第2单元 第7讲 分式方程及其应用(课件PPT)-【学本课堂】2025年中考数学讲义（重庆专用）

第7讲　分式方程及其应用 第二单元　方程与不等式 2025重庆数学 《学本课堂》 2 3 1 2 3 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 3 4 创新实践·展示素养 目 录 2 回归教材·依标扣本 01 3 课标要求 1 定义：①________中含有未知数的方程叫分式方程  能解可化为一元一次方程的分式方程 分式方程及其解法 分母 解法步骤 增根 题型 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 4 (1)去分母，化为整式方程；　　　 (2)解整式方程； (3)检验 (4)答　　 解法步骤 [注意：不要漏乘没有分母的项] [口诀：一化二解三检验四写根] 方法1:把未知数的值代入最简公分母，最简公分母≠0，为方程的解; 方法2:把未知数的值代入原方程，左边＝右边，为方程的解 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 5 定义:满足分式方程去分母后的整式方程且使分式方程分母为 ②_____的未知数的值叫分式方程的增根 产生原因:分式方程去分母时，两边同时乘了一个等于0的最简公分母 增根 0 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 6 分式方程有增根:把方程分母去掉后代入增根，求出待定系数的值 题型 分式方程无解 (1)方程有增根; (2)方程化简成ax＝b后讨论a＝0，b≠0 方程解为正数(或负数):解出x，由x＞0(或x＜0)求出待定系数的取值范围，再代入增根，去掉对应的待定系数的值 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 7 课标要求 2 能针对具体问题列出方程;能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 一般步骤:(1)审题;(2)设未知数;(3)找等量关系;(4)列方程;(5)解方程;(6)检验;(7)答 分式方程的实际应用 常见题型 易错 求出方程的根后忘记检验. 【提分点拨】检验:如果列出分式方程，则需要检验是否是分式方程的解.所有方程(组)或不等式的解需要检验是否符合实际意义，如:人数是自然数，边长不能为负，增长率不能为负，下降率不能超过1等. 双检验:(1)检验是否是分式方程 的解;(2)检验是否符合题意 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 8 工程问题:总工作量为1，工作效率＝ 销售(盈利)问题:折扣＝ 行程问题:时间＝ 常见题型 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 9 基础自查·巩固素养 02 10 1.分式方程的定义:下列关于x的方程是分式方程的是(　　) A. B.－3＝ C.＝3 D.x＝1 素养 1 概念型问题 (基础题型，难度系数定位中考和指标到校第1~6、11~14、19~22题，共78分) C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 11 2.分式方程的解:已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值 为(　　) A.3 B.－3 C.－1 D.1 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.解分式方程:(2024·开州区开学) 解下列分式方程: (1)＝－2; 素养 2 计算型问题 解:方程两边乘(x－2)，得 3＋x＝－2(x－2).解得x＝. 检验:当x＝时，x－2≠0. 故原方程的解为x＝. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 13 (2). 解:方程两边乘(x2－1)，得 2(x＋1)＝4.解得x＝1. 检验:当x＝1时，x2－1＝0. 则x＝1是原方程的增根. 故原方程无解. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 2.换元法解分式方程:(2024·黔江实验中学) 阅读下面材料，解答后面的问题: 解方程:＝0. 解:设y＝，则原方程化为y－＝0.方程两边乘y，得y2－4＝0.解得y＝±2.经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解. ∴当y＝2时，＝2，解得x＝－1; 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 当y＝－2时，＝－2，解得x＝. 经检验，x＝－1或x＝都是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x＝－1或x＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题: (1)若在方程＝4中，设__________＝y，则原方程可化为 __________，原方程的解为________________;    y－＝4 x＝或x＝－ 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 (2)模仿上述换元法解方程:－1＝0. 解:原方程化为＝0. 设y＝，则原方程化为y－＝0. 方程两边乘y，得y2－1＝0.解得y＝±1. 经检验，y＝±1都是方程y－＝0的解. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 当y＝1时，＝1，该方程无解; 当y＝－1时，＝－1.解得x＝－. 经检验，x＝－是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x＝－. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.分式方程的增根: (1)使分式方程产生增根的k的值是__________;  (2)(2023·长寿区) 若关于x的方程＝2无解，则m的值是__________.  素养 3 方法型问题 ± 0 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 19 2.特殊解问题:若关于x的分式方程＝3 的解是负数，则字母 m 的取值范围是____________________.  m＞－3且m≠－2 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.与不等式组综合:(2024·南开) 已知关于y的分式方程＝ －3有整数解，且关于x的一元一次不等式组有解且最多有 3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为__________.  －6 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 综合思考·提升素养 03 22 1.(2024·临夏州) 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，问:每袋粽子的原价是多少元?设每袋粽子的原价是x元，所 得方程正确的是(　　) A.＝10 B.＝10 C.＝10 D.＝10 素养 4 建模型问题:由实际问题抽象出分式方程 (综合题型，难度系数定位中考和指标到校第7~9、15~17、24~25题，共44分) C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 23 2.