【三轮冲刺】专题05 函数选填题压轴（四川专用）-2025年四川数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

2025年四川数学中考预测专项突破 专题05 函数选填题压轴（四川专用） 2024年四川中考数学真题几何综合解答题压轴分析（主要针对成都、绵阳、眉山、南充） ❆成都卷：A卷填空题第13题，主要函数中最值问题，分值4分，难度中等；B卷填空题23题，主要考查是函数中取值范围，分值4分，难度中等偏上； ❆眉山卷：选择题第12道：主要考查二次函数的图象与系数的关系多选结论题型，分值4分，难度中等偏上； ❆南充卷：填空题第16道：主要考查二次函数的图象与系数的关系多选结论题型，分值4分，难度中等偏上；选择题第9题：主要考查的是二次函数的最值问题，分值4分，难度中等； 题型一：二次函数图象与系数的关系多结论问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … 0 … … 1 0 … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④ 2．（2025·四川宜宾·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，，与轴交点的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论： ①；②（为实数）；③；④若且，则；⑤直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 3．（2025·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法正确的是（   ）    A． B．对称轴为直线 C．关于的方程有两个不相等的实数根 D． 4．（2025·四川广元·二模）如图，已知顶点为的抛物线过点，给出下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③；④若，则；⑤；⑥已知点均在抛物线上，若，，，则．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2025·四川宜宾·二模）如图，抛物线的图像交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，点为抛物线的顶点，连结、、，且．以下结论：①点坐标为；②；③；④在内存在唯一一点，使得的值最小，若的最小值为，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025·四川·二模）如图，抛物线的部分图象如图所示，抛物线的对称轴是直线，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．函数的最大值为 D．关于x的方程没有实数根 7．（2025·四川凉山·一模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①  ②  ③若，则  ④．其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 8．（2025·四川达州·模拟预测）如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点G，顶点为． ①拋物线与直线有没有交点； ②若点、点、点在该函数图象上，则； ③将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为； ④点关于直线的对称点为，点D，E分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确判断有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025·四川雅安·一模）小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面4条信息： ①；②；③；④． 其中正确信息的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2025·四川达州·一模）如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2025·四川南充·模拟预测）如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，下列四个结论：①当时，有最大值；②当时，则；③将该函数的图象向左或向右平移3个单位长度都会经过原点；④点在该函数的图象上，符合要求的点共有3个．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2025·四川广安·二模）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线．有下列四个结论：①；②；③若点在抛物线上，当时，；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2025·四川成都·一模）二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．的最小值为 C．对应的函数值为 D．当时，则 14．（2025·四川乐山·一模）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则 其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤ 15．（2025·四川南充·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤． 其中正确的有 （填序号） 16．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②时，y随x的增大而增大；③对于任意实数m，总有．其中正确的结论有 （直接填写序号）． 题型二：一次函数和反比例函数综合（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为，则的值为 ． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，其顶点落在反比例函数的图象上，顶点落在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数的图象上，则的值为 ． 3．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 4．（2024·四川广元·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于 A、B两点上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，在反比例函数第三象限的图象上存在一点P，使点P到直线的距离最短，则点P的坐标为 ． 5．（2024·四川成都·三模）如图，函数的图象上有一点P，延长OP交的图象于点Q，点M，N在的图象上，．过点P作x轴平行线l，过M作于点A，过N作于点B，连接，若，，则点Q的纵坐标 ．    6．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，与位于平面直角坐标系中，已知，，若反比例函数恰好经过点，则 ． 7．（2024·四川绵阳·一模）如图，、是反比例函数图象上的两点，过点、分别作轴的平行线交轴于点、，直线交轴正半轴于点．若点的横坐标是4，，，则点的坐标是 ． 8．（2024·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在第一象限，点是的中点，反比例函数的图象经过，两点．若的面积是，则的值为 ． 9．（2023·四川眉山·三模）如图所示，四边形是菱形，边在x轴上，点，点，双曲线与直线交于点D，点E，则的面积为 ． 10．（2024·四川达州·三模）如图，直线与x轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，线段的长是方程的一个根，双曲线，与直线交于点，且，则k的值为 ． 11．（2024·四川南充·三模）如图，点A在双曲线上，过点A作轴于点D，与双曲线交于点B，点C是的中点，若的面积为3，则的值为 ． 12．（2024·四川达州·一模）如图，正方形与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点，上的点满足．若的面积为，则实数的值为 ． 13．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点A、点B，将直线向下平移b个单位后双曲线交于点C、点D，M是第二象限内一点，连接、，若以M为位似中心的与位似，位似比为，则b的值为 ．    14．（2023·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图像上的一点，作射线交y轴于点D，连接，，若，的面积为30，则 ． 15．（2023·四川成都·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则 ． 题型三：函数中最值问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴分别交于点和点，过顶点的直线轴于点，点为线段上一点，点在线段上，且，当取最小值时，则 ． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，点在双曲线上，过点P的直线与坐标轴分别交于A，B两点，且．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于C，D两点．则四边形面积的最小值为 3．（2025·四川内江·一模）若x、y、z为非负实数，且，则代数式的最大值与最小值的差是 ． 4．（2025·四川泸州·一模）如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为 ． 5．（2024·四川广元·一模）如图，在中，点 D 为边上一个动点，以为边在的上方作正方形，当取得最小值时，的长为 ．      6．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点、），点P是坐标平面内的一个动点中．若，则的最小值为 ． 7．（2024·四川德阳·模拟预测）在一次数学探索活动中，老师带领同学们研究了一次函数的系数k，b与图象的关系．为了更直观地理解这一关系，老师给出了直角坐标系中的三个特殊点：,．老师要求同学们尝试画出经过这三个点中任意两个点的一次函数图象．同学们通过计算得到了三个一次函数的表达式：．接着，老师提出了一个有趣的问题：分别探究的值，则其中最大的值等于 ． 8．（2024·四川达州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中的三个点：，，，经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，，分别计算的值，其中最小的值等于 ． 9．（2024·四川成都·二模）如图，在正方形，点，在射线上，，则最大值是 ． 10．（2024·四川南充·二模）如图，抛物线的顶点为M，点A是抛物线上异于点M的一动点，连接，过点M作交抛物线于点B，则点M到直线的距离的最大值为 ． 11．（2024·四川南充·二模）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 题型四：函数中找规律类问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2024·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ． 2．（2024·四川达州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴交于A、B两点，以为边作等边△ABC，将等边△ABC沿射线方向作连续无滑动的翻滚．第一次翻滚：将等边△ABC绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边△ABC绕点顺时针旋转，使点落在直线上，当等边△ABC翻滚2024次后点的对应点坐标是 ． 3．（2024·四川广安·模拟预测）在直角坐标系中，直线与x轴交于点，在直线上取点，使，过点作轴，交直线于点，接着在直线上点的上方取点，使，过点作轴，交直线于点．．．按此操作一直进行下去，则的纵坐标为 ．   4．（2023·四川内江·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在x轴上，顶点在直线上，若正方形的对角线，则点的纵坐标是 ． 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点，，，，，…所在直线与x轴交于点，点，，，，…都在x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形的腰长为 ． 6．（2024·四川乐山·模拟预测）如图是直线在第一象限内的一部分，其上有一点，且．过作轴于，以为圆心，为半径作弧交于点，过作于，以为圆心，以为半径作弧交于点；过作于；……，如此重复下去．则： （1）的纵坐标是 ； （2）的纵坐标是 ． 7．（2024·四川达州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为 8．（2025·四川·模拟预测）如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，，在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，则为正整数）的坐标是 ． 9．（2025·四川资阳·一模）如图，已知，，，，都是等边三角形，点，，，都在轴上，点，，，都在直线上，设点的纵坐标为，则的值为 ． 10．