7.4 事件的独立性课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第七章 概率 §4 事件的独立性 1 1.理解两个随机事件独立性的含义.（数学抽象） 2.能进行一些与事件相互独立有关的概率计算.（数学运算） 学习目标 2 我们知道，积事件就是事件与事件同时发生.因此，积事件 发生的概率一 定与事件， 发生的概率有关. 自主预习 3 阅读教材，回答下列问题: 1.上述这种关系会是怎样的呢？ [答案] 当事件与是否发生互不影响时，积事件的概率恰好等于 与 的乘积. 2.请说出相互独立事件的定义． [答案] 事件（或）是否发生对事件（或 ）发生的概率没有影响，这样的两个事 件叫作相互独立事件． 3.相互独立事件有哪些性质？ [答案] 当事件，相互独立时，事件与事件相互独立，事件与事件 相互独立， 事件与事件 相互独立. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 不可能事件与任何一个事件相互独立.( ) √ （2） 必然事件与任何一个事件相互独立.( ) √ （3） 若两个事件互斥，则这两个事件相互独立.( ) × 2.若随机事件，满足，，，则事件与 的关系是 ( ) . B A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.互斥且独立 [解析] 因为，，，所以 ，所以事 件A与B相互独立，不互斥也不对立，故选B. 自主预习 5 3.甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则 取到相同颜色的球的概率是__. [解析] 由题意知，取到相同颜色的球的概率是 . 自主预习 6 4.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问 题需要点击回答.假设某期学习中，小华同学答对第一、二个问题的概率分别为， ， 且两题是否答对相互之间没有影响. （1）求恰好答对一个问题的概率； （2）求至少答对一个问题的概率. [解析] （1）恰好答对一个问题的概率为 . （2）至少答对一个问题的概率为 . 自主预习 7 探究 相互独立事件 小明的妈妈去超市购物，获得三张奖券，若只有一张能中奖，现分别由小明三兄 妹抽取，事件为“第一人没有抽到中奖奖券”，事件 为“最后一人抽到中奖奖券”. 问题1: 若不放回地抽取，事件的发生会影响事件 发生的概率吗？ [答案] 抽后不放回，若事件发生，则事件发生的概率为，若事件 没发生，即第 一人中奖了，则事件发生的概率为0，所以事件的发生会影响事件 发生的概率. 合作探究 8 问题2: 若不论是否抽到中奖奖券,抽取后都放回，事件的发生会影响事件 发生的概率吗？ [答案] 有放回地抽取奖券时，最后一人也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一人 抽的结果对最后一人的抽奖结果没有影响，即事件的发生不会影响事件 发生的概率. 问题3: 怎么判断两个事件相互独立？ [答案] 若满足，则可判断事件， 相互独立． 合作探究 9 事件相互独立的定义和性质 （1）定义：事件（或）是否发生对事件（或 ）发生的概率没有影响，这样 的两个事件叫作相互独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发 生的概率的积，即 ． （2）性质：如果与相互独立，那么与，与，与 也都相互独立. 特别提醒：（1）必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立. （2）事件，相互独立的充要条件是 . 合作探究 10 一、相互独立事件的判断 例1 判断下列各对事件是否相互独立. （1）甲组有3名男生、2名女生，乙组有2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1 名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； （2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，事件“从8个球中任意取出1个，取出的 是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”. （1）利用独立性概念的直观解释进行判断.（2）计算事件“从8个球中任取 一球是白球”与事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断. 合作探究 11 [解析] （1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生” 这一事件是否发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件. （2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 ，若这一事件发生了，则“从 剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率为 ；若前一事件没有发生，则 后一事件发生的概率为 .可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响， 所以二者不是相互独立事件. 