第3单元 第11讲 二次函数的图象与性质(课件PPT)-【学本课堂】2025年中考数学讲义（重庆专用）

第11讲　 二次函数的图象与性质 第三单元　函数 2025重庆数学 《学本课堂》 2 3 1 2 3 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 3 4 创新实践·展示素养 目 录 2 回归教材·依标扣本 01 3 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系 课标要求 1 二次函数的图象与性质 定义:形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫二次函数 图象与性质 二次函数的图象与a，b，c的关系 表达式求法 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 4 图象与性质 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口方向 a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下 增 减 性 a＞0⇔对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大 a＜0⇔对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 图象与性质 对称轴 直线x＝0 (y轴) 直线x＝0 (y轴) 直线x＝h 直线x＝h 直线x＝－ 顶点 (0，0) (0，c) (h，0) (h，k) 最值 y最值＝0 y最值＝c y最值＝0 y最值＝k y最值＝ 图象 (a＞0) 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 二次函数的图象与a， b，c的关系 字母或 代数式 符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 |a|越大，开 口越② ______ a＜0 开口向①_____ b b＝0 对称轴为③________轴  ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 下 小 y 简称“左同” 简称“右异” 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 二次函数的图象与a， b，c的关系 字母或代数式 符号 图象的特征 c c＝0 经过④________点  c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴⑤________半轴相交  特殊 关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝⑥_________ 若a＋b＋c＞0，即当x＝1时，y＞0； 若a＋b＋c＜0，即当x＝1时，y⑦________0  原 负 a－b＋c ＜ 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 待定系数法:(1)设;(2)代;(3)解;(4)答 表达式求法 形式 一般式:y＝ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式:y＝a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式:y＝a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴的交点坐标 平移变换 (1)抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度，得y＝2(x＋3)2＋1 (2)抛物线y＝2(x＋3)2＋1向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度，得 y＝2(x＋3－4)2＋1－2，即y＝2(x－1)2－1 【提分点拨】平移变换的关键:(1)弄清哪个函数图象向哪个方向平移;(2)实质是点平移，重点关注顶点平移;(3)方法:左加右减，上加下减;(4)平移坐标轴与此方法相反. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值 课标要求 2 与方程、 不等式的关系 与方程的关系 与x轴有⑧________个交点⇔对应方程有两个不相等的实数根⇔Δ＞0  与x轴有⑨________个交点⇔对应方程有两个相等的实数根⇔ Δ⑩________0  与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑪________0  2 1 ＝ ＜ 结合函数图象 分析取值范围 ax2＋bx＋c＞0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的横坐标的取值范围 ax2＋bx＋c＜0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的横坐标的取值范围 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 10 基础自查·巩固素养 02 11 1.二次函数的定义:(2024·西附) 下列函数中，y关于x的二次函数是 (　　) A.y＝ax2＋bx＋c B.y＝x(x－1) C.y＝ D.y＝(x－1)2－x2 素养 1 概念型问题 (基础题型，难度系数定位中考和指标到校第1~6、11~14、19~22题，共78分) B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 12 2.二次函数的图象:(2024·西附) 一次函数y＝ax＋b的图象如图所示， 则二次函数y＝ax2＋bx的图象大致是(　　) A B C D A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.二次函数的性质: (1)对称性:(2023·一中) 下列关于抛物线y＝－3(x－1)2＋2性质的描述 中，正确的是(　　) A.开口向上 B.对称轴是直线x＝1 C.顶点坐标是(－1，3) D.函数y有最小值2 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 (2)顶点坐标与最值:已知函数y＝x2－6x＋2，当－2＜x＜4时，则y的取值范围为_______________.  (3)增减性:(2024·实验外语校) 已知点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)都在二次函数y＝－2(x－3)2＋a的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 (　　) A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y1＞y3 C.y2＞y3＞y1 D.y3＞y2＞y1 －7≤y＜18 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.