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的函数解析式为，点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，按照这样的规律进行下去，点的横坐标是______． 题型五：函数中新定义类问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）平面内，对于图形与点，给出如下定义：图形绕点逆时针旋转得到图形，若图形与图形有重叠，则称图形关于点“逆垂相关”．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点分别是，．若以为圆心，为半径的上存在点，使线段关于点“逆垂相关”，则的取值范围是 ． 2．（2025·四川成都·二模）定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 ． 3．（2025·四川泸州·一模）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点M在边上，且，若在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为 4．（2023·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线分别交于点A，B．直线与交于点C．记线段，，围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域W内没有整点，则k的取值范围是 ． 5．（2022·四川成都·一模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为 ． 6．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 7．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若x，y满足，（k为常数），且，则称点为“优点”．若是“优点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“优点”，则的取值范围为 ． 8．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 9．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 10．（2024·四川广元·三模）在平面直角坐标系中， 对于点，，若 则称点A和点B互为 “等距点”. 已知点M是以O为圆心，为半径的圆上一点，若反比例函数图象上存在点M的等距点N，则k的取值范围是 ． 11．（2024·四川成都·二模）若点的坐标满足其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是 ． 12．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 题型六：函数中双空类问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2023·四川成都·一模）如图，反比例函数的图形过点A，反比例函数的图象与直线交于点B，C，已知，则 ；过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点D和E，连接交y轴于G，连接交x轴于点F，当的面积为1时， ．    2．（2024·四川成都·二模）对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数，我们称之为分段函数，它是一个函数，而不是几个函数，习惯上，我们会把每段的自变量的取值范围写在该范围内满足的解析式后面．现有分段函数（其中m是常数，且），该函数的图象记为G．当时，图象G与x轴的交点坐标为 ；若直线与G恰有两个交点，则m的值为 ． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，新定义一种变换：使平面内的点对应的像为，其中a、b为常数．已知点经变换后的像为． （1）计算： ； （2）若线段，则经变换后线段的长度为 ．(其中分别是线段 O、P经变换后的像．点 O 为坐标原点)． 4．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为： ．若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则 ； 已知正方形的顶点分别为，，，，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则n的取值范围为 ． 5．（2024·四川乐山·一模）当，是正实数，且满足时，就称点为“友谊点”．已知点与点都在直线上，点、是“友谊点”，且点在线段上． （1）点的坐标为 ； （2）若，，则的面积为 ． 6．（2024·四川乐山·二模）对于两个已知图形、，在上任取一点P，在上任取一点Q，当线段的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形、的“密距”．解决下面的问题：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，矩形的对称中心为点O． （1）线段和的“密距”是 ； （2）设直线与x轴、y轴分别交于点E、F，若直线与矩形的“密距”是1，则b的值是 ． 7．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，已知双曲线把分成、两部分，且与分别交于点C、D． （1）连接，若则点D的坐标为 ； （2）若内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为，则k的取值范围是 ． 8．（2025·四川成都·一模）若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ． 9．（2025·四川·二模）在平面直角坐标系中，设，，令，，定义线段的“投影值”为m，n中的较大者（若，则“投影值”为m）．例如，，因为，，所以线段的“投影值”为6．已知，若点B在第一象限且在直线上，线段的投影值为5，则点B的坐标为 ；若动点C在抛物线上，则线段的“投影值”的最小值为 ． 10．（2023·四川乐山·模拟预测）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为， （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ； （2）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的P 点坐标 11．（2023·四川成都·模拟预测）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动．如图2所示，此时液面宽度为 cm，液面到点所在水平地面的距离是 cm 12．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对封闭图形和不重合的两点，给出如下定义：点关于点的中心对称点为，若点在图形内（包含边界），则称图形为点经点投射的“靶区”．如图，拋物线与轴的交点A，位于原点两侧（点A在点的左侧），且，则抛物线的函数表达式为 ，记轴上方的拋物线与轴所围成的封闭图形为，点为轴上一动点，若直线上存在点，使得图形为点经点投射的“靶区”，则的取值范围是 ．    题型七：函数中交点类问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川泸州·三模）已知函数在时与轴有且仅有一个公共点，则参数的取值范围是（   ） A．或或 B．或或 C．或 D．或或 2．（2024·四川南充·模拟预测）关于二次函数，有下列四个结论： ①对任意实数m，都有与对应的函数值相等； ②若时，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或； ④若，则一元二次方程一定有两个实数根． 以上结论，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 3．（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 4．（2024·四川泸州·一模）抛物线与轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 5．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知，两点，连接，设线段的长为，若点在二次函数的图象上，则当时，的取值范围是 ． 6．（2025·四川成都·一模）我们把a，b，c三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的取值为 ． 7．（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 8．（2024·四川成都·一模）如图，已知，直线l：经过点，点O关于直线l的对称点落在三角形内（不含边界），则b的取值范围是 ． 9．（2024·四川德阳·三模）如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图像当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是 ． 10．（2024·四川南充·二模）如图，将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，原抛物线轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线与新函数的图象有三个交点，则的取值范围是 ． 11．（2024·四川广元·二模）如图，已知点，，反比例函数 的图象的一支与线段有交点，则符合条件的k的整数值共有 个． 第 1 页 共 133 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川数学中考预测专项突破 专题05 函数选填题压轴（四川专用） 2024年四川中考数学真题几何综合解答题压轴分析（主要针对成都、绵阳、眉山、南充） ❆成都卷：A卷填空题第13题，主要函数中最值问题，分值4分，难度中等；B卷填空题23题，主要考查是函数中取值范围，分值4分，难度中等偏上； ❆眉山卷：选择题第12道：主要考查二次函数的图象与系数的关系多选结论题型，分值4分，难度中等偏上； ❆南充卷：填空题第16道：主要考查二次函数的图象与系数的关系多选结论题型，分值4分，难度中等偏上；选择题第9题：主要考查的是二次函数的最值问题，分值4分，难度中等； 题型一：二次函数图象与系数的关系多结论问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … 0 … … 1 0 … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴等知识点，解决此题的关键是能根据图表得到二次函数图象的相关性质．根据表格得到二次函数的图象，根据二次函数图象性质及对称轴，区间的增减性即可解决此题． 【详解】解：由表格数据知，抛物线经过点，， 对称轴为直线，故②正确； 抛物线的顶点坐标为， 观察表格数据可知，抛物线开口向下，故①错误； 由表格可知当时，， 抛物线经过点， 由二次函数图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即， 关于的方程的根为和，故③正确； 由抛物线开口方向及抛物线与x轴的交点坐标可知，当时，的取值范围是或，故④正确； 综上可知，正确的有②③④． 故选D． 2．（2025·四川宜宾·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，，与轴交点的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论： ①；②（为实数）；③；④若且，则；⑤直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】根据题意得到抛物线的解析式为，即可得到，，代入即可判断①； 由，结合，可以变形得到，从而可判断②； 由抛物线和y轴的交点位置可判断③； 把代入，然后利用因式分解法解方程，即可判断④； 根据直线与抛物线的解析式，求交点，得到关于的一元二次方程，将，，代入解方程求出，可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点，，， ∴设抛物线的解析式为：， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 即（为实数），故②正确； ∵抛物线与轴交点的纵坐标在与之间， ∴，即， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵直线与抛物线的一个交点， ∴，解得：，， ∴，故⑤正确． 综上所述，①②③⑤正确． 故选：C ． 3．（2025·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法正确的是（   ）    A． B．对称轴为直线 C．关于的方程有两个不相等的实数根 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据图形开口，对称轴的知识即可求解，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据图形得：抛物线与y轴交于负半轴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵图象与轴相交于，两点， ∴对称轴为直线，故B选项错误，不符合题意； ∵抛物线开口向上，且顶点坐标位于y轴的下方， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，故C选项错误，符合题意； ∵对称轴为直线， ∴，即，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 4．