第2单元 第6讲 一元二次方程及其应用(课件PPT)-【学本课堂】2025年中考数学讲义（重庆专用）

第6讲　一元二次方程及其应用 第二单元　方程与不等式 2025重庆数学 《学本课堂》 2 3 1 2 3 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 3 4 创新实践·展示素养 目 录 2 回归教材·依标扣本 01 3 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 课标要求 1 一元二次方程及其解法 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①______的整式方程  一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2 解法  方法 适用情况 方程的根 直接开 平方法 x2＝m(m≥0) x1＝，x2＝－ (x＋n)2＝p(p≥0) x1＝－n， x2＝－－n 配方法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ≥0)→(x＋n)2＝p(p≥0) 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝ 因式分解法 ax2＋bx＋c＝a(x－m)(x－n)＝0(a≠0) x1＝m，x2＝n 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 4 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 课标要求 2 一元二次方程根的判别式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 根的情况 Δ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔一元二次方程有两个相等的实数根 Δ＜0⇔一元二次方程没有实数根 不能说只有一个根. (1)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况，注意a≠0; 　　 (2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0注意分类讨论，方程有实数根 ⇔ (i)a＝0; (ii)a≠0，且Δ≥0. 如关于x的方程ax2＋5x－2＝0有实数根，则a②__________.  ≥－ 易错 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 5 关系：x1，x2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝③_____， x1x2＝④______  课标要求 3 了解一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方 程的根与系 数的关系 运用 易错 [注意：Δ≥0是前提条件] － 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 6 平方型:＝(x1＋x2)2－2x1x2，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 括号型:(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 分式型: 绝对值型:|x1－x2|＝ 因式分解型:x2＋x1＝x1x2(x1＋x2) 运用 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 题目中涉及根与系数的关系，一定要考虑Δ≥0，如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中， 两根x1，x2同为正数，则Δ≥0，x1＋x2＞0，x1x2＞0; 两根x1，x2都大于1，则Δ≥0，(x1－1)＋(x2－1)＞0，(x1－1)(x2－1)＞0. 易错 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 能针对具体问题列出方程;能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 课标要求 4 【温馨提示】列一元二次方程解应用题时，一般会产生两个解，必须检验，把不合题意的解舍去. 一元二次方程的实际应用 步骤 类型 变化率问题 传播问题 面积问题 利润问题(“每每型”) 握手(单循环赛)与送礼物问题 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 9 步骤： 实际 问题 列一元二 次方程 解一元二 次方程 一元二次 方程的根 实际问 题的解 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 设原来的量为a，变化后的量为b.　 当连续两次增长，平均每次增长率为x时，则有a(1＋x)2＝b； 当连续两次下降，平均每次下降率为x时，则有⑤___________  易错 一月份产量为a件，平均每月增长率为x，第一季度产量为b件，则有a＋a(1＋x)＋a(1＋x)2＝b. 变化率问题 在求解时一般使用直接开平方法. 传播问题:与变化率问题类似，若开始数量为a，每轮感染的数量为x，经2轮传染后的数量为b，则有a＋ax＋(a＋ax)x＝b，即a(1＋x)2＝b a(1－x)2＝b 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 11 (1)平移问题 ①如图1，设空白部分的宽均为x，则S阴影＝⑥______________ 面积问题 (a－2x)(b－2x) 图1 图2 ②如图2，设空白部分的宽均为x，则S阴影＝⑦_________________ (a－x)(b－x)  (2)围栏靠墙问题： 这里注意：BC≤a 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 12 (1)常用公式:利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量 (2)“每每型”问题中，单价每涨a元，少卖b件.若单价 涨价y元，则少卖的数量为⑧_________件  利润问题 (“每每型”) ×b 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 13 (1)若x人中每两人之间握手一次(x队每两队之间比赛一 场)，握手总次数为m(总比赛场数为m)，则⑨______＝m  (2)若全班有x人，每人向其他人送一份礼物，共送m份礼物，则x(x－1)＝m 握手(单循环赛)与送礼物问题 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 14 基础自查·巩固素养 02 15 1.一元二次方程的定义:(2024·育才) 下列方程是一元二次方程的是 (　　) A.x2－2x＋3＝0 B.2x＋y＝1 C.y＝x2－1 D.＝1 素养 1 概念型问题 (基础题型，难度系数定位中考和指标到校第1~6、11~14、19~22题，共78分) A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 16 2.一元二次方程的一般形式:(2023·铜梁区) 一元二次方程3x2－5－4x ＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　) A.3，－5，－4 B.3，－4，5 C.3，－4，－5 D.3，－5，4 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.