第5章 特殊平行四边形（基础类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第5章 特殊平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、添加条件使四边形成矩形 【解惑】如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，由矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，原选项不符合题意； 、添加不能够判定平行四边形为矩形，原选项不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，原选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，原选项符合题意； 故选：． 【融会贯通】 1．在中，和是其对角线．若添加一个条件使四边形是矩形，则这个条件可以是（    ） A．与互相平分 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩行的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A.与互相平分，不能得到四边形是矩形； B.，能得到四边形是矩形； C.，四边形是菱形而不是矩形； D.，不能得到四边形是矩形； 故选：B． 2．在四边形中，．若要再添加一个条件，使四边形是矩形，那么添加的条件可以是 ，也可以是 ． 【答案】 【分析】本题主考查矩形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据题意可得四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴添加的条件可以是：； ∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴添加的条件可以是：； 故答案为：①；②． 3．如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键．依据矩形的判定定理进行判断即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴当时， 是为矩形， 故答案为∶ （答案不唯一）． 类型二、添加条件使四边形成菱形 【解惑】在下列条件中选取一个条件，不能使平行四边形成为菱形的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】此题重点考查菱形的判定，根据菱形的判定方法和矩形的判定对各个选项逐一判断即可． 【详解】解：A．，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则是菱形； B．，根据对角线相等的平行四边形是矩形，则是矩形； C．因为平分且，所以，所以，则是菱形； D．，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则是菱形； 故选：B． 【融会贯通】 1．菱形的对角线与相交于点O，E，F是所在直线上的两个不同的点，位于点O的两侧，则下列条件中，不能得到四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．根据菱形的性质得到是线段的垂直平分线，结合四个选项，逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， 添加，不能判定， ∴不能得到四边形为菱形，故选项A错误，符合题意； ∵四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， 添加， ∴， ∴， ∴， ∴能得到四边形为菱形，故选项B正确，不符合题意； 添加， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴能得到四边形为菱形，故选项C正确，不符合题意； 添加， 又∵，， ∴能得到四边形为菱形，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 2．如图，的对角线与交于点，请你添加一个条件使它是菱形，你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，故添加， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定、三角形中位线的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定方法成为解题的关键． 先根据三角形的中位线得到可得四边形是平行四边形；再根据菱形的判定可知，即可解答． 【详解】解：∵中，E、F、D分别是上的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是菱形，则， ∴，即． 故答案为：． 类型三、添加条件使四边形成正方形 【解惑】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【分析】本题主要考查特殊四边形的关系，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．根据四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 邻边相等的矩形是正方形，故选项B错误，符合题意； 邻边相等的平行四边形是菱形形，故选项C正确，不符合题意； 有一个角是直角的菱形是正方形，故选项D正确，不符合题意； 故选B． 【融会贯通】 1．在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定性质得出四边形是矩形是解决问题的关键．一组邻边相等时矩形为正方形．对角线垂直的矩形是正方形． 根据四边形中，，得出四边形是矩形，进而利用正方形的判定定理得出需要添加的条件．一组邻边相等时矩形为正方形． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 当一组邻边相等时，矩形为正方形，这个条件可以是：． 故选：A． 2．四边形是菱形，只须补充条件 （用字母表示）就可以判定四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一，如：或或或） 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法即可求解． 【详解】解：由于四边形是菱形，则添加或或或或就可以判定四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一，如：或或或）． 3．如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件． 【详解】解：点D，E，F分别是边的中点， ，且，，且， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 添加的条件可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 类型四、中点四边形 【解惑】如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分； ②若，则四边形为矩形； ③若，则四边形为菱形． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，结合平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点， ∴，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分；故①符合题意； 若，则， ∴平行四边形是矩形，故②符合题意； 若，则， ∴平行四边形是菱形，故③符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形……如此进行下去，得到四边形．给出下列结论：①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长是；④四边形的面积是．