精品解析：河南省开封市五校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

开封五校2024~2025学年下学期期中考试 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（ ） A. 56 B. 15 C. 28 D. 30 2. 函数在处的导数等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ） A. B. C. D. 4. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一､创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港､澳门.访问期间，甲､乙､丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲､乙､丙互不相邻，则不同的排法有（ ） A. 2880种 B. 1440种 C. 720种 D. 360种 5. 函数的极小值点为（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ） A. 21 B. 30 C. 42 D. 60 7. 已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 将7名身高不同的学生从左往右排成一列，记第名学生的身高为，当时，由于学生的身高变化像字母，所以也叫“数列”，则满足条件的“数列”共有（ ） A 61个 B. 65个 C. 68个 D. 71个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则满足不等式的的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 有3个零点 B. 当时， C 曲线关于点对称 D. 过点与曲线相切直线有2条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 某班组织一次认识大自然的活动，有6名同学参加，其中有3名男生，3名女生，现要从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽取的3名同学中既有男生又有女生的抽取方法共有______种． 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处切线的方程； （2）求函数的极值． 16. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 17. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项和． 18. 已知椭圆的两个焦点坐标分别为、，且椭圆经过点． （1）求椭圆标准方程； （2）已知圆，过圆上任意一点作圆的切线，若与椭圆交于、两点，求的面积的最大值． 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为0． （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 开封五校2024~2025学年下学期期中考试 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（ ） A. 56 B. 15 C. 28 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】分为A大学和B大学两类专业来选，根据分类加法计算原理即可求解﹒ 【详解】不同的选择种数为. 故选：B. 2. 函数在处的导数等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出导函数的值. 【详解】函数，求导得，所以. 故选：A 3. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过求导，利用导数求瞬时变化率求解． 【详解】因为，所以， 故当时，， 即时，“高原版”复兴号动车的加速度为， 故选：B 4. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一､创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港､澳门.访问期间，甲､乙､丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲､乙､丙互不相邻，则不同的排法有（ ） A. 2880种 B. 1440种 C. 720种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】先排4名青少年产生5个空位，再把甲､乙､丙插在5个空位即可. 【详解】第一步先排4名青少年共有种排法，第二步把甲､乙､丙插在4名青少年中间有种排法， 所以根据分步乘法计数原理共有种排法， 故选：B. 5. 函数的极小值点为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用导数求出函数的单调区间，再结合极小值点的概念判断即可得答案. 【详解】，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值点为0． 故选：C 6. 某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ） A. 21 B. 30 C. 42 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】结合排列数的运算，利用缩倍法求解即可. 【详解】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故选：C 7. 已知函数存在单调递增区间，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导根据有单调递增区间，转化为不等式能成立即可求得结果. 【详解】易知的定义域为，又， 由题意可知上有解，即在上有解， 可得，所以． 故选：C． 8. 将7名身高不同的学生从左往右排成一列，记第名学生的身高为，当时，由于学生的身高变化像字母，所以也叫“数列”，则满足条件的“数列”共有（ ） A. 61个 B. 65个 C. 68个 D. 71个 【答案】D 【解析】 【分析】记这7名学生的身高由低到高分别为数字1，2，3，4，5，6，7，依题意可得只能为，或，分三种情况讨论，分别求出相应的“数列”个数，最后按照分类加法计数原理计算可得. 【详解】记这7名学生的身高由低到高分别为数字1，2，3，4，5，6，7， 因为都比大，所以只能为，或. 当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为， 所以有种选法，剩下一个数作为，共有个“数列”； 当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为， 剩余两个数排，有种选法，共有个“数列”； 当时，，从4，5，6，7中选2个数作为有种选法， 剩余2个数为，共有6个“数列”. 综上所述，满足条件的“数列”共有个. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则满足不等式的的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】AB 【解析】 【分析】求出列出不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 即，又， 所以或4. 