第2单元 第5讲 一次方程(组)及其应用(课件PPT)-【学本课堂】2025年中考数学讲义（重庆专用）

第5讲　一次方程(组)及其应用 第二单元　方程与不等式 2025重庆数学 《学本课堂》 2 3 1 2 3 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 3 4 创新实践·展示素养 目 录 2 回归教材·依标扣本 01 3 性质1：若a＝b，则a±c＝①________，关联方程对应步骤：移项  性质2：若a＝b，则ac＝②________，关联方程对应步骤：去分母； 若a＝b(c≠0)，则＝③_____，关联方程对应步骤：系数化为1  课标要求 1 掌握等式的基本性质 等式的基本性质 b±c bc 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 4 能根据现实情境理解方程的意义；理解方程解的意义；能解一元一次方程 课标要求 2 一元一次方程及其解法 方程的解：能使方程左、右两边的值相等的未知数的值 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 ④________的整式方程  一般形式：ax＋b＝0(a≠0) 解法步骤与注意事项 1 [注意：未知数不能出现在分母的位置] 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 5 解法步骤与注意事项 步骤 例：2－(x＋1)＝2x 注意事项 去分母 ⑤__________________ 不要漏乘不含分母的项 去括号 ⑥__________________ 括号前是“－”号时，去括号后括号内各项均要变号 移项 －2x－6x＝2－6 移项要变号 合并同类项 －8x＝－4 合并同类项时，系数相加， 字母及其指数均不变 系数化为1 x＝ 分子、分母不要颠倒 6－2(x＋1)＝6x  6－2x－2＝6x  首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 掌握消元法，能解二元一次方程组，*能解简单的三元一次方程组 课标要求 3 二元一次方程(组)及其解法 相关概念 解法 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 7 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ⑦________的方程  二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的 次数都是⑧________， 并且一共有两个方程 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的⑨___________的值  二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的⑩________ 相关概念 1 1 两个未知数 公共解  首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 代入消元法：将一个方程用一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程 加减消元法：将两个方程中某个未知数的系数化成相等或互为相反数，再加减 解法 三元一次方程组(*选学)二元一次方程组一元一次方程 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 能针对具体问题列出方程;能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 课标要求 4 一次方 程(组) 的实际 应用 步骤:(1)审题;(2)设未知数(直接设，间接设);(3)找等量关系(一般几个未知数就有几个等量关系);(4)列方程(组);(5)解方程组(组);(6)验证;(7)答 类型 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 10 类 型 常考类型 关系式 购买问题 总价＝单价×数量 甲单价×甲数量＋乙单价×乙数量＝总价 甲数量＋乙数量＝总数量 打折销售 问题 售价＝标价×折扣(如打八折即“标价×0.8”) 销售额＝售价×销量 利润＝售价－进价 利润率＝×100% 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 类 型 常考类型 关系式 工程问题 工作总量＝工作效率×工作时间 甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率 行程问题 基本量间的关系:路程＝速度×时间 相遇问题(相向而行):全路程＝速度和×相遇所用的时间 追及问题: (1)同地不同时出发:前者走的路程＝追者走的路程 (2)同时不同地出发:前者走的路程＋两者间距离＝追者走的路程 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 12 基础自查·巩固素养 02 13 1.方程的定义:下列不是方程的是(　　) A.a＋a＝2a B.2x＋3 C.2x＋1＝5 D.2(x＋1)＝2x＋2 素养 1 概念型问题 (基础题型，难度系数定位中考和指标到校第1~6、11~14、19~22题，共78分) B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 14 2.方程的解:(2024·万州区) 已知2是关于x的方程(1－2ax)＝2x＋1的 解，则a的值为(　　) A. B.－ C.1 D.－1 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.等式的基本性质:(2024·西附三模) 下列运用等式的性质变形错误的 是(　　) A.若a2＝2a，则a＝2 B.若x＝y，则xc＝yc C.若x＝y，则 D.若x＝y，则5－x＝5－y A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 4.一元一次方程的定义:(2024·黔江区) 下列方程中，是一元一次方程 的是(　　) A.x＝0 B.＝2 C.x＋2y＝3 D.x2－2x＝0 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 5.一元一次方程的解:(2024·南开) 方程2x－4＝0的解是(　　) A.x＝2 B.x＝－2 C.x＝ D.x＝－ A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 6.二元一次方程的定义:(2024·巴蜀) 若关于x，y的方程xm－1－2y3＋n＝ 5是二元一次方程，则m＋n＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 7.二元一次方程的解:(2024·实验中学) 已知关于x，y的二元一次方程 2x－ky＝9有一组解为则k＝(　　) A.