（2025·四川广元·二模）如图，已知顶点为的抛物线过点，给出下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③；④若，则；⑤；⑥已知点均在抛物线上，若，，，则．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式；先利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即，则可对①③⑤进行判断；当时，有最小值可对②进行判断；利用利用抛物线的对称性得到当或时，，利用函数图象得到抛物线不在直线的下方所对应的自变量的范围可对④进行判断；通过计算，得到，根据，，求得，可对⑥进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得，所以⑤正确， ， 即， ，，， ，所以①正确； ，， ，所以③正确； 当时，有最小值， 对于任意的，均有，所以②错误； 抛物线的对称轴为直线， 当或时，， 当时，或，所以④错误； ， ∵，， ∴，， ∴， 解得，所以⑥错误， 综上，正确的有3个． 故选：B． 5．（2025·四川宜宾·二模）如图，抛物线的图像交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，点为抛物线的顶点，连结、、，且．以下结论：①点坐标为；②；③；④在内存在唯一一点，使得的值最小，若的最小值为，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先求出抛物线的对称轴，利用对称性求出点的坐标，可判断①；将抛物线的解析式配方后化顶点式，求出顶点的坐标，根据点位置可以确定的符号，以此判断②；根据，可过D点作的垂线，构造相似三角形，列出比例式，将点的坐标代入抛物线解析式中，得到用表示，代入比例式中，得到关于的方程求解，求出，再判断③；通过将绕点A顺时针旋转，得到，点，，，在同一直线上时，最小，再求出结论即可判断④. 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵抛物线的图像交轴负半轴于点，交轴正半轴于点， ∴，故正确①； ∵抛物线，点为抛物线的顶点， ∴， ∵点在第三象限， ∴，故②正确； 过点作轴于点，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵抛物线的图像交轴负半轴于点， ∴，解得：， 又点， ∴， ∵抛物线的图像交轴负半轴于点， ∴点，即， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∵抛物线的开口向上， ∴， ∴，故③正确； 将绕点A顺时针旋转，得到， 则， 是等边三角形， 点，，，在同一直线上时，最小，过点作轴于点，轴于点， 设，则，，， ∵， ∴， ∴，，， ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴，解得（舍去），或， ∴，故④正确. 综上所述，①②③④都正确. 故选：D． 6．（2025·四川·二模）如图，抛物线的部分图象如图所示，抛物线的对称轴是直线，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．函数的最大值为 D．关于x的方程没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 根据二次函数的图象和性质依次判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项正确； ∵对称轴为， ∴根据抛物线的对称性，可知与时的函数值相等， 由图象可知时，， ∴当时，，该B选项正确； ∵抛物线对称轴为，且开口向下， ∴当时，函数取得最大值， 把代入得，即函数的最大值为， 故选C项正确； ∵方程的实数根就是抛物线与直线交点的横坐标， 由图象可知抛物线与直线有两个交点， ∴关于的方程有两个实数根，故选项D不正确； 故选：D． 7．（2025·四川凉山·一模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①  ②  ③若，则  ④．其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴，函数的性质，利用数形结合思想，计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵对称轴在原点的右侧， ∴对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴上， ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴对称轴为直线， ∴， 故②正确； ∵抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴对称轴为直线， ∴； ∵， ∴ 故 故③正确； 根据题意，得，， ∴， 根据题意，当时，， 又， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：A． 8．（2025·四川达州·模拟预测）如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点G，顶点为． ①拋物线与直线有没有交点； ②若点、点、点在该函数图象上，则； ③将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为； ④点关于直线的对称点为，点D，E分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确判断有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①把代入中，判断所得一元二次方程的根的情况即可得判断正确； ②根据二次函数的性质进行判断； ③根据平移的公式求出平移后的解析式便可； ④因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，求出即为其他三边和的最小值． 【详解】解：①把代入中，得， ∵， ∴此方程无实数根，则抛物线与直线有没有交点；，故①结论正确； ②∵抛物线的对称轴为， ∴点关于的对称点为，为顶点 则 又∵， ∴故②结论正确； ③将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为：，故③结论不正确； ④当时，抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵点关于直线的对称点为，顶点为． ∴，， 作点B关于y轴的对称点，作C点关于x轴的对称点，连接，与x轴、y轴分别交于D、E点，延长交于点，则， 如图， 则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度一定， ∴此时，四边形周长最小，为： ，故④结论正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：C． 9．（2025·四川雅安·一模）小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面4条信息： ①；②；③；④． 其中正确信息的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数一般式各项系数与图象的关系，熟练掌握其关系，仔细观察图象进行解答即可． 【详解】①如图，∵抛物线开口方向向下， ∴． ∵对称轴， ∴． ∵抛物线与轴交点在轴正半轴， ∴， ∴； 故①正确，符合题意． ②∵对称轴， ∴ 故②正确； ③如图，当时，， ∴，即． ∴．故③正确，符合题意． ④如图，当时，，即， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴． ∵ ∴． ∴，即．故④正确，符合题意． 综上所述，正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 10．（2025·四川达州·一模）如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断，由抛物线的顶点坐标为，可得函数有最小值，可判断①②；由且，则，可判断③；由对称性可得一元二次方程的根为或，可判断④错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线，时，y随x的增大而增大，可得，可判断⑤．即可得到答案． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴， 故①正确； ②根据函数图象可得抛物线开口向上， ∵由图可知抛物线的顶点坐标为， ∴时，函数有最小值， ∴， 故②错误； ③若且，则， ∴， 故③正确； ④由条件可得关于x的一元二次方程的根为或， 故④错误； ⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确选项有3个． 故选：B． 11．（2025·四川南充·模拟预测）如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，下列四个结论：①当时，有最大值；②当时，则；③将该函数的图象向左或向右平移3个单位长度都会经过原点；④点在该函数的图象上，符合要求的点共有3个．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数与几何综合，由函数图象可判断①②；根据点的坐标平移规律可判断③；可证明点在直线上，利用函数图象找到点直线上与原函数图象的交点个数即可判断④． 【详解】解：①由图象可知，当时，有最大值，故①正确； ②当时，或，故②不正确； ③将函数的图象向右平移3个单位长度时，原图象上坐标为的点过原点；将函数的图象向左平移3个单位长度时，原图象上坐标为的点过原点；∴③正确； ④令，， ∴， ∴点在直线上． 函数的图象如图所示： 由图象可以看出，它们有三个交点， ∴符合要求的点共有3个，故④正确． 综上，有①③④正确． 故选：C． 12．（2025·四川广安·二模）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线．有下列四个结论：①；②；③若点在抛物线上，当时，；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，数形结合是解题的关键． 首先求出，然后得到当时，，即可判断①；然后得到，求出，，代入即可判断②；根据增减性即可判断③；由得到，然后代入即可判断④． 【详解】解：∵，对称轴为直线 ∴ ∴由图象可得，当时，，故①正确； ∴ ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，开口向上 ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时，，故③错误； 若， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确． 综上所述，其中正确的有3个． 故选：C． 13．（2025·四川成都·一模）二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．的最小值为 C．对应的函数值为 D．当时，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质是关键． 根据二次函数与坐标轴的交点，对称轴直线的计算判定A选项；运用待定系数法得到解析式，将一般式化为顶点式可判定B选项；根据自变量值求函数值可判定C选项；根据最值的计算可判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴的两个交点为， ∴对称轴直线为，故A选项正确，不符合题意； 根据题意，二次函数经过， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴的最小值为，故B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 当时，，当时，，当时，， ∴当时，则，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 14．（2025·四川乐山·一模）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则 其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象开口向上，与轴相交于下半轴，对称轴为直线，可得，，，即可判断；由抛物线的对称轴为直线，可得，当时，，得，即可判断；由，是抛物线上的两点，抛物线的对称性可知：，当时，，即可判断；由，到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，在轴下方的抛物线上存在点，使得，即，可得，所以，即可判断；抛物线与轴的另外一个交点坐标为，得，若方程，即方程的两根为，，则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，因为，所以，即可判断． 【详解】解：由图象可知：，，， ，故正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ，故错误； ，是抛物线上的两点， 由抛物线的对称性可知：， 当时，， 故正确； 由题意可知：，到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到轴的距离不小于时， 在轴下方的抛物线上存在点，使得， 即， ， ， ， ， 解得：，故④正确； ∵对称轴为，抛物线过点 ∴抛物线与轴的另外一个交点坐标为， 若方程， 即方程的两根为，， 则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ， ，故错误； 故选：C． 15．（2025·四川南充·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤． 