(2024·绥化) 一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江 顺流航行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相 等，则江水的流速为(　　) A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 3.某商店计划今年的春节购进A，B两种纪念品若干件.若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的.已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元，设购买一件B种纪念品需要x元，则 下列所列方程正确的是(　　) A.× B.× C.× D.× C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 4.(2024·大渡口区、实验外语校) 已知电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米的行驶费用少0.4元，当两种汽车的行驶费用均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍.求电动汽车平均每千米的行驶费用.设电动汽车平均每千米的行驶费用为x元，则根据题 意可列出方程为(　　) A.3× B.＝3× C.＝3× D.＝3× D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 5.(2024·南开) 2024年3月24日，长安汽车重庆马拉松在美丽的海棠烟雨公园鸣枪起跑.甲、乙两人参加了40千米的比赛，甲每小时比乙多跑 2千米，最终甲比乙早1小时到达.设乙的速度为每小时x千米，则可列方 程为(　　) A.＋1 B.－1 C.＋1 D.－1 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 6.数学文化(2023·万州中学) 如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是:现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽?(椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆)设这批椽有x株，则符合题意 的方程是(　　) A.＝3 B.＝3x－1 C.3(x－1)＝ D.3(x－1)＝ C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 1.行程问题:(2024·云南) 某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度. 解:设D型车的平均速度是x千米/时，则C型车的平均速度是3x千米/时. 根据题意，得＝2.解得x＝100. 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意. 答:D型车的平均速度是100千米/时. 素养 5 探究型问题 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 29 2.工程问题:(2024·开州区) 为缩短厚坝到城区的距离，凤凰梁大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段1 700米的桥梁施工任务.计划先由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成.已知甲工程队每月的施工量比乙工程队每月的施工量多100米. (1)甲、乙两个工程队每月各计划施工多少米? 解:设乙工程队每月计划施工x米，则甲工程队每月计划施工(x＋100)米.根据题意，得(6＋2)(x＋100)＋2x＝1700.解得x＝90. ∴x＋100＝190. 答:甲、乙两个工程队每月分别计划施工190米、90米. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其他工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用9个月完成了该项目.若这段道路施工任务的总施工费用是500万元，已知乙工程队的总施工费用为150万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元? 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 解:设乙工程队每月施工费用为a万元，则甲工程队每月施工费用为a万元.根据题意，得＝9.解得a＝40. 经检验，a＝40是原方程的解，且符合题意. ∴a＝×40＝. 答:甲工程队每月的施工费用为万元. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 3.销售问题:春节期间，根据习俗每家每户都会在门口挂灯笼和对联，某商店看准了商机，购进了一批红灯笼和对联进行销售，已知每副对联的进价比每个红灯笼的进价少10元，且用480元购进对联的副数是用同样金额购进红灯笼个数的6倍. (1)求每副对联和每个红灯笼的进价分别是多少元; 解:设每副对联的进价为x元，则每个红灯笼的进价为(x＋10)元. 依题意，得＝6×.解得x＝2. 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意. ∴x＋10＝12. 答:每副对联的进价为2元，每个红灯笼的进价为12元. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)由于销售火爆，第一批销售完后，该商店用相同的价格再购进300副对联和200个红灯笼.已知每副对联的售价为6元，每个红灯笼的售价为24元，销售一段时间后，对联卖出了总数的，红灯笼售出了总数的，为了清仓，该店老板对剩下的对联和红灯笼以相同的折扣数进行打折销售，并很快全部售出，求商店最低打几折可以使得这批货的总利润率不低于90%? 解:设剩下的对联和红灯笼均打y折销售.依题意，得300××6＋200××24＋300××6×＋200××24×－300×2－200×12≥(300×2＋200×12)×90%.解得y≥5. 答:商店最低打五折可以使得这批货的总利润率不低于90%. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 创新实践·展示素养 04 35 1.分式方程推理:(2024·凤鸣山) 已知三个函数:y1＝x－2，y2＝3x＋1，y3＝.下列说法: ①已知y2－y1＝ax，若此时关于x的方程无解，则a＝2; ②若为整数，则满足条件的整数x的值的和为8; ③若y2－y1＋y3＝6，则. 其中正确的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 素养 6 创新型问题 (创新题型，难度系数定位中考和指标到校第10、18、23、26题，共28分) C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 36 2.定义新运算:符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则 为:＝ad－bc，请你根据上述规定求出下列等式中x的值:若 ＝1，那么x＝__________.  4 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 请完成《精练本》P13~14素养练测7 本讲内容结束 $$