故选：AB. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】应用赋值法分别计算判断各选项即可. 【详解】对于A选项，令，得，故A正确； 对于B选项，令，得，故B错误； 对于C选项，令，得，故C错误； 对于D选项，将，两式相加， 得，即，故D正确. 故选：AD 11. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 有3个零点 B. 当时， C. 曲线关于点对称 D. 过点与曲线相切直线有2条 【答案】CD 【解析】 【分析】首先结合题意求得，利用导数求出函数的单调性，再结合极值情况即可判断的零点个数，则A可判断；先结合x的范围可得，再结合函数的单调性解不等式即可，则B可判断；求得即可得曲线关于点对称，则C可判断；利用导数的几何意义即可判断D. 【详解】，则，解得， 则， 当时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，极大值为， 所以有1个零点，A错误； 由，得，所以， 又在上单调递增，所以，故B错误； 因为， 所以曲线关于点对称，C正确； 设过点的直线与曲线相切于点， 所以切线方程， 将点代入切线方程为， 整理得，即，解得，或， 过点的直线与曲线相切于点或， 因此过点与曲线相切的直线有2条，D正确． 故选：CD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，令，即可求解. 【详解】由，得， 所以， 解得． 故答案为： 13. 某班组织一次认识大自然的活动，有6名同学参加，其中有3名男生，3名女生，现要从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽取的3名同学中既有男生又有女生的抽取方法共有______种． 【答案】18 【解析】 【分析】根据题意，按选出的男女人数不同，分2种情况讨论，结合组合数由加法原理计算可得. 【详解】抽取的3名同学中既有男生又有女生包含2种情况：1名男生，2名女生；2名男生，1名女生. 所以满足要求的抽取方法共有（种）. 故答案为：18 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，转化为有三个解，令，利用导数求出的单调性和极值可得答案. 【详解】，设，则， 所以，，所以， 因为与的图象若恰有3组对称点， 所以有三组解，可得即有三个解， 令，即函数与的图象有3个不同的交点， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键点是转化为有三个解，然后构造函数结合图象. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处切线的方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极小值为，极大值为13 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，最后根据切点求切线方程； （2）利用导数求极值. 【小问1详解】 由， 得， 因为，所以， 所以曲线在点处切线的方程为， 即． 【小问2详解】 令，得或， 当变化时，的变化情况如下表： 3 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 又，所以函数的极小值为，极大值为13． 16. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的二项式系数和为即可得，求出二项式展开式的通项，令的指数为零即可求解； （2）根据二项式展开式的通项即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以该二项式， 则通项公式为：． 令，解得， 所以该二项式的展开式中的常数项为． 【小问2详解】 因为， 易知：展开式第四项二项式系数最大， 即, 所以展开式中二项式系数最大的项. 17. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比中项可得，，结合题意解方程可得，进而可得公差和通项； （2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解即可. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，则，即， 又因为成等比数列，则， 联立方程，解得或， 且，则，可知公差， 所以数列的通项公式. 小问2详解】 由（1）可得：， 所以. 18. 已知椭圆的两个焦点坐标分别为、，且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知圆，过圆上任意一点作圆的切线，若与椭圆交于、两点，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意可得出关于、的值，解出这两个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论：①切线的斜率不存在，直接求出的面积；②切线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，由直线与圆相切得出，将直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式以及基本不等式可求出的最大值，再结合三角形的面积公式可求得结果.比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为， 由题意可得，解得， 因此，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，易知点的坐标为或， 若点的坐标为时，则直线的方程为， 联立可得，不妨取点、， 此时，； 当切线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 易知圆的圆心为原点，半径为， 因为直线与圆相切，则，可得， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，且， 因此，面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为0． （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用极值点的性质，借助导数可解；（2）通过构造新函数，研究其单调性来证明不等式；（3）先根据数列前n项和求出数列通项公式，再结合前面的结论进行放缩，结合等比数列求和证明不等式. 【小问1详解】 由，得， 因为函数的极值点为0，所以，解得． 若，当时，单调递减；当时，单调递增．所以0是函数的极值点． 综上所述，． 【小问2详解】 令，则． 因为，在上单调递增，， 所以，使得． 当时，单调递减； 当时，单调递增．所以的极小值为，也是的最小值． 由，得，且， 所以， 当且仅当时等号成立，但，所以等号不成立，即． 所以，即． 【小问3详解】 证明：当时，， 当时，，满足上式， 所以． 由（2）知对，即， 取，则，所以，即． 所以． 【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$