其中正确的有 （填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置判断①符合题意；根据点N坐标和二次函数的对称轴确定二次函数图象过点，再根据二次函数的增减性即可判断②不符合题意；使用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数图象平移规律即可判断③不符合题意；把点A坐标和点A关于对称轴对称的点的坐标代入二次函数解析式，然后用a表示c，再根据点C的位置和不等式的性质即可判断④符合题意；根据二次函数的最值得到不等式，再根据不等式的性质和等价代换思想即可判断⑤符合题意． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，，． ∴． ∴．故①符合题意． ∵点是函数图象上一点，对称轴是直线， ∴二次函数图象经过点． ∵二次函数图象开口方向向下， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵函数图象上一点， ∴．故②不符合题意． ∵，二次函数图象对称轴是直线， ∴设二次函数解析式为． 把点坐标代入二次函数解析式得． 解得． ∴二次函数解析式为． ∴抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位得到抛物线为．故③不符合题意． ∵二次函数图象过点，二次函数对称轴是直线， ∴二次函数图象过点． 把点和代入二次函数解析式中得 用a来表示b和c得 ∵二次函数图象与y轴的交点B在与之间（不包括这两点）， ∴． ∴． ∴．故④符合题意． ∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线， ∴二次函数在时取得最大值． ∴当时，，即． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．故⑤符合题意． 故①④⑤符合题意． 故答案为：①④⑤． 16．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②时，y随x的增大而增大；③对于任意实数m，总有．其中正确的结论有 （直接填写序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据抛物线开口向上，可知；根据对称轴为直线，可求出；由抛物线的对称性，可求出与x轴另一个交点为，代入抛物线解析式，结合，从而可判断①；时，图象在对称轴左侧，开口向上，随的增大而减少，即可判断②；根据题意可求出，故③正确． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向上，则，对称轴为直线， 则， ∵抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴另一个交点为， ∴． ∵， ∴， ∴，所以①正确； ②当时，图象在对称轴左侧，开口向上，随的增大而减少，所以②错误； ③对于任意实数， 总有 ，所以③正确； 综上所述，正确的结论有：①③． 故答案为：①③． 题型二：一次函数和反比例函数综合（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，设辅助未知数列出方程是解题的关键． 设，可求，可求，从而可求，，由，即可求解 【详解】解：设， 轴， ， 解得：， ， ∵， ， ， 作轴于点M，则， ∴ ， ， 解得：， ， 解得：， ， 轴， ， ， 的面积为， ， ， 解得：． 故答案为：． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，其顶点落在反比例函数的图象上，顶点落在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，三角函数的定义，勾股定理，菱形的性质，过点A作轴于点D，根据，得出，设，则，得出，根据点A在反比例函数的图象上，求出，根据勾股定理求出，根据菱形性质得出，求出k的值即可． 【详解】解：过点A作轴于点D，如图所示： ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得：，负值舍去， 经检验是方程的解， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴， ∵顶点落在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 3．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数的几何意义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵过点分别作轴于点，轴于点， ∴，四边形是矩形， ∵反比例函数的图象分别与，相交于两点， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（2024·四川广元·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于 A、B两点上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，在反比例函数第三象限的图象上存在一点P，使点P到直线的距离最短，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次根式的运算，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据反比例函数确定点A、B坐标，利用待定系数法求出次函数解析式，过点点P作直线，当直线与反比例函数只有一个交点时，点P到直线的距离最短，联立求解将问题转化为一元二次方程，利用判别式，构建方程求解即可． 【详解】解：反比例函数过点A、B，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1， ，， 一次函数过点A、B， ， 解得， 一次函数解析式为， 过点P作直线， 当直线与反比例函数只有一个交点时，点P到直线的距离最短，设直线的解析式为， 点P为直线与反比例函数的交点， ，即， ， 即，解得（不合题意，舍去）或， ，解得， 当时，， 点P的坐标为． 5．（2024·四川成都·三模）如图，函数的图象上有一点P，延长OP交的图象于点Q，点M，N在的图象上，．过点P作x轴平行线l，过M作于点A，过N作于点B，连接，若，，则点Q的纵坐标 ．    【答案】/ 【分析】过点作x轴的垂线，垂足为点D、E，过点N作于点C，过点M作延长线的垂线，垂足为点F，连接交于点G，记与交于点H，由，得到，由反比例函数k的几何意义得：，故，可证明点C在直线上，而四边形是矩形，故，，设，则，而，故，则，继而可证明，同理，可证明点A在直线上，，故，过作于点，延长交轴于点，解得到，可求，由，得到，故． 【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为点D、E，过点N作于点C，过点M作延长线的垂线，垂足为点F，连接交于点G，记与交于点H，    ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴由反比例函数k的几何意义得：， ∴， 设点， 则， 设直线表达式为：， 代入点B得：， ∴， ∴直线表达式为， 而， ∴点C在直线上， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴设， 则， 而 ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 同理，可证明点A在直线上，， ， 过作于点，延长交轴于点，    ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ， ， ∵ ∵， 即：， ， 故答案为：． 6．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，与位于平面直角坐标系中，已知，，若反比例函数恰好经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．过点C作轴于点D，由题意易得，，，然后根据含30度直角三角形的性质求出点C的坐标即可得到答案． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：    ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，     ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∴， 故答案为：． 7．（2024·四川绵阳·一模）如图，、是反比例函数图象上的两点，过点、分别作轴的平行线交轴于点、，直线交轴正半轴于点．若点的横坐标是4，，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是利用设元法结合相似及反比例函数图象特征求解． 依据题意，由和点的横坐标是4，求出，；设，，利用求出的值；再设、，将点、的值代入反比例函数表达式即可求解． 【详解】解：∵轴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∵点的横坐标是4， ∴，则， ∴． 由，设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴=， ∴，则， ∴，， 设点的纵坐标为， ∴，则， ∴、， ∵、是反比例函数图象上的两点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2024·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在第一象限，点是的中点，反比例函数的图象经过，两点．若的面积是，则的值为 ． 【答案】6 【分析】过，两点分别作轴的垂线，垂足分别为，，设点坐标为，则，由点为的中点，推出点坐标为，求得直线的解析式，得到点坐标，根据的面积是，列式计算即可求解． 【详解】解：过，两点分别作轴，轴垂足分别为，，    ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 设点坐标为，则， ∴， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为， 根据题意得， 解得， 故答案为：． 9．（2023·四川眉山·三模）如图所示，四边形是菱形，边在x轴上，点，点，双曲线与直线交于点D，点E，则的面积为 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，菱形的性质，先利用勾股定理求出，再由菱形的性质得到，则，利用待定系数法求出反比例函数解析式为，直线的解析式为，然后联立两函数解析式求出，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 把代入中得， ∴反比例函数解析式为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴， 故答案为：35． 10．（2024·四川达州·三模）如图，直线与x轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，线段的长是方程的一个根，双曲线，与直线交于点，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，反比例函数与一次函数的综合，相似三角形的判定与性质，解方程得：，或，得出，，代入求出，即可得出；在中，由勾股定理求出，过点作轴于，则，由平行线得出，得出，，得出，，代入双曲线得出，即可求解． 【详解】解：解方程得：，或， 线段的长是方程的一个根， ， ， 代入得：， ， ； 在中，，， ， 过点作轴于，如图所示： 则， ， 解得：，， ， ， 双曲线，经过点， ； 故答案为：． 11．（2024·四川南充·三模）如图，点A在双曲线上，过点A作轴于点D，与双曲线交于点B，点C是的中点，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查值的几何意义，连接，根据三角形的中线平分面积，得到的面积为6，值的几何意义，得到，根据，得到，整体代入代数式，进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵点C是的中点，的面积为3， ∴， ∵点A在双曲线上，过点A作轴于点D，与双曲线交于点B， ∴， ∵， 即：， ∴， ∴； 故答案为：25． 12．（2024·四川达州·一模）如图，正方形与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点，上的点满足．若的面积为，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数与几何图形综合．正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于，即由证明，，最后利用的面积列方程求解即可． 【详解】解：过作于，则四边形是矩形， ，， ． ， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去） 实数的值为3． 故答案为：3． 13．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点A、点B，将直线向下平移b个单位后双曲线交于点C、点D，M是第二象限内一点，连接、，若以M为位似中心的与位似，位似比为，则b的值为 ．    【答案】9 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理．由题意可得，设直线的解析式为，点，，根据两点间距离公式求得，整理得，进而得到，由点恰好都落在反比例函数图象上得到，即，由根和系数的关系得，求出的值，据此即可求解． 【详解】解：联立，解得或， ∴点，， ∴， ∵与位似，相似比为， ∴， ∴，    ∵将直线向下平移b个单位， ∴设直线的解析式为，点，， ∴， 整理得，， ∴， ∵点恰好都落在反比例函数图象上， ∴与反比例函数的交点方程为， 即， 由根与系数的关系得，， 解得或(不合，舍去)， 令，则， ∴直线和与的交点分别为和， ∴， 故答案为：9． 14．