第1单元 第2讲 代数式及整式运算与因式分解(课件PPT)-【学本课堂】2025年中考数学讲义（重庆专用）

第2讲　 代数式及整式运算与因式分解 第一单元　数与式 2025重庆数学 《学本课堂》 2 3 1 2 3 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 3 4 创新实践·展示素养 目 录 2 回归教材·依标扣本 01 3 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；会把具体数代入代数式进行计算；理解整式的概念 课标要求 1 代数式及求值 代数式与整式 整式的相关概念 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 4 代数式:用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式 代数式及求值 代数式求值 (1)直接代入：把已知字母的值代入代数式，并计算求值 (2)整体代入(可消元降次)：当单个字母的值不能或不易求出时，可把已知条件作为一个整体，代入所求代数式中，用这种方法时要先对已知条件或所求代数式进行变形，如找倍数关系、因式分解、移项等 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 定义：数与①________的积叫单项式  注意 单独一个数或一个②______也是单项式，如－a，0都是单项式.  次数：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数 整式的相关概念 单项式 字母 字母 定义：几个单项式的和叫多项式　 项：多项式中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项 次数：多项式中次数最高项的次数叫这个多项式的次数，如a＋ 2ab2＋ 25是③________次  多项式 对于单独的一个非零的数，规定它的次数为0. 3 整式：单项式和多项式统称为整式　 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.几个常数项也是同类项 [“两个无关”：与系数无关，与字母的顺序无关] 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算;理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理 课标要求 2 整式的运算 加减 幂的运算 乘法 除法 公式 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 7 加减：实质是合并同类项，即把同类项的系数相加减，所得结果为新的系数，字母和字母指数不变.去(添)括号：a＋(b＋c)＝a＋b＋c，a－(b＋c)＝a－b－c　 [口诀：“－”都变，“＋”不变] 幂的运算 同底数幂的乘法：am·an＝④_______，底数不变，指数⑤_______ 同底数幂的除法：am÷an＝⑥________，底数不变，指数⑦_______ 幂的乘方：(am)n＝⑧________，底数不变，指数⑨_______ 积的乘方：(3ab)n＝⑩________，括号内每一个因式分别乘方，切记不要忘记给系数乘方  am＋n 相加 am－n 相减 amn 相乘 3nanbn 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 单×单:把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式的字母连同它的指数作为积的一个因式 单×多:用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 多×多:(a＋b)(m＋n)＝⑪_________________ 乘法 am＋an＋bm＋bn 单÷单:把系数与同底数幂分别相除作为商的因式;对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 多÷单:(am＋bm)÷m＝⑫_______ 除法 a＋b 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑬________　  　　 　　　 (如图1) 完全平方公式：(a±b)2＝⑭_____________　  　　　 　　　 (如图2、图3) 图形表示： 公式 a2－b2 [口诀：两数和、两数差，同方异方来作差] a2±2ab＋b2 [口诀：首平方，尾平方，2倍乘积放中央，符号看前方，同号得正，异号得负] 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解 课标要求 3 因式分解 方法 【易错提醒】 定义：把一个多项式化成几个⑮__________的形式，这种变形叫因式分解，与整式乘法互为逆运算  口诀：一提(公因式)，二数(数项数)，三用(用公式)，四分组 整式的积 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 11 方法 提公因式法 公因式 的确定 系数：取各项系数的最大公因数 字母：取各项相同字母的最低次幂 ma＋mb＋mc＝⑯___________ [注意：若多项式第一项的符号是“－”，则公因式的符号一般为负] 公式法 平方差公式：a2－b2＝⑰ ___________ 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝⑱__________　　  可能含有多项式 十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝⑲____________ (如图)  分组分解法：四项可以二、二分组，也可以三、一分组　 m(a＋b＋c) (a＋b)(a－b) (a±b)2 (x＋a)(x＋b) 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 【易错提醒】因式分解常见的错误: (1)分解不彻底，如分解因式x4－1＝(x2＋1)(x2－1)，其中⑳________还可以继续分解因式.  (2)结果为部分整式的积，如分解因式x2－2＝x2－1－1＝(x＋1)(x－1)－1. (3)结果不是整式的积，如分解因式x2－1＝x，其中x－是分式. (4)分解后漏掉±1的项，如分解因式xy－x2y＋y＝y(x－x2). x2－1 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 课标要求1 课标要求2 课标要求3 基础自查·巩固素养 02 14 1.代数式:(2024·育才) 下列式子，符合代数式书写格式的是(　　) A. B.2b C.m×7 D.x＋y人 素养 1 概念型问题 (基础题型，难度系数定位中考和指标到校第1~6、11~14、19~22题，共78分) A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 15 2.列代数式:用代数式表示“a的3倍与b的一半之和”，正确的是(　　) A. B.3 C.3a＋ D.a3＋ C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.