合作探究 12 方法总结 判断两个事件是否相互独立的两种方法:（1）根据问题的实质，直观上看一事件 的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立 事件.（2）定义法,通过式子 来判断两个事件是否独立，若上式成立， 则事件， 相互独立，这是定量判断. 合作探究 13 二、相互独立事件概率的计算 例2 甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和 ，求: （1）两人都译出密码的概率； （2）两人都译不出密码的概率； （3）恰有一人译出密码的概率. 首先判断事件是否相互独立，然后利用相互独立事件的性质，互斥事件、对 立事件的概率公式计算. 合作探究 14 [解析] 记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，与 为相互 独立事件，且， . （1）两人都译出密码的概率为 . （2）两人都译不出密码的概率为 . 合作探究 15 （3）恰有一人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且 两个事件为互斥事件， 所以恰有一人译出密码的概率为 . 合作探究 16 方法总结 （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积. （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件， 即各个事件是相互独立的，而且它们可以同时发生. 合作探究 17 巩固训练1 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件为“第一枚硬币正面向上”，事件 为 “第二枚硬币反面向上”，下列结论正确的是( ) . A A.与为相互独立事件 B.与 互为对立事件 C.与为互斥事件 D. [解析] 由相互独立事件的定义知，与为相互独立事件，A正确； 因为事件与可以同时发生，所以与不是互斥事件，也不是对立事件，B，C错误； ，D错误.故选A. 合作探究 18 巩固训练2 为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准：滑雪 时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分 按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开 的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为， ；两人滑雪时间 都不会超过3小时.求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率. [解析] 若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元， 两人都付0元的概率 ， 两人都付40元的概率 ， 两人都付80元的概率 ， 所以两人所付费用相同的概率 . 合作探究 19 1.袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，用 表 示“第二次摸得白球”，则与 是( ) . D A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件 [解析] 事件的结果对事件发生的概率有影响.根据互斥事件、对立事件和相互独立 事件的定义可知，与不是相互独立事件. 随堂检测 20 2.甲、乙两人独立解答一道趣味题，已知他们答对的概率分别为， ，则恰有一人答 对的概率为( ) . B A. B. C. D. [解析] 由题意知,甲、乙两人答题是相互独立事件，记“甲答对”为事件A，“乙答对”为 事件B，“恰有一人答对”为事件C， 则， ， 所以 . 随堂检测 21 3.（多选题）将一枚质地均匀的骰子随机投掷两次，记录每次正面朝上的数字，事件 甲表示“第一次掷出的数字是1”，事件乙表示“第二次掷出的数字是2”，事件丙表示“两 次掷出的数字之和是8”，事件丁表示“两次掷出的数字之和是7”.则( ) . AB A.事件甲与事件丙是互斥事件 B.事件甲与事件丁是相互独立事件 C.事件乙与事件丙相互独立 D.事件丙与事件丁互为对立事件 随堂检测 22 [解析] 由题意，事件甲：第一次掷出的数字是1，样本点有，， ， ，， . 事件乙：第二次掷出的数字是2，样本点有，，，，， . 事件丙：两点数之和为8的所有样本点为，，，， . 事件丁：两点数之和为7的所有样本点为，，，，， . 所以（甲），（乙），（丙），（丁） . 对于A，事件甲与事件丙不能同时发生，所以事件甲与事件丙是互斥事件，所以A正确； 对于B，由（甲丁），（甲）（丁），所以（甲丁） （甲） （丁），所以事件甲与事件丁是相互独立事件，所以B正确； 对于C，（乙丙）（乙） （丙），所以C错误； 对于D，根据对立事件的定义，可得事件丙与事件丁不对立，所以D错误．故选 ． 随堂检测 23 4.在同一时间内，甲、乙两个气象台预报天气准确的概率分别为， .在同一时间内， 求： （1）甲、乙两个气象台预报天气都准确的概率； （2）至少有一个气象台预报准确的概率. [解析] 记“甲气象台预报天气准确”为事件，“乙气象台预报天气准确”为事件 . （1） . （2）至少有一个气象台预报准确的概率为 . 随堂检测 24 $$