（2023·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图像上的一点，作射线交y轴于点D，连接，，若，的面积为30，则 ． 【答案】6 【分析】由，设，代入中，得，设，由反比例函数的中心对称性得，作轴，作轴，证明出，再根据，得出，得出，再利用，从而求解． 【详解】解：由，设，代入中， 得， 设， 由反比例函数的中心对称性得， 得，． ∴，作轴，作轴， ， ， ． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． 作轴， ∴，． ∴． ∴， ∴． ∴， 故答案为：6． 15．（2023·四川成都·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则 ． 【答案】 【分析】设直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作于点，易得是等腰三角形，是含的直角三角形，设，则可表达点的坐标，根据题干条件，建立方程，再根据点在反比例函数上，可得出结论． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点，过点作轴于点， 令，则， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 则，即：， ∵点在反比例函数上， ∴； 故答案为：． 题型三：函数中最值问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴分别交于点和点，过顶点的直线轴于点，点为线段上一点，点在线段上，且，当取最小值时，则 ． 【答案】 【分析】由函数解析式求得，，进而可得，，则，可知，分别取，的中点，，连接，则，，是的中位线，得，，过点作，且，则，证明，得，可知，当在上时取等号，此时，过点作，解直角三角形得，可得，则，可知此时，即可求解． 【详解】解：∵， 当时，即，可得，， ∴，， 则，， ∴，则， 分别取，的中点，，连接，则，，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 过点作，且，则， ∴，， ∴， ∴， ∴，当在上时取等号， 即：当取最小值时，在上， 此时，过点作，则，， 又∵， ∴，则， 可得，则 ∴此时， 即：当取最小值时，， 故答案为：． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，点在双曲线上，过点P的直线与坐标轴分别交于A，B两点，且．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于C，D两点．则四边形面积的最小值为 【答案】8 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设直线解析式为，则代入可推出，再求出，得到，解直角三角形求出，，则；设，直线的解析式为，可得直线的解析式为，联立得，则，可得，则直线的解析式为，，则，根据即可得到答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 设直线解析式为， 把代入中得：，解得， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， ∵直线与反比例函数只有一个公共点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵，当即时取等号， ∴， ∴， 故答案为：8． 3．（2025·四川内江·一模）若x、y、z为非负实数，且，则代数式的最大值与最小值的差是 ． 【答案】 【分析】此题考查解三元一次方程，解一元一次不等式组，二次函数的性质，解题关键在于掌握运算法则，先利用加减消元法求出的值，建立关于z的不等式组，求出z的取值范围，再把代入代数式，将其转化为关于z的二次函数，利用二次函数的性质分别求出最大值与最小值，即可解答． 【详解】解：， 得，， 把代入得，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值是， 当时，的最小值是， 则代数式的最大值与最小值的差是： 故答案为：． 4．（2025·四川泸州·一模）如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，求出的长，即可得出的半径，证，可得四边形面积，当时，四边形的面积最小，利用三角函数求出的长，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵过点向以P为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为E、F， ∴，， ∵，， ∴， ∵的半径为， ∴， 当时，最小，从而最小，此时， ∵四边形面积， ∴四边形面积的最小值为． 故答案为：． 5．（2024·四川广元·一模）如图，在中，点 D 为边上一个动点，以为边在的上方作正方形，当取得最小值时，的长为 ．      【答案】 【分析】过点作于，由四边形是正方形，得，，可证明，即有，，从而，而，根据二次函数性质可得取得最小值时，，即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示：   四边形是正方形， ，， ，， ，且，， ， ，， ， ， ， 当时，最小，则也最小， 此时， 故答案为：． 6．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点、），点P是坐标平面内的一个动点中．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，根据题意可得点在半径为2的上，在线段上取一点，满足，证明，由相似三角形的性质得出，，从而得出，当且仅当三点共线时等号成立，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴点在半径为2的上， 如图，在线段上取一点，满足， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，当且仅当三点共线时等号成立， 在，， ∴的最小值为． 故答案为：． 7．（2024·四川德阳·模拟预测）在一次数学探索活动中，老师带领同学们研究了一次函数的系数k，b与图象的关系．为了更直观地理解这一关系，老师给出了直角坐标系中的三个特殊点：,．老师要求同学们尝试画出经过这三个点中任意两个点的一次函数图象．同学们通过计算得到了三个一次函数的表达式：．接着，老师提出了一个有趣的问题：分别探究的值，则其中最大的值等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．分别求出三个函数解析式，然后求出，进行比较即可解答． 【详解】解：设过，则有： ， 解得：， 则； 同理：， 则分别计算，的最大值为值． 故答案为：5． 8．（2024·四川达州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中的三个点：，，，经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，，分别计算的值，其中最小的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，不妨设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，根据点的坐标，利用待定系数法，可求出的值，将其代入中，比较后即可得出结论． 【详解】解：不妨设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴； 将，代入得：， 解得：， ∴； 将，代入得：， 解得：， ∴． ∵， ∴其中最小的值等于． 故答案为：． 9．（2024·四川成都·二模）如图，在正方形，点，在射线上，，则最大值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式是解决问题的关键．过点E作交于G，过点G作于H，设，正方形的边长为，，其中，证先，再证和全等得，然后证得，则，，进而得，则：，依题意得关于x的方程有两个实数根，得到根的判别式，得，由此解得，据此可得k的最大值，进而可得的最大值． 【详解】解：过点E作交于G，过点G作于H，如下图所示： 设，正方形的边长为，，其中， ，， ， 四边形为正方形，， 又， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 整理得∶， 依题意得关于x的方程有两个实数根 根的判别式 ， 将上式两边同时除以，得：， 整理得：， ， ， ， 的最大值为， 的最大值为． 故答案为：． 10．（2024·四川南充·二模）如图，抛物线的顶点为M，点A是抛物线上异于点M的一动点，连接，过点M作交抛物线于点B，则点M到直线的距离的最大值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，解题的关键是灵活运用相关知识． 如图，轴于轴于于，设4)，直线的解析式为：，利用待定系数法得到，又因为，则，推出，则，所以，则，得到，当时，即2时，，则直线必过定点，根据垂线段最短可知，点到直线的距离小于等于，故点到直线的最大距离为1． 【详解】解：如图，轴于轴于于， ∵ ∴ 设，直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 当时，即时，， ∴直线必过定点，根据垂线段最短可知，点到直线的距离小于等于，故点到直线的最大距离为1． 故答案为：1． 11．（2024·四川南充·二模）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，先利用求出直线解析式为：，再求出，根据点在线段上可得，再表示出，问题得解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴将代入，有：， 解得：， 即直线解析式为：， 当时，，即， ∵点在线段上，点在直线上， ∴，，且， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，且为， 故答案为：． 题型四：函数中找规律类问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2024·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，先证明是等腰直角三角形，同理可得：均为等腰直角三角形，依次求出的坐标，找出其坐标的规律即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，， 是等腰直角三角形，， ， 是等腰直角三角形， 同理可得：均为等腰直角三角形， ， 根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形， 依次可得： 由此可推出：点的坐标为． 故答案为：． 2．（2024·四川达州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴交于A、B两点，以为边作等边△ABC，将等边△ABC沿射线方向作连续无滑动的翻滚．第一次翻滚：将等边△ABC绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边△ABC绕点顺时针旋转，使点落在直线上，当等边△ABC翻滚2024次后点的对应点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实际操作理解等边经过第次翻转与第次翻转后点处在同一个点．先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：， ∵直线l：与两坐标轴交于、两点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 如图，等边经过第次翻转后，， 过点作轴于点，则，    ∵， ∴， ， 等边经过第次翻转后，， 等边经过第次翻转后，点仍在点处， ∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位， ∵，第次与第次翻转后点处在同一个点， ∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位， ∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是， 故答案为：． 3．（2024·四川广安·模拟预测）在直角坐标系中，直线与x轴交于点，在直线上取点，使，过点作轴，交直线于点，接着在直线上点的上方取点，使，过点作轴，交直线于点．．．按此操作一直进行下去，则的纵坐标为 ．   【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，等边三角形的性质，解直角三角形等．过作于A，过作于B，过作于C，根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，可得的纵坐标为，的纵坐标为，进而可得的纵坐标为，由此可解． 【详解】解：如图所示，过作于A，令，则，解得，则，令，则，即，∴，∴，∵点在直线上，∴设，则，∴，∴，∵，∴是等边三角形，， 即的横坐标为，的纵坐标为， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， 过作于B，则， 即的横坐标为，的纵坐标为， 过作于C， 同理可得，，， 即的横坐标为，的横坐标为， 同理可得，的纵坐标为， 由此可得的纵坐标为， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 4．（2023·四川内江·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在x轴上，顶点在直线上，若正方形的对角线，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，能根据点和的坐标得出直线的函数解析式并依次求出点，的坐标是解题的关键． 