一元二次方程的解:(2024·凉山州) 若关于x的一元二次方程(a＋2)x2 ＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为(　　) A.2 B.－2 C.2或－2 D. A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.直接开平方法:(2024·南开) 解方程: 16(x－1)2＝25. 解:方程变形为(x－1)2＝，x－1＝±. ∴x1＝，x2＝－. 素养 2 计算型问题 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 19 2.配方法:(2023·合川区) 解方程: (x＋1)(x－3)＝－4. 解:整理，得x2－2x＋1＝0. ∴(x－1)2＝0，则x－1＝0或x－1＝0. ∴x1＝x2＝1. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.公式法:(2024·育才) 解方程: 3x2－4x＋2＝0. 解:∵a＝3，b＝－4，c＝2， ∴Δ＝(－4)2－4×3×2＝－8＜0. ∴方程没有实数解. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 4.因式分解法:(2024·实验外语校) 解下列方程: (1)x2－3x＋2＝0; (2)x－1＝2(x－1)2. 解:(1)因式分解，得(x－2)(x－1)＝0， x－2＝0或x－1＝0. ∴x1＝2，x2＝1. (2)方程变形为2(x－1)2－(x－1)＝0. 因式分解，得(x－1)(2x－2－1)＝0， x－1＝0或2x－2－1＝0. ∴x1＝1，x2＝. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.根的判别式:(2024·龙东) 关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0 有两个实数根，则m的取值范围是(　　) A.m≤4 B.m≥4 C.m≥－4且m≠2 D.m≤4且m≠2 素养 3 方法型问题 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 23 2.根与系数的关系:(2024·绥化) 小影与小冬一起写作业，在解一道一 元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两 个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的 两个根是－2和－5.则原来的方程是(　　) A.x2＋6x＋5＝0 B.x2－7x＋10＝0 C.x2－5x＋2＝0 D.x2－6x－10＝0 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.整体代入思想:(2024·凉山州) 已知y2－x＝0，x2－3y2＋x－3＝0，则x的值为__________.  3 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 4.根的判别式的应用:(2024·广州) 关于x的方程x2－2x＋4－m＝0有两个不等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)化简:÷·. 解:(1)根据题意，得Δ＝(－2)2－4(4－m)＞0.解得m＞3. (2)∵m＞3，∴m－3＞0. ∴÷···＝－2. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 综合思考·提升素养 03 27 1.实际问题抽象出一元二次方程:两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲 种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是(　　) A.80(1－x2)＝60 B.80(1－x)2＝60 C.80(1－x)＝60 D.80(1－2x)＝60 素养 4 建模型问题 (综合题型，难度系数定位中考和指标到校第7~9、15~17、24~25题，共44分) B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 28 2.利用配方求最值模型:(2024·十八中开学) 已知a，b满足等式x＝a2－ 6ab＋9b2，y＝4a－12b－4，则x，y的大小关系是(　　) A.x＝y B.x＞y C.x＜y D.x≥y D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 3.含参一元二次方程模型:(2023·铜梁区) 若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的一元二次方程ay2＋2y－1＝0有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之积是__________.  24 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 4.实际应用:(2024·实验外语校) 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2－2bx＋a－c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边的长度. (1)如果△ABC是等边三角形，求这个一元二次方程的根; 解:∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c＞0. ∵(a＋c)x2－2bx＋a－c＝0， ∴2ax2－2ax＋a－a＝0，即x2－x＝0. 解得x1＝0，x2＝1. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)如果△ABC是以c为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由. 解:这个一元二次方程有两个不相等的实数根. 理由:∵△ABC是以c为斜边的直角三角形， ∴a2＋b2＝c2，b≠0.∴a2－c2＝－ ∵(a＋c)x2－2bx＋a－c＝0， ∴Δ＝(－2b)2－4(a＋c)(a－c)＝4b2－4(a2－c2)＝4b2＋4b2＝8b2＞0. ∴这个一元二次方程有两个不相等的实数解. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 1.变化率问题:(2024·大渡口区一诊) 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率; 解:设该品牌头盔销售量的月增长率为x. 依题意，得150(1＋x)2＝216. 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去). 答:该品牌头盔销售量的月增长率为20%. 素养 5 探究型问题 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 33 (2)若该品牌头盔的进价为30元/个，在市场中测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10 000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? 解:设该品牌头盔的实际售价为y元/个. 依题意，得(y－30)[600－10(y－40)]＝10 000. 整理，得y2－130y＋4 000＝0. 解得y1＝80(不合题意，舍去)，y2＝50. 答:该品牌头盔的实际售价应定为50元/个. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 2.循环问题:(2024·铜梁区一模) 一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼 物，共有礼物30件.设x人参加聚会，则可列方程为(　　) A.x(x＋1)＝30 B.x(x－1)＝30 C.x(x＋1)＝30 D.x(x－1)＝30 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 3.传染问题:(2024·实验外语校) 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼 吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现.在“甲流” 初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平 均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”.则关于 x的方程为(　　) A.x＋x(x＋1)＝256 B.x2＋x＝256 C.1＋x＋x(x＋1)＝256 D.(x＋1)＋(x＋1)2＝256 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 4.几何相关:(2024·两江新区) 新高考采用“3＋1＋2”的模式，对生物学科提出了更高的要求.某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组.在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21. (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支? 解:设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支. 根据题意，得1＋x＋x2＝21. 整理，得x2＋x－20＝0. 解得x1＝4，x2＝－5(不合题意，舍去). 答:这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为10米)，其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门(门无需栅栏，如图所示).设种植田的宽AB为m米.若该种植田的面积为36平方米(栅栏的占地面积忽略不计)，求该种植田的宽AB. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 解:∵栅栏的总长为22米，且种植田的宽AB为m米， ∴种植田的长AD为(22＋1×2－3m)米. 根据题意，得(22＋1×2－3m)·m＝36. 整理，得m2－8m＋12＝0. 解得m1＝2，m2＝6. 当m＝2时，22＋1×2－3m＝22＋1×2－3×2＝18＞10，不合题意; 当m＝6时，22＋1×2－3m＝22＋1×2－3×6＝6＜10，符合题意. 答:该种植田的宽AB为6米. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 5.销售问题:某直播带货平台所推销鳕鱼的成本为每袋50元，当售价为每袋90元时，每分钟可销售100袋.为了吸引更多顾客，该直播平台采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元，则每分钟可多销售10袋. (1)每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为150袋? 解:设每袋鳕鱼的售价为x元时，每分钟的销量为150袋.根据题意，得 10(90－x)＋100＝150.解得x＝85. 答:每袋鳕鱼的售价为85元时，每分钟的销量为150袋. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)该直播平台决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到5 500元，且要最大限度让利消费者，则此时每袋鳕鱼的售价为多少元? 解:设每袋鳕鱼的售价为y元.根据题意，得 (y－50)[100＋10(90－y)]－500＝5 500. 解得y1＝70，y2＝80. ∵让消费者获得最大的利益，∴y＝70. 答:此时每袋鳕鱼的售价为70元. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 创新实践·展示素养 04 42 1.方程的推理:(2024·育才) 已知多项式M＝3x2－8x－3，多项式N＝x2－ax＋1. ①当M＝0时，代数式的值为3 036; ②当a＝0时，关于x的方程M×N＝0有两个实数根; ③当a＝2时，若|3N－M－2|＋|3N－M－8|≥15，则x的取值范围是x≥7或x≤－8; 素养 6 创新型问题 (创新题型，难度系数定位中考和指标到校第10、18、23、26题，共28分) 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 43 ④当a＝－2时，函数y＝|N－2 025|与直线y＝k(k为常数)至少有3个交点，则k的取值范围是0＜k≤2 024. 以上说法中正确的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 2.方程与数列:(2024·凉山州) 阅读下面材料，并解决相关问题: 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第 一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10. (1)探索:三角点阵中前8行的点数之和为__________，前15行的点数之 和为__________，那么，前n行的点数之和为__________;  (2)体验:三角点阵中前n行的点数之和__________(填“能”或“不能”)为500;  36 120   不能 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 (3)运用:某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排? 解:由题意知，前n排盆景的总数可表示为n(n＋1). 令n(n＋1)＝420，解得n1＝－21，n2＝20. ∵n为正整数，∴n＝20， 即一共能摆放20排. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 3.方程与数论:(2024·南充) 已知x1，x2是关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围. 解:∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1)＝4k2－4k2＋4k－4＝4k－4＞0. 解得k＞1. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 (2)若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值. 解:由(1)可得1＜k＜5. ∴整数k的值可以为2，3，4. 当k＝2时，方程为 x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3; 当k＝3或4时，此时方程的解不为整数. 综上所述，k的值为2. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 请完成《精练本》P11~12素养练测6 本讲内容结束 $$