代数式的值:(2024·西附三模) 已知2x－y＝3，则4x－2y－3的值为 __________.  3 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 4.同类项:(2024·巴蜀开学) 若x2my3与－5x4yn是同类项，则m＋n的值为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.5 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 5.合并同类项:(2024·南开开学) 下列单项式中，与5xy2的和为单项式的 是(　　) A.xy B.－xy C.5x2y2 D.－2xy2 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 6.去括号与添括号:下列去括号(或添括号)变形正确的是(　　) A.a－(b＋c)＝a－b＋c B.a＋2(b＋c)＝a＋2b＋c C.a＋ab－b＝a＋(ab＋b) D.a－3b＋3c＝a－3(b－c) D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 7.单项式:(2024·西附三模) 单项式－3πx3的次数是(　　) A.－3π B.－3 C.3 D.4 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 8.多项式:(2024·南岸区) 要使－ax(2x3＋x2－x＋1)＋2x4中不含有x的四 次项，则a等于(　　) A.1 B.2 C.－1 D.－2 A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 9.整式:(2024·育才开学) 下列各式中，不是整式的是(　　) A.0 B. C.x－2y D.xy B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.整式加减:(2024·渝北区) 下面的计算正确的是(　　) A.5a2－4a2＝1 B.3a＋4b＝7ab C.2(a＋b)＝2a＋b D.－(a＋b)＝－a－b 素养 2 计算型问题 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 24 2.同底数幂相乘:(2024·南开) 若xm·x2m＝2，则x9m＝(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.幂的乘方:(2024·南岸区) 计算(a3)2的结果是(　　) A.3a2 B.2a3 C.a5 D.a6 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 4.积的乘方:(2024·一中) 下列运算中正确的是(　　) A.x2·x5＝x10 B.(－x2)4＝－x8 C.(－xy2)2＝xy4 D.x5÷x3＝x2 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 5.同底数幂的除法:(2024·潼南区一模) 下列运算中，正确的是(　　) A.(a2)3＝a8 B.(－3a)2＝6a2 C.a2·a3＝a5 D.a9÷a3＝a3 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 6.整式的乘法与除法:(2024·两江新区) 下列计算错误的是(　　) A.－a8b5÷＝－8a6b3 B.3m(2m2－5mn)＝6m3－15m2n C.×3x2y＝9x4y＋6x3y2－x2y2 D.(b＋a)(b－a)＝a2－b2 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 7.完全平方公式:(2024·江北区) 下列变形错误的是(　　) A.(－a＋b)2＝(b－a)2 B.(－a＋b)2＝(a－b)2 C.(－a－b)2＝(a－b)2 D.(－a－b)2＝(a＋b)2 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 8.平方差公式:(2024·江北区) 若(x＋3)(x－3)＝x2－k成立，则k的值为 (　　) A.3 B.6 C.9 D.－9 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 9.整式混合运算:(2024·八中) 计算: (1)(x＋6)2(x－6)2＋4x－2; 解:原式＝[(x＋6)(x－6)]2＋4x－2 ＝(x2－36)2＋4x－2 ＝x4－72x2＋1 296＋4x－2. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 (2)3y＋4|－1|－y2＋4y; (3)3mn＋4m2－12mn－5n2m＋5n2. 解: (2)原式＝3y＋4(－1)－y2＋8y ＝3y＋4－4－y2＋8y ＝11y＋4－4－y2. (3)原式＝4m2－9mn－5n2m＋5n2. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 10.因式分解:(2024·大渡口区) 下列从左到右的运算是因式分解的是 (　　) A.2x2－2x－1＝2x(x－1)－1 B.4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2 C.(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D.x2＋y2＝(x＋y)2－2xy B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 1.完全平方公式的几何背景:(2024·江北区) 如图，将四张全等的长方 形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观 地得到一个关于a，b的恒等式为(　　) A.a2－b2＝(a＋b)(a－b) B.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C.(a－b)2＝(a＋b)2－4ab D.a2＋ab＝a(a＋b) 素养 3 方法型问题 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 35 2.平方差公式的几何背景:(2024·大渡口区) 如图，从边长为a的正方形 中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形， 上述操作能验证的等式是(　　) A.(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D.a2＋ab＝a(a＋b) A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 3.利用公式计算:(2024·实验外语校自主招生) 计算:＋ 2 019. 解:原式＝＋2 019 ＝＋2 019 ＝＋2 019 ＝2 020. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养1 素养2 素养3 综合思考·提升素养 03 38 1.化简求值模型:(2024·吉林) 先化简，再求值:(a＋1)(a－1)＋a2＋1，其中a＝. 解:原式＝a2－1＋a2＋1＝2a2. 当a＝时，原式＝2×()2＝6. 素养 4 建模型问题 (综合题型，难度系数定位中考和指标到校第7~9、15~17、24~25题，共44分) 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 39 2.流程图模型:(2024·一中) 如图是一个运算程序的示意图，如果第一 次输入x的值为1 024;那么第2 024次输出的结果为(　　) A.64 B.16 C.4 D.1 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 3.因式分解的应用模型:(2024·南岸区) 我们可以利用几何图形来论证代数结论，请完成以下各题. (1)观察下列图形，找出可以用几何图形来推出 的代数公式(下面各图形均满足推导各公式的条 件，只需填写对应公式的代号): A.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B.(a＋b＋c)d＝ad＋bd＋cd C.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D.(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 图1对应公式__________，图2对应公式 __________， 图3对应公式 __________，图4对应公式 __________;  B D C A 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 (2)如图5，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中 空白部分是一个长方形.记△ABC与△CDE的面积之和为S1， △AHF与△DGF的面积之和为S2. ①当D是边EF的中点时，则的值为________;    首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 解: [由题意可得△ABC，△AHF，△DGF，△CDE都是等腰直角三角形. ∵D是边EF的中点，∴DF＝DE. ∴矩形DGHC 是正方形. 设DG＝DC＝GH＝HC＝a，则CE＝GF＝a，FH＝AH＝2a， AC＝BC＝3a. ∴S1＝S△ABC＋S△CDE＝×3a×3a＋×a×a＝5a2，S2＝S△AHF＋S△DGF ＝×2a×2a＋×a×a＝a2.∴.] 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 ②当D不是边EF的中点时，①中的结论是否仍成立?若成立，写出说理过程;若不成立，请说明理由. 解:结论仍成立. 理由:由题意可得△ABC，△AHF，△DGF，△CDE都是等 腰直角三角形. ∴四边形DGHC是矩形. 设矩形DGHC的边DG为a，边CD为b. ∴GF＝GD＝CH＝a，CE＝CD＝GH＝b，HA＝HF＝a＋b，CA＝CB＝2a＋b. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 ∴S1＝(2a＋b)2＋b2＝(4a2＋4ab＋b2＋b2)＝2a2＋2ab＋b2， S2＝(a＋b)2＋a2＝(a2＋2ab＋b2＋a2)＝(2a2＋2ab＋b2). ∴. 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 1.数列规律探究:(2024·云南) 按一定规律排列的代数式:2x，3x2，4x3， 5x4，6x5，…，第n个代数式是(　　) A.2xn B.(n－1)xn C.n D.(n＋1)xn 素养 5 探究型问题 D 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 46 2.数字规律探究:(2024·实验外语校开学) 如图，下列各正方形中四个 数之间均具有相同的规律，根据此规律，第n个正方形中的d＝－1 278， 则n的值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.11 C 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 3.图形规律探究:(2024·牡丹江) 如图是由一些同样大小的三角形按照 一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形， 第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形 的个数是(　　) A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养4 素养5 创新实践·展示素养 04 49 1.代数推理:(2024·开州区) 已知有序整式串:m－n，m，对其进行如下操作: 第1次操作:用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串:－n，m－n，m; 第2次操作:用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串:－m，－n，m－n，m;依次进行操作. 素养 6 创新型问题 (创新题型，难度系数定位中考和指标到校第10、18、23、26题，共28分) 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 50 下列说法中正确的有(　　) ①第3次操作后得到的整式串为－m＋n，－m，－n，m－n，m; ②第11次操作得到的新整式与第22次得到的新整式相等; ③第2 022次操作后得到的整式串各项之和为m－2n. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 B 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 2.数论理解:(2024·西附) 对于一个四位自然数M，其各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足个位数字与百位数字之差等于千位数字与十位数字之差的两倍，则称它为“附中数”，并规定F(M)等于M的前两位数字所组成的数与后两位数字所组成的数之差.例如:四位数8 274，满足:4－2＝2×(8－7)，则8 274是一个“附中数”，F(8 274)＝82－74＝8.记“附中数”M＝(1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d均为整数)，若F(M)为完全平方数，则a＋b－c－d＝__________;同时，令G(M)＝c2－d2＋a－b－6，若为整 数，则满足条件的M的最大值与最小值之差为__________.  －2 4 040 首页 目录 回归教材·依标扣本 基础自查·巩固素养 综合思考·提升素养 创新实践·展示素养 素养6 请完成《精练本》P3~4素养练测2 本讲内容结束 $$