根据题意可求出点和的坐标，进而得出直线的函数解析式，再依次求出点，的纵坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：分别过点作轴的垂线，垂足分别为和， ∵四边形和四边形是正方形，且， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将和的坐标代入得，， 解得， ∴直线的函数解析式为． 过点作轴的垂线，垂足为， 设， ∴点坐标可表示为，将点坐标代入直线函数解析式得，， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得， 点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为． 故答案为：． 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点，，，，，…所在直线与x轴交于点，点，，，，…都在x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形的腰长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化．熟练掌握等腰直角三角形的性质，正切的定义，探究规律，是解题的关键． 过点作轴于，过点作轴于，设，根据，进而分别计算出，，，……，推出，即可求解． 【详解】过点作轴于，过点作轴于，设， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∴， 同理，，， ∴， 解得，， ∴， …， 归纳得，， ∴． 故答案为：． 6．（2024·四川乐山·模拟预测）如图是直线在第一象限内的一部分，其上有一点，且．过作轴于，以为圆心，为半径作弧交于点，过作于，以为圆心，以为半径作弧交于点；过作于；……，如此重复下去．则： （1）的纵坐标是 ； （2）的纵坐标是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查锐角三角函数，一次函数，勾股定理，圆的基本性质，勾股定理等知识，解题的关键是根据图形得到规律，进行解答，即可． 【详解】解：过点作交轴于点，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ∵以为圆心，为半径作弧交于点，过作于，以为圆心，以为半径作弧交于点；过作于，……， ∴，，，……， ∵点在直线， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，以为圆心，，， 以为圆心，，， 以为圆心，，， 以为圆心，，， ， ∴以为圆心，，， ∴， ∴的纵坐标为；的纵坐标为． 故答案为：；． 7．（2024·四川达州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提． 由一次函数与反比例函数的图象交于点,可得；易得是等腰直角三角形，则分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为 ,则是等腰直角三角形，设则则 在反比例函数上，可得的值，求出点的坐标，同理可得的坐标，以此类推，可得结论. 【详解】解：如图，分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为.    ∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴联立 ，解得 ， ∴点的坐标为. ， ， ∴是等腰直角三角形. ， ， ， 设 则 ∴点 的坐标为， ∵点在反比例函数上, ， 解得或(负值舍去). ∴点的坐标为 ； ， ， ， ， ， 设 则 ∴点的坐标为 ∵点在反比例函数 上, ， 解得 (负值舍去). ∴点的坐标为； 同理点的坐标为； 以此类推，可得点的纵坐标为， 故答案为：． 8．（2025·四川·模拟预测）如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，，在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，则为正整数）的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．由题意，，，，，都是等腰直角三角形，想办法求出，，，，，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论． 【详解】解：由题意，，，，，都是等腰直角三角形， ， ，设， 则有， 解得， ， 设，，则有， 解得， ， 同法可得，， ， ， 故答案为：． 9．（2025·四川资阳·一模）如图，已知，，，，都是等边三角形，点，，，都在轴上，点，，，都在直线上，设点的纵坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点，设直线与轴交于点，先求出，，根据三角函数得出，然后由等边三角形的性质和三角形外角性质可得，然后由勾股定理得出，即点的纵坐标为，同理点的纵坐标为，点的纵坐标为，故有点的纵坐标，然后代入求值即可． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点，设直线与轴交于点， 当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理：点的纵坐标为，点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标， ∴， 故答案为：． 10．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的函数解析式为，点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，按照这样的规律进行下去，点的横坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 由条件可知， ∴， ∵，， ∴， 由条件可知， ∴由勾股定理得：， ∴， 同理，， ∴， 同理，， ， ⋯⋯ ∴， 即点的横坐标是， 故答案为：． 题型五：函数中新定义类问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）平面内，对于图形与点，给出如下定义：图形绕点逆时针旋转得到图形，若图形与图形有重叠，则称图形关于点“逆垂相关”．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点分别是，．若以为圆心，为半径的上存在点，使线段关于点“逆垂相关”，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了圆的基本性质，坐标与图形．根据题意可得当过点B时，r取得最小值，当过点A时，r取得最大值，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当过点B时，r取得最小值，当过点A时，r取得最大值， 当过点B时，如图， ∵，， ∴， 此时； 当过点A时，连接， ∵，， ∴， 此时， 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 2．（2025·四川成都·二模）定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的平移和二次函数的最值问题，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点． 根据二次函数的平移得出，当时，，当时，，当时，，然后分三种情况分析，结合函数草图及二次函数的性质求解即可． 【详解】解：函数的图象向上平移个单位，得到的函数解析式为， 当时，， 当时，， 当时，， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，此时，在对称轴右侧，即，即， ∴， 此时，不等式组无解，不符合题意； 当时， 此时，，即，，即， ∴， ∴， ∴， , 解得：， ∴； 当时， 此时，，即， ，即， ∵ ∴， ∴， ∴， , 解得：， ∴； 综上可得：或， 故答案为：或． 3．（2025·四川泸州·一模）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点M在边上，且，若在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为 【答案】或或 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． 解题的关键是知道“智慧三角形”指的是直角三角形． 由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，因为不确定哪个角是直角，所以分情况讨论，或，设设点，则则，，根据勾股定理求出，，，根据或，可以得到这三条边的关系，解之即可． 【详解】解：如图，是“智慧三角形”，是中线，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形， ∵矩形中，，，， ∴，，，， ∴， 设点，则，， ①若，如图， 在中， 在中， 在中，， ∴， 解得， ∴； ②若，如图， 由①知： 整理得， 解得或 ∴或 综上，P的坐标为或或， 故答案为：或或． 4．（2023·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线分别交于点A，B．直线与交于点C．记线段，，围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域W内没有整点，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数中交点的计算，掌握一次函数图象的性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，直线过第二、三、四象限，直线，；当，直线过第一、三、四象限，直线，；由题意作图分析即可求解． 【详解】解：当时，直线过第二、三、四象限，直线，，如图所示， ∴区域内必有原点，不符合题意，舍去； 当，直线过第一、三、四象限，直线，，如图所示， ∴当时，，即， 当时，， 解得，，即， 当时，，即在直线的图象上，不在区域内， ∵，， ∴区域内，横坐标的范围是从到，不存在整点，纵坐标的范围从到，不存在整点，符合题意； 当时， ∴， 同理，，，， ∴当时，，，， 当时，，，， ∴当时，存在整点，当，不存在整点； 当时，如图所示， 横坐标为的边界点为和，线段长为， ∴区域内有整点，不符合题意； 综上所述，或时，区域内没有整点， 故答案为：或 ． 5．（2022·四川成都·一模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了阅读运用新知识能力，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．作于G，作于K，由得，从而，即可 求得结果． 【详解】解：如图，作于G，作于K， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设，得到，根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论即可． 【详解】，， ，， 设，则：， 点在直线上， 当是等腰三角形，分两种情况： ①当时，过点作，则：， ， 两点重合， ， ， ， ； ②当时，过点作，则：， ， ， ， ， ， 故答案为：或． 7．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若x，y满足，（k为常数），且，则称点为“优点”．若是“优点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“优点”，则的取值范围为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征以及新定义问题，根据“优点”定义得出，进而计算即可得出的值，求出直线解析式，根据二次函数的性质并结合题意，计算即可得答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由“优点”定义可知，， 解得或6． 由题意可知，． ∴． ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴直线上的点都是“优点”． 对于直线，当时，；当时，． 设，． 由题意可知，抛物线上至少存在一个“优点”，即转化为抛物线与直线至少有一个交点． 如图1，当抛物线与有且只有一个交点时，联立， 整理，得． ∴． 解得， 此时取得最小值． 如图2，当抛物线过点A时，． 解得， 此时取得最大值． ∴的取值范围为． 故答案为6，． ． 8．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，根据“积和点”定义可得，再由唯一一个“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解． 【详解】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：， 代入得：， 整理得：， 由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，． 故答案为：0或4． 9．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及到新定义，一次函数的图象，解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想． 先求出点C、D所在的直线表达式为，当时，还出抛物线与直线的大致图象，联立直线和抛物线的表达式，用a的代数式表示出x，根据x的范围求出a的范围，还需考虑根的判别式；当时，不成立． 【详解】解：设二次函数图象上的两点为点C、D， 题意得点 的“跳跃点”为，将代入， 得：， ∴，则点C在直线上，同理点D也在直线上， 对于二次函数， 令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交于和， 当时，抛物线与直线的大致图象如图： 直线也经过，设为点D，另一个交点设为点C， 则联立直线和抛物线的表达式得到， 则， 则，解得， 则，而， ∴ ， ∴， 对于，化简为：， 而直线和抛物线在时有两个交点，故 ∴ ∴， ∴且； 当时，如图： 直线不可能与抛物线在时有两个交点，故舍， 综上：且． 