利用待定系数法求二次函数的解析式: (1)顶点式:二次函数图象的顶点坐标是(－2，3)，并经过点(1，2)，求该二次函数的解析式; 解:设该二次函数的解析式为y＝a(x＋2)2＋3. 把点(1，2)代入上式，得9a＋3＝2.解得a＝－. ∴该二次函数的解析式为y＝－(x＋2)2＋3. 素养 2 计算型问题 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 16 (2)交点式:抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，6)，求抛物线的解析式; 解:(1)由题意，设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4). 把C(0，6)代入上式，得 6＝a×(0＋2)(0－4).解得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－4)，即y＝－x2＋x＋6. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 (3)三点式(一般式):已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴交于点C(0，－5)，且经过点D(3，－8).求该二次函数的解析式. 解:根据题意，得 解得 ∴该二次函数的解析式为y＝x2－4x－5. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 2.二次函数图象与x轴的交点:若函数y＝(m－3)x2－4x＋2的图象与x轴只 有一个交点，则m的值是(　　) A.3或5 B.3 C.4 D.5 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.二次函数图象与y轴的交点:(2024·鲁能巴蜀) 二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，且与x轴的一个交点为 (－3，0)，现有以下结论:①abc＞0;②2a－b＝0;③b2＞4ac;④a＋b＋c＝0.其中正确结论的序号是__________.  ②③④ 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.二次函数图象上点的坐标特征:(2024·八中模拟) 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)，经过A(－4，1)，B(2，1)，C(－5，y1)，D(1，y2)四点， 则y1与y2的大小关系是y1__________y2(填“＞”“＜”或“＝”).  素养 3 方法型问题 ＜ 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 21 2.二次函数一般形式与顶点式互化:若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y ＝(x－2)2＋k，则b，k的值分别为(　　) A.0，5 B.－4，1 C.－4，5 D.－4，－1 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.画二次函数的图象:已知二次函数y＝－x2＋4x－2. (1)把它化成顶点式为____________________;  解:[把它化成顶点式为y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2.] y＝－(x－2)2＋2 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象. 解:由y＝－(x－2)2＋2知，该抛物线的顶点坐标是(2，2)，抛物线的开口方向向下. 由y＝－x2＋4x－2知抛物线与y轴的交点坐标是(0，－2). 这个函数的图象如图所示. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 综合思考·提升素养 03 25 1.图象法求一元二次方程的近似根:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表: 素养 4 建模型问题 (综合题型，难度系数定位中考和指标到校第7~9、15~17、24~25题，共44分) x … －1 0 1 3 … y … －3 1 3 1 … 则方程ax2＋bx＋c＝0的正根介于(　　) A.3与4之间 B.2与3之间 C.1与2之间 D.0与1之间 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 26 2.二次函数与不等式(组): (1)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分.当y＜0时，自变量x的取 值范围是(　　) A.x＜－1或x＞2 B.x＜－1或x＞5 C.－1＜x＜5 D.－1＜x＜2 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)(2023·松树桥中学) 已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2).如图，能使y1＞y2成立的x的取值范围是__________________.  x＜－2或x＞8 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 3.根据实际问题列二次函数关系式: (2024·育才) 某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数 关系式是(　　) A.y＝60(1＋x)2 B.y＝60＋60(1＋x)＋60(1＋x)2 C.y＝60(1＋x)＋60(1＋x)2 D.y＝60＋60(1＋x) B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 1.二次函数图象与系数的关系:(2024·育才) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论: (1)4a＋b＝0; (2)9a＋c＞－3b; (3)b2－4ac＝0; 素养 5 探究型问题 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 30 (4)若点A(－3，y1)、点B、点C(7，y3)在该函数图象上，则y1＜y2＜y3; (5)若方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜－1＜5＜x2. 其中正确的结论有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 2.二次函数与几何变换:(2023·开州区) 将抛物线y＝2x2－1向左平移3个 单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为 ____________ ________.