＝∠AED，写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 解:如图，由题意可知，将抛物线沿射线AC'方向移3个单位长度，相当于将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，则平移后新抛物线y'的解析式为y'＝(x－3)2＋2(x－3)－3＋3＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.∴D(2，－1). ∵C(0，－3)，B(1，0)， ∴BC2＝12＋32＝10，BD2＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2， CD2＝(0－2)2＋[－3－(－1)]2＝8. ∴BC2＝BD2＋CD2.∴∠BDC＝90°. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 ∴tan∠BCD＝. ∵∠EAQ＝∠DCB＝∠AED， ∴tan∠EAQ＝tan∠AED＝. ∵AN＝5，∴EN＝2×5＝10，即E(2，10). ①当AQ∥DE时，满足条件. ∵A(－3，0)，∴点Q的横坐标为－3; ②当∠EAQ＝∠DCB＝∠AED时，如图，设AQ与DE交于点M，此时AM＝EM. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 设AM＝EM＝m，则MN＝10－m. 在Rt△AMN中，∠ANM＝90°，AN2＋MN2＝AM2，即52＋(10－m)2＝m2.解得m＝. ∴MN＝10－，即 M. 设直线AM的解析式为y＝kx＋d，则 解得 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 ∴直线AM的解析式为y＝x＋. 令x＋＝x2－4x＋3， 解得x＝或x＝ . 综上所述，点Q的横坐标为－3或或. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 2.(2024·西附) 在平面直角坐标系中，抛物线C1:y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴正半轴交于点C，作直线AC，抛物线C1的顶点为D，对称轴为直线x＝－1，且OC＝3OB. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 (1)求抛物线C1的解析式; 解:由题意，得C(0，3)，OC＝3，又OC＝3OB，则OB＝1，即B(1，0). ∴解得 ∴抛物线C1的解析式为y＝－x2－2x＋3. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 (2)如图，P为直线AC上方抛物线上一动点，且满足S△PAC＝S△ABC，求点P的坐标; 解:由抛物线C1的解析式知，A(－3，0). 如答图1，过点B作直线n∥AC交y轴于点L. 由点A，C的坐标，得直线AC的解析式为y＝x＋3. ∴直线n的解析式为y＝x－1，则L(0，－1). ∴CL＝4. 答图1 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 过点P作直线m∥AC交y轴于点Q. 当QC＝LC＝时，满足条件，则Q. ∴直线m的解析式为y＝x＋. 令x＋＝－x2－2x＋3， 解得x＝－或－. ∴点P的坐标为或. 答图1 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 (3)将抛物线C1先向右平移2个单位长度得到抛物线C2，再作抛物线C2关于直线x＝－2对称得到抛物线C3，M为抛物线C3对称轴上的一个动点;将直线AC向右平移2个单位长度得到直线l，N是直线l上的一个动点，请求出△MDN周长的最小值. 解:C1:y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 将抛物线C1先向右平移2个单位长度得到抛物 线C2，则此时抛物线C2的解析式为y＝－(x－1)2＋4; 再作抛物线C2关于直线x＝－2对称得到抛物线C3，则此时抛物线C3的解析式为y＝－(x＋5)2＋4. 答图2 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 ∴设M(－5，m). 将直线AC向右平移2个单位长度得到直线l， 则直线l的解析式为y＝x＋1. ∵点D为抛物线C1的顶点，∴D(－1，4). 作点D关于直线x＝－5的对称点D'(－9，4). 过点D作y轴的平行线交直线l于点T(－1，0)，在点T右侧的x轴上取点D″，使TD″＝TD＝4，则点D″(3，0)是点D关于直线y＝x＋1的对称点. 答图2 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 连接D'D″交x＝－5于点M，交直线y＝x＋1于点N，则此时△MDN的周长最小， △MDN的周长为MD'＋MN＋ND″＝D'D″. ∴△MDN周长的最小值为 D'D″＝＝4. 答图2 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 请完成《精练本》P26~28素养练测12 本讲内容结束 $$