10．（2024·四川广元·三模）在平面直角坐标系中， 对于点，，若 则称点A和点B互为 “等距点”. 已知点M是以O为圆心，为半径的圆上一点，若反比例函数图象上存在点M的等距点N，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】如图，作轴，于，令直线与轴的夹角为，则，由，可求，如图，作直线，在直线上取点，作轴于，由，可得，即直线与轴的夹角为，在直线上，如图，当反比例函数在第一、三象限时，即，直线与的交点，均能使反比例函数图象上存在点M的等距点N；当反比例函数在第二、四象限时，当与相交时，能使反比例函数图象上存在点M的等距点N；如图，记与的交点为，设，可求，将代入可求，，即此时，． 【详解】解：如图，作轴，于， 令直线与轴的夹角为，则， ∴，即， ∴， 如图，作直线，在直线上取点，作轴于， ∴， ∴，即直线与轴的夹角为，在直线上， 如图，当反比例函数在第一、三象限时，即，直线与的交点，均能使反比例函数图象上存在点M的等距点N； 当反比例函数在第二、四象限时，当与相交时，能使反比例函数图象上存在点M的等距点N； 如图，记与的交点为，设， ∴， 解得，， ∴， 将代入可求，， ∴此时，； 综上所述，或， 故答案为：或． 11．（2024·四川成都·二模）若点的坐标满足其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据题意列出方程组，解方程组得到，依据条件得到，整理出的代数式按照自变量取值范围确定的范围即可． 【详解】解：双曲线上存在“好点”， ， ①②得：， ， ， ， 整理得：， ， ． 故答案为：． 12．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象和性质，直线与圆的位置关系； 设，则，可得，进而得当直线与半圆相切时，，当直线过点时，，进而得到答案 【详解】解：设，则 ∵B在直线上， ∴，即， ∵点A在x轴的上方，且， ∴， ∴是直线与半圆的交点， 当直线与半圆相切时， ∴中，，即， 当直线过点时，， ∴ 故答案为： 题型六：函数中双空类问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2023·四川成都·一模）如图，反比例函数的图形过点A，反比例函数的图象与直线交于点B，C，已知，则 ；过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点D和E，连接交y轴于G，连接交x轴于点F，当的面积为1时， ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何综合，求一次函数解析式，三角形面积的计算，相似三角形的判定与性质，延长交x轴于点N，过点B作轴于点M，证明，得出，求出，设点且，则，，求出点B的坐标，从而得出点C的坐标，求出直线的解析式，得出，求出直线的解析式，得出，根据面积列式求解即可得到答案； 【详解】解：延长交x轴于点N，过点B作轴于点M，如图所示，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点且，则，， ∵， ∴， ∴， ∴点坐标为 ∵、两点是正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点， ∴与关于原点对称， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得， ，解得：， ∴的解析式为：， 把代入得，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得，， 解得：， ∴， ∵的面积为1， ∴， 即：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：，． 2．（2024·四川成都·二模）对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数，我们称之为分段函数，它是一个函数，而不是几个函数，习惯上，我们会把每段的自变量的取值范围写在该范围内满足的解析式后面．现有分段函数（其中m是常数，且），该函数的图象记为G．当时，图象G与x轴的交点坐标为 ；若直线与G恰有两个交点，则m的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质综合，熟练掌握二次函数与直线、坐标轴的交点求法是解题的关键．令，即可求出图象与轴的交点坐标；根据两个二次函数的特征及整个图象是分轴两侧且开口相反的图象可得有两个交点即直线恰好过两个二次函数图象其中一个的顶点，即可解答． 【详解】解：当时，函数， 令，则，， 解得：，， ∵， ∴， 方程中，， 即方程无解， ∴当时，图象G与x轴的交点坐标为； ∵， ∴函数的顶点为， ∵， ∴函数的顶点为， 当或时，直线与G恰有两个交点， 由，解得， 由，解得， ∴若直线与G恰有两个交点，则m的值为或， 故答案为：；或． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，新定义一种变换：使平面内的点对应的像为，其中a、b为常数．已知点经变换后的像为． （1）计算： ； （2）若线段，则经变换后线段的长度为 ．(其中分别是线段 O、P经变换后的像．点 O 为坐标原点)． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，读懂题目信息，理解新定义的变换规则是解题的关键． （1）根据新定义的变换，列出方程组，求出、的值即可； （2）根据两点之间的距离公式，求出的长度即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， ， 故答案为：； （2）由（1）知：，， ， ， 故答案为：． 4．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为： ．若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则 ； 已知正方形的顶点分别为，，，，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则n的取值范围为 ． 【答案】 或或 【分析】本题考查二次函数及反比例函数的综合应用；理解并运用新定义“迭代函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．根据题意可得，关于直线的对称点在原抛物线上，代入即可得出的值；根据题意，作出此“迭代函数”，结合图象可得出结论． 【详解】解：根据题意可得，关于直线的对称点在原抛物线上， ∴，解得； 如图3﹣1，当时，此迭代函数与正方形有5个交点， 如图3﹣2时，当时，此迭代函数与正方形有4个交点，符合条件； 如图3﹣3时，当时，此迭代函数与正方形有4个交点，符合题意； 当时，此迭代函数与正方形有3个交点，其中一个交点坐标为； 如图3﹣4，当时，此迭代函数过点D，迭代函数与正方形有5个交点， 当时，迭代函数与正方形有5个交点，符合题意； 故答案为：；或或 5．（2024·四川乐山·一模）当，是正实数，且满足时，就称点为“友谊点”．已知点与点都在直线上，点、是“友谊点”，且点在线段上． （1）点的坐标为 ； （2）若，，则的面积为 ． 【答案】 / 【分析】（1）由变式为，可知，所以在直线上，点在直线上，求得直线：，进而求得； （2）根据直线平行的性质从而证得直线与直线垂直，然后根据勾股定理求得的长，从而求得三角形的面积． 【详解】解：（1）∵且，是正实数， ∴，即， ∴， 即“友谊点”在直线上， ∵点在直线上， ∴， ∴直线：， ∵“友谊点”在直线上， ∴由 解得， ∴， 故答案为：； （2）∵一、三象限的角平分线垂直于二、四象限的角平分线，而直线与直线平行，直线与直线平行， ∴直线与直线垂直， ∵点是直线与直线的交点， ∴垂足是点， ∵点是“友谊点”， ∴点在直线上， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2024·四川乐山·二模）对于两个已知图形、，在上任取一点P，在上任取一点Q，当线段的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形、的“密距”．解决下面的问题：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，矩形的对称中心为点O． （1）线段和的“密距”是 ； （2）设直线与x轴、y轴分别交于点E、F，若直线与矩形的“密距”是1，则b的值是 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查的是一次函数与两点间的距离和点到直线的距离，理解定义，根据题意画出图形是解题的关键． （1）线段与的“密距”是或的长度； （2）先求得直线的解析式，根据矩形性质及三角形内角和求出直线与垂直，根据“密距”的定义得出，延长交直线于点，得出；由，列式求解即可． 【详解】解：（1）∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， 如图： 由垂线的性质可知：线段与的“密距”是， 故答案为：6； ②当直线过一、二、四象限时，如图， 当时，，当时，， ∴ ∴； ∵, ∴, ∴,， ∴, ∴， 延长交于点，延长交直线于点P， ∴轴， ∴ ∴, 又 ∴ ∴， ∴是直线与矩形的“密距”， ∴； 把代入得，， 解得，， ∴ 又 ∴ ∴, ∴, 解得，； 当直线过二、三、四象限时，如图，同理可得，， 综上，的值为； 故答案为：． 7．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，已知双曲线把分成、两部分，且与分别交于点C、D． （1）连接，若则点D的坐标为 ； （2）若内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数解析式、反比例函数与几何综合以及图象中的整点问题．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质以及数形结合的思想． （1）由，可求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入求得的值，然后可得反比例函数解析式，设直线的解析式为，将点坐标代入求得的值，然后可得直线的解析式，联立反比例函数与直线的解析式，求得合适的的值，然后代入反比例函数解析式求解可得点坐标； （2）由题意知，中共有7个不含边界的整点，分别为，根据题意确定和内的点坐标，然后确定的取值范围即可． 【详解】解：（1）根据题意可得， ∴， 解得：， ∴， ， 将代入得， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立两个解析式得， 解得：， ， ， 将代入得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：由题意知，中共有7个不含边界的整点，分别为， ∵内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为， ∴内点坐标为内点坐标为， 由第二象限的反比例函数图象越靠近原点越大可得， 故答案为：． 8．（2025·四川成都·一模）若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数图象及性质，依据题意结合函数增减性及最值思考是解决本题的关键．根据题意把和代入相减得到，求出结果即可；把和代入求出解析式为，继而得到对称轴为，再分为和，根据题意分情况讨论即可得到本题答案． 【详解】解：把和代入可得：， 两式相减得， 即， ∵， ∴； 把和代入得， 解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线， 当时，则， 若时，即， 在范围内，y随x的增大而减小， 则当时，取最大值，最大值为； 当时，y取最小值，最小值为； 即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义； 当，即， 最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义； 当时，则， 若时，即， 在范围内，y随x的增大而减小， 则当时，取最大值，最大值为； 当时，y取最小值，最小值为； 即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义； 当，即， 最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义； 综上所述，a的取值范围为或． 9．（2025·四川·二模）在平面直角坐标系中，设，，令，，定义线段的“投影值”为m，n中的较大者（若，则“投影值”为m）．例如，，因为，，所以线段的“投影值”为6．已知，若点B在第一象限且在直线上，线段的投影值为5，则点B的坐标为 ；若动点C在抛物线上，则线段的“投影值”的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义，二次函数的应用，根据点B在第一象限且在直线上，设，进而得到线段的投影值为，求出的值，进而得到点坐标，设，得到，，进而得到时，线段的投影值为，时，线段的投影值为，求出时的最小值，即为所求． 【详解】解：∵点B在第一象限且在直线上， ∴设， ∵， ∴，， ∵， ∴线段的投影值为， ∴， ∴， 设， 则：，， 当时，线段的投影值为， 当时，线段的投影值为， 当时，解得：或， ∵， ∴当时，线段的投影值最小为，当时，投影值大于， 故线段的“投影值”的最小值为； 故答案为：，． 10．（2023·四川乐山·模拟预测）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为， （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ； （2）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的P 点坐标 【答案】 或 【分析】本题是一次函数的综合题，理解定义，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据题意，联立，即可求解； （2）由题意可知直线与直线平行，则有，在求出，，设，由，可得，即可点坐标． 