(用一般形式表示)  y＝2x2＋12x ＋15 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 3.二次函数综合理解:(2024·山东) 在平面直角坐标系中，点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m. (1)求m的值; 解:∵点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上， ∴4a＋2b－3＝－3.解得b＝－2a. ∴该二次函数的解析式为y＝ax2－2ax－3. ∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝－＝1. ∴m＝1. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)若点Q(m，－4)在y＝ax2＋bx－3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和; 解:∵点Q(1，－4)在y＝ax2－2ax－3的图象上， ∴a－2a－3＝－4.解得a＝1. ∴该二次函数的解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4. 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为 y＝(x－1)2－4＋5＝(x－1)2＋1. ∵0≤x≤4，∴当x＝1时，函数的最小值为1; 当x＝4时，函数的最大值为(4－1)2＋1＝10. ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (3)设y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2).若4＜x2－x1＜6，求a的取值范围. 解:∵y＝ax2－2ax－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝－. ∵x2－x1＝， ∴x2－x1＝＝2. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 ∵4＜x2－x1＜6， ∴4＜2＜6，即2＜＜3. ∴＜a＜1. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 创新实践·展示素养 04 37 1.定义新运算与二次函数:(2024·实验外语校) 对于实数a，b，定义新运算a&b＝下列结论:①2&3＝4;②若a&b＝b&a，则a＝b＝0; ③若x1，x2为关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－3＝0的两根，且满足0＜x1－x2＜3，则x1&(x2－3)＋x2&(x1－3)＝－6;④若函数y＝(1－2x)&(x－2)的图象 与直线y＝m有三个不同的交点，则－＜m≤0.其中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 素养 6 创新型问题 (创新题型，难度系数定位中考和指标到校第10、18、23、26题，共28分) A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 38 2.数论与二次函数结合:(2023·江津区) 对于一个四位自然数M，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“智慧数”.例如，M＝5 241，因为 5＋1＝2 ＋4，所以5 241是“智慧数”.则最小的“智慧数”是__________;若一个“智慧数”M＝1 000a＋100b＋10c＋d，使二次函数y＝ax2＋(b＋c)x＋d与x轴有且只有一个交点，且满足16≤a＋b＋c＋d≤25，则满足条件的M的最大值为__________.  1 010 6 936 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 3.定义新名词二次函数:(2024·乐山) 在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”.抛物线y＝ax2－2ax＋2a(a为常数且a＞0)与y轴交于点A. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 (1)若a＝1，求抛物线的顶点坐标; 解:当a＝1时，y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1. ∴抛物线的顶点坐标为(1，1). 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 (2)若线段OA(含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围; 解:当x＝0时，y＝2a，即抛物线与y轴的交点A的坐标为(0，2a). ∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，即“完美点”的个数为4个或5个，而a＞0， ∴当“完美点”个数为4个时，这4个“完美点”的坐标分别为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3); 当“完美点”个数为5个时，这5个“完美点”的坐标分别为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(0，4). ∴3≤2a＜5. ∴a的取值范围是≤a＜. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 (3)若抛物线与直线y＝x交于M，N两点，线段MN与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”，求a的取值范围. 解:易知抛物线的顶点坐标为(1，a)，过点P(2，2a)，Q(3，5a)，R(4，10a). 显然，“完美点”(1，1)，(2，2)，(3，3)符合题意. 讨论抛物线经过(2，1)，(3，2)的两种情况: ①当抛物线经过(2，1)时，4a－2a＋2a＝1.解得a＝. 此时，P(2，1)，Q，R(4，5). 如备用图1，满足题意的“完美点”有(1，1)，(2，1)， (2，2)，(3，3)，共4个; 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 ②当抛物线经过(3，2)时，9a－6a＋2a＝2.解得a＝.此时，P，Q(3，2)，R(4，4). 如备用图2，满足题意的“完美点”有(1，1)，(2，1)， (2，2)，(3，2)，(3，3)，(4，4)，共6个. ∴a的取值范围是＜a≤. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 请完成《精练本》P23~25素养练测11 本讲内容结束 $$