－3 B.3 C. D.－ A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 8.二元一次方程组的定义:(2023·西附) 下列方程组是二元一次方程组 的是(　　) A. B. C. D. B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 9.二元一次方程组的解:已知关于x，y的二元一次方程组的解为且则(m＋n)2 024的值为 (　　) A.1 B.－1 C.0 D.2 024 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.解一元一次方程:(2024·实验外语校自主招生) 解下列方程: (1)1÷(x－0.45)＝5; 素养 2 计算型问题 解:方程化为÷(x－0.45)＝， x－0.45＝×，x－0.45＝0.3， ∴x＝0.75. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 23 (2)＝1＋. 解:方程化为 0.3(0.5x－0.4)＝0.4(0.2x＋0.4). 0.15x－0.12＝0.08x＋0.16，0.07x＝0.28， ∴x＝4. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 2.解二元一次方程组:(2024·丰都县) 解下列方程组: (1) 解: ①－②，得2y＝4.解得y＝2. 把y＝2代入①，得2x＋3×2＝8.解得x＝1. ∴这个方程组的解是 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 (2) 解:整理，得 ①－②，得－2y＝6.解得y＝－3. 把y＝－3代入②，得 2x＋3＝3.解得x＝0. ∴这个方程组的解是 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.解三元一次方程组:(2024·梁平区) 解三元一次方程组 如果消掉未知数z，则应对方程组变形为(　　) A.①＋③，①×2－② B.①＋③，③×2＋② C.②－①，②－③ D.①－②，①×2－③ C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.含绝对值的一元一次方程:(2024·黔江区) 方程|x－3|＝1的解为 __________.  素养 3 方法型问题 4或2 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 28 2.同解方程:(2024·南开) 若关于x的方程2x－4＝－24和x＋2＝m有相同 的解，则m的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.10 B.－8 C.－10 D.8 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.同解方程组:(2024·合川区) 已知关于x，y的方程组与 有相同的解，则ab的值为(　　) A.－4 B.－2 C.0 D.2 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 综合思考·提升素养 03 31 1.由实际问题抽象出一元一次方程: (2024·巴蜀三模) 某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌 面正好配套.已知该工厂车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10 天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排x天生产桌腿，可列方程(　　) A.4×720x＝120(10－x) B.720x＝120(10－x) C.＝120x D.＝120(10－x) 素养 4 建模型问题 (综合题型，难度系数定位中考和指标到校第7~9、15~17、24~25题，共44分) D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 32 2.由实际问题抽象出二元一次方程:数学文化(2024·育才) 《九章算术》 中曾记载:“今有牛五羊二，直金十两;牛二羊五，直金八两.问牛、羊 各直金几何?”译文:“假设有5头牛，2只羊，值金10两;2头牛、5只羊， 值金8两.问:每头牛、每只羊各值金多少两?若设每头牛值金x两，每只 羊值金y两，则可列方程组为(　　) A. B. C. D. A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 3.看错模型:(2024·潼南区) 解关于x，y的二元一次方程组 时，一学生把c看错而得到而正确的解是 则a，b，c的值分别是(　　) A.a＝2，b＝3，c＝－2 B.a＝－2，b＝－5，c＝－10 C.a，b不能确定，c＝－2 D.a，b不能确定，c＝－10 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 4.特殊解模型:(2024·万州区) 使得关于x的不等式组 有解，且使得关于y的方程1＋(m－y)＝2(y－2)有非 负整数解的所有的整数m的和是__________.  －6 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 1.工程问题:“众志成城，共克时艰”，某市筹集了大量的救援物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往医院和塌方灾害事故现场，具体运输情况如下表: 素养 5 探究型问题   第一批 第二批 甲型货车的数量(单位:辆) 3 4 乙型货车的数量(单位:辆) 4 5 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 36 已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输救援物资47吨，第二批累计运输救援物资60吨. (1)求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨救援物资; 解:设甲型货车每辆满载能运x吨救援物资，乙型货车每辆满载能运y吨救援物资. 依题意，得解得 答:甲型货车每辆满载能运5吨救援物资，乙型货车每辆满载能运8吨救援物资. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)该市后续又筹集了150吨救援物资，计划同时使用两种货车一次性运完(每辆货车都满载)，已知甲型货车每辆运输成本500元/次，乙型货车每辆运输成本700元/次，请问共有哪几种运输方案? 解:设应安排m辆甲型货车，n辆乙型货车.依题意，得5m＋8n＝150.∴m＝30－. ∵m，n均为正整数，∴或或 ∴共有3种运输方案，即 方案1:安排22辆甲型货车，5辆乙型货车; 方案2:安排14辆甲型货车，10辆乙型货车; 方案3:安排6辆甲型货车，15辆乙型货车. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (3)在(2)的运输方案中哪种成本最低?最低成本为多少元? 解:选择方案1所需费用:500×22＋700×5＝14 500(元); 选择方案2所需费用:500×14＋700×10＝14 000(元); 选择方案3所需费用:500×6＋700×15＝13 500(元). ∵14 500＞14 000＞13 500， ∴安排6辆甲型货车，15辆乙型货车，运输成本最低，最低成本为 13 500元. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 2.行程问题:(2024·南开) 一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时. (1)求水流速度和A，B两地之间的航程; 解:设水流速度为x千米/时，A，B两地之间的航程为y千米，则轮船在顺水中的速度为(x＋25)千米/时，在逆水中的速度为(25－x)千米/时.根据题意，得解得 答:水流速度为5千米/时，A，B两地之间的航程为120千米. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行到C码头所用时间的一半，问A，C两地相距多少千米? 解:设A，C两地相距m千米.根据题意，得 ×.解得m＝. 答:A，C两地相距千米. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 3.销售问题:(2024·万州区) “五月枇杷黄似橘，谁思荔枝同此时”，5月是枇杷成熟的季节，万州区熊家镇的枇杷成熟了，该镇种植了“麻子”枇杷和“贵妃”枇杷，“麻子”枇杷果肉橙黄色，汁多味浓;“贵妃”枇杷更是枇杷中的贵族，果肉黄白，浓甜回甘.某水果店老板到该镇采购这两种枇杷进行售卖. (1)若第一次用4 200元采购这两种枇杷共300千克，已知“麻子”枇杷每千克进价为8元，“贵妃”枇杷每千克进价为18元，则采购这两种枇杷各多少千克? 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 解:)设采购“麻子”枇杷x千克，采购“贵妃”枇杷y千克.根据题意，得 解得 答:采购“麻子”枇杷120千克，采购“贵妃”枇杷180千克. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)由于两种枇杷都深受万州人民喜爱，很快采购的枇杷销售一空，于是该水果店老板决定第二次采购这两种枇杷，但随着枇杷的大量上市，“麻子”枇杷和“贵妃”枇杷的进价大幅下降，结果“贵妃”枇杷每千克进价是“麻子”枇杷的2.5倍，“麻子”枇杷的采购额为1 200元，“贵妃”枇杷的采购额为1 500元，“麻子”枇杷比“贵妃”枇杷多采购100千克，则“贵妃”枇杷每千克进价是多少元? 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 解:设“麻子”枇杷每千克进价是m元，则“贵妃”枇杷每千克进价是2.5m元.根据题意，得 ＝100.解得m＝6. 经检验，m＝6是所列方程的解，且符合题意. ∴2.5m＝2.5×6＝15. 答:“贵妃”枇杷每千克进价是15元. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 创新实践·展示素养 04 46 1.代数推理:(2024·一中、南开开学) 在平面直角坐标系中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义: (1)A，B两点的水平距离 l(A，B)＝|x1－x2|; (2)A，B两点的垂直距离 h(A，B)＝|y1－y2|; (3)A，B两点的绝对距离 d(A，B)＝l(A，B)＋h(A，B). 素养 6 创新型问题 (创新题型，难度系数定位中考和指标到校第10、18、23、26题，共28分) 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 47 则下列说法正确的个数是(　　) ①若A(3，－4)，B(－5，2)，则l(A，B)＝8，h(A，B)＝6; ②若A(a，2)，B(b，6)，d(A，B)＝6，a＋b＝4，则a＝1或3; ③若A(a，5)，B(3，b)，P(a，b)，a，b均为整数，当代数式||取得最大值时，且|c－3|＋d(A，B)＝7时，则所有符合条件的点P共有26个. A.0 B.1 C.2 D.3 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 2.数论推理:(2023·綦江区) 俗话说:“好事成双”;“双”在中国传统文化 里有吉利、繁荣和团聚的意义;被认为是幸福和好运的象征.规定:一个各个 数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之 和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双 数”，对于“逢双数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数， 这四个三位数的和记为F(m)，则F(5 211)＝_________;若“逢双数”m千 位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足 条件的“逢双数”中的最大数与最小数的差为__________.  1 764 4 905 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 3.不定方程的应用:(2023·一中开学) 传统文化中，橙子和柿子都是带有美好寓意的水果.今年春节，津南果品店就推出了由奉节脐橙和城口磨盘柿组成的甲、乙、丙、丁四种礼盒，其中甲礼盒有1千克脐橙，乙礼盒有1千克磨盘柿，丙礼盒有2千克脐橙和1千克磨盘柿，丁礼盒有1千克脐橙和2千克磨盘柿.每种礼盒的售价为所含果品的售价之和，两种果品每千克的售价均为整数(磨盘柿比脐橙贵)，且每千克的售价之和介于30元与40元之间.第一天试销，甲、乙、丙、丁四种礼盒的销售数量之比为4∶3∶5∶5.第二天果品店将甲礼盒改为2千克脐橙，乙礼盒改为 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 2千克磨盘柿，丙礼盒改为9千克脐橙和6千克磨盘柿，丁礼盒改为6千克脐橙和8千克磨盘柿.当天甲、丙、丁这三种含有脐橙的礼盒销售数量之比为1∶2∶3，且这三种礼盒的销售总额比第一天四种礼盒的销售总额少6 410元.而乙礼盒销售数量则为第一天的80%，从果品种类统计发现，这两天通过礼盒方式售出的脐橙与磨盘柿数量相差在65千克到75 千克之间，则这两天甲礼盒的总销售额为__________.  85元 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 请完成《精练本》P9~10素养练测5 本讲内容结束 $$