【详解】解：（1）联立， 解得， 一次函数的“不动点”为， 故答案为：； （2）直线上没有“不动点”， 直线与直线平行， ， ， ，， 设， ， ， ， ， ， 或， 或． 故答案为：或 11．（2023·四川成都·模拟预测）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动．如图2所示，此时液面宽度为 cm，液面到点所在水平地面的距离是 cm 【答案】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得出，，，的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，所以旋转前与水平方向的夹角为，即，求出与轴的交点坐标，把点、代入求出直线的解析式，水面到平面的距离实际就是点到直线的距离，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，根据题意可得 是等腰直角三角形，由此可得出点的坐标，用两点间的距离公式求出点到的距离． 【详解】解：如图1，以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得：，，，， 设抛物线的解析式为：， 将，，代入得：， 解得：， ； 根据题意可知，， 设与轴的交点坐标， 是等腰直角三角形， ， ， 直线的解析式为：， 令， 解得（舍）或， ． ， 水面到平面的距离实际就是点到直线的距离，如图1，过点作的垂线交于点， 过点作轴的平行线，交直线于点， 是等腰直角三角形， ， ． ． 过点作于点， 是的中点，且， ， ． ． 故答案为：，． 12．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对封闭图形和不重合的两点，给出如下定义：点关于点的中心对称点为，若点在图形内（包含边界），则称图形为点经点投射的“靶区”．如图，拋物线与轴的交点A，位于原点两侧（点A在点的左侧），且，则抛物线的函数表达式为 ，记轴上方的拋物线与轴所围成的封闭图形为，点为轴上一动点，若直线上存在点，使得图形为点经点投射的“靶区”，则的取值范围是 ．    【答案】 ； 且． 【分析】由，以及抛物线的对称轴，可得出点的坐标，进而求出函数表达式；求出直线关于轴的对称直线，再由对称直线与封闭图象的交点，可求出的取值范围． 【详解】解：由题知， 抛物线的对称轴为， 令，又，两点关于对称， 所以，则． 所以，． 又， 所以，得． 故． 将点坐标代入抛物线解析式得，，则． 所以抛物线的函数表达式为． 直线关于轴的对称直线为，    记直线与封闭区域的交点为，， 则，解得或． 故． 所以的取值范围是且． 故答案为：，且． 题型七：函数中交点类问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川泸州·三模）已知函数在时与轴有且仅有一个公共点，则参数的取值范围是（   ） A．或或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，注意数形结合是解题的关键． 分类讨论，当时，此时为一次函数，根据一次函数的图象得到符合题意；当时，为二次函数，与轴有且仅有一个公共点，根据求出，再进行检验判断即可；再讨论当和，看与y轴的交点位置求解即可． 【详解】解：当时，函数为，图象经过第一、二、四象限，与x轴交点在x轴正半轴，符合题意； 当时，， 解得：， 当时，对称轴为直线，符合题意； 当，对称轴为直线，不符合题意； 当时，如图： 对称轴在轴左侧，且当时，函数值小于0， ∴， 解得：； 当时，对称轴，函数值大于0恒成立，符合题意，如图： 综上所述：或或， 故选：A． 2．（2024·四川南充·模拟预测）关于二次函数，有下列四个结论： ①对任意实数m，都有与对应的函数值相等； ②若时，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或； ④若，则一元二次方程一定有两个实数根． 以上结论，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴利用中点坐标公式即可判定①；分和两种情况，根据二次函数的图象与性质，确定出当时，函数值的取值范围，由题意即可求得a的取值范围，从而判定②；当时，，则；由，则当时，即对称轴右边到对称轴的距离为3时自变量值，此时得对应函数值；分和两种情况，分别得到和，解两个不等式组即可判定③；对于方程，有；当，且时，，原方程一定有两个不相等实数根；，但，则不一定成立；故可判定④；从而可确定最后答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ，故①正确； 当时，；当时，；当时，； 若，则，对应y的整数值有4个分别是， ， ； 若，则，对应y的整数值有4个分别是， ， ； 综上，时，对应的y的整数值有4个， 则或；故②错误； 当时，，则， 若，抛物线与x轴交于A、B两点，， 当时，， ，解得：， 若，抛物线与x轴交于A、B两点，， ∴当时，， ，解得：； 若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或，故③正确； 对于一元二次方程，有， 若，且，则成立，原方程一定有两个不相等实数根； 若，但，则不一定成立；故④错误． 综上，正确的有①③， 故选：B． 3．（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键． 先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可． 【详解】由二次函数的对称轴可知，是该函数的对称轴， 当函数与直线相交时，有解， 整理得， 根据根的判别式， 解得或， 因为， 所以或，且时，二次函数与有唯一的交点． 若函数与B点相交时，将代入得， 解得，则此时如下图： 函数恰好与线段有两个交点，所以根据图象，当时抛物线与线段只有一个交点，解得； 若函数与A点相交时，把代入得， 解得， 则此时如下图： 函数恰好与线段有一个交点，根据图象当时，抛物线与线段也只有一个交点， 解得． 综上所述或或， A． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； B． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； C． 因为，所以a的值不可能是，正确，故该选项不符合题意； D． 因为，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（2024·四川泸州·一模）抛物线与轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线与轴有交点，可得，可求或，对称轴为直线，当时，抛物线的对称轴在直线左侧，抛物线图象如图1，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，抛物线的对称轴在直线右侧，抛物线图象，如图2，当时，，计算求出满足要求的解，然后作答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴有交点， ∴， 解得，或， ∴对称轴为直线， 当时，抛物线的对称轴在直线左侧， ∴在对称轴的右侧，抛物线图象如图1， ∴当时，， 解得，； 当时，抛物线的对称轴在直线右侧， 抛物线图象，如图2， ∴当时，， 解得，； ∴； 综上所述，或， 故选：B． 5．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知，两点，连接，设线段的长为，若点在二次函数的图象上，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数图象上点的坐标特征得，则，，继而得到，推出，再根据二次函数的最值、并计算当时和当时的函数值，即可得出结论． 【详解】解：∵，，且点在二次函数的图象上， ∴， ∴，， ∴， ∵在内始终为正数， ∴， ∵， ∴函数的图象开口向下， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，的取值范围是． 故答案为：． 6．（2025·四川成都·一模）我们把a，b，c三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的取值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的性质以及中位数的概念，注意数形结合思想的应用是解题的关键． 根据题意画出函数的图象，要使直线与函数的图象有且只有2个交点，只需直线经过和经过之间，以此进行分析即可． 【详解】解：函数的图象如图所示， ∵直线与函数的图象有且只有2个交点， 当直线经过点时， 则， 解得：， 当直线经过点时， 解得：， 当时，平行于， 与函数的图象也有且仅有两个交点； ∴直线与函数的图象有且只有2个交点， 则k的取值为：或． 故答案为：或． 7．（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法将二次函数的解析式转化为只含参数的解析式，根据抛物线的开口向上，与轴有两个交点，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴，解得：， ∴， ∵抛物线的开口向上，且与轴有两个交点， ∴，解得：或； 故答案为：或． 8．（2024·四川成都·一模）如图，已知，直线l：经过点，点O关于直线l的对称点落在三角形内（不含边界），则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、坐标与图形等知识点，确定临界点是解题的关键． 由轴对称的性质可得点在以点M为圆心，的长为半径的上，当点落在三角形内（不含边界）时，点落在与，的交点之间的弧上，因此确定临界点，①点在线段上，②在点在线段上，求出点的坐标，进而求得的中点N的坐标，进而根据待定系数法即可解答． 【详解】解：如图，设直线l：经过的点为点M，则 ∵点与点关于直线l对称， ∴ ∴点在以点M为圆心，的长为半径的上． 当点在上时， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在线段上， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， ∴，（舍去） ∴， 连接，交直线l于点N，则点N是的中点， ∴， ∵直线l：过点，， ∴，解得． 当点在上时， 可得过点，的直线的解析式为， ∵点在线段上， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， ∴，（舍去） ∴， ∴的中点N的坐标为， ∵直线l：过点，， ∴，解得． 综上，点落在三角形内（不含边界），b的取值范围是． 故答案为：． 9．（2024·四川德阳·三模）如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图像当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 (a,b,c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，然后求出直线与相切b的值，直线过A和过B点所对应的b的值，再利用图象可判断直线与此图象有且只有两个公共点时b的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，则， ， 则顶点坐标为， 把图象沿x轴翻折所得图象的解析式为， 如图， 当直线与相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时有两个相等的实数解， 方程整理得，， 解得， ∴当时，直线与图像恰有两个公共点， 当直线过时，，解得， 当直线过时，，解得， 所以，当时，直线与此图象有且只有两个公共点． 综上可知，当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是或． 故答案为：或． 10．（2024·四川南充·二模）如图，将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，原抛物线轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线与新函数的图象有三个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或者 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合， 如图所示，过点A的直线与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点E处相切，此时与新图象也有三个公共点，准确画出图形，问题随之得解． 【详解】解：如图所示，过点A的直线与新图象有三个公共点，将直线向上平移到恰在点E处相切，此时与新图象也有三个公共点， 令， 解得：，， ∴，， ∵将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方， ∴翻折之后的二次函数的解析式为：， 将一次函数与二次函数联立得：， 整理得：， 令， 解得：， 当一次函数过点A时，将代入得：， 解得：， ∴若直线与这个新图象有3个交点，则b的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 11．（2024·四川广元·二模）如图，已知点，，反比例函数 的图象的一支与线段有交点，则符合条件的k的整数值共有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．把点，代入即可得到的值，从而得结论． 【详解】解：由图可知：， ∵反比例函数的图象与线段有交点，且点，， ∴把代入得，， 把代得，， ∴满足条件的值的范围是， ∴满足条件的k的整数值为3，4，5，6，7，8，9，共7个， 故答案为：7． 第 1 页 共 133 页 学科网（北京）股份有限公司 $$