其中，正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后对选项作出分析判断： 【详解】解：①连接，， ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（矩形的两条对角线相等）； ∴（三角形的中位线定理）， ∴四边形是菱形； 同理继续连接，四边形是矩形； 故①②正确； ③每次连接新四边形，其边长是上一个四边形对应边长的一半, 经过次连接得到四边形 ，根据中位线的性质得， ， ， ∴四边形的周长是，故③正确； ④∵四边形中，，，且， ∴； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形的面积是，故④正确； 综上所述，①②③④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线定理、菱形和矩形的判定与性质，解题的关键是理清题意，熟练并灵活运用所学知识点解题． 2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接四边中点所得的四边形是 ． 【答案】矩形 【分析】本题考查了中位线的性质和矩形的判定，解题关键是熟练运用中位线的性质和矩形判定进行推理证明． 【详解】解：如图四边形对角线互相垂直交于点E，点G、H、J、I分别是的中点， 所以，， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：矩形 3．在四边形中，对角线，，顺次连接四边形各边的中点，，，，则所得四边形的形状为 ． 【答案】正方形 【分析】本题考查了中点四边形的性质，三角形中位线的定理，正方形的判定，解题中需要理清思路，属于中档题． 由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形． 类型五、特殊平行四边形的性质求长度 【解惑】如图，四边形是菱形，对角线 交于点 是边的中点，过点作，点为垂足，若，则的长为（    ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，证出四边形是矩形，得到即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ，，， 四边形为矩形， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，，连接，，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接． ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵，，，， ∴，，． 在中 ． ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接，若为等边三角形，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相关性质定理．由四边形是正方形，得，，，利用勾股定理求出的长度，再利用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形，点O为的中点 ，， 在中，由勾股定理得： 为等边三角形 ， 在中，由勾股定理得： 故答案为：． 3．已知：如图，为正方形的对角线． (1)在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）作的角平分线即可． （2）根据角平分线的性质可得，再由是等腰直角三角形，可设，则，然后在中，根据勾股定理可得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴． 由（1）得∶平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 类型六、特殊平行四边形的性质求角度 【解惑】如图，在中，，，将的顶点摆放在矩形的一边上，使得，其中与交于点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是矩形，则，，由平行线的性质可得，然后通过等边对等角得出，，然后由平角定义求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图所示，在正方形的外部作等边三角形，连接，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等边对等角等知识点，解题的关键是熟练掌握正方形和等边三角形的性质． 利用正方形和等边三角形的性质得出的度数，再利用等边对等角求出的度数，利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，三角形是等边三角形， ，, 故选：C． 2．如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的长等于 ，的度数为 ． 【答案】 5 /32度 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形中位线定理，证明出是的中位线是本题的关键． 根据菱形的性质得出，，，根据等边对等角可得，由三角形中位线定理得出． 【详解】 四边形是菱形， ，，， ， 是边的中点，， 是的中位线， ． 故答案为：，． 3．如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形： (2)求的值． (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得，即可解决问题； （3）根据题意，分两种情况分析：当线段与夹角为时，即，当线段与夹角为时，即，交的延长线于点F，结合图形分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴． （3）解：如图，当线段与夹角为时，即， ∴， 如图所示： 由（1）得， ∴， ∴； 当线段与夹角为时，即，交的延长线于点F， ∴， 如图所示： ∴， ∴； 综上可得：或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 类型七、特殊平行四边形的性质求周长与面积 【解惑】小天同学按如下步骤作图： （1）画矩形，使得，连接； （2）分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E，F两点； （3）画直线，分别与交于点、，连接． 则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图和性质、矩形的性质、勾股定理等知识． 利用基本作图可判断垂直平分，则，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，同理可得，然后计算四边形的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ，， 设，则，， ∵四边形是矩形， ∴ 在中，， 解得， 即， 同理可得， 四边形的周长为． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，菱形的周长为，两条对角线长的比为，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理中的方程思想，熟练掌握菱形的面积公式是解决本题的关键．设菱形的对角线分别为、，根据勾股定理列出方程求出，再根据菱形的面积即可求解． 【详解】解：设菱形的对角线分别为、， ∵菱形的周长为， ∴菱形的边长为， 由菱形对角线互相垂直平分的性质及勾股定理得： 解得： ∴菱形得面积平方厘米 故选：D． 2．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，线段垂直平分线的性质等．因为是的垂直的平分线，，，所以四边形是矩形，因为，，能求出，，进而可求出的长，从而求出面积． 【详解】解：∵是的垂直的平分线，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 3．综合与实践主题：神奇的正方形 素材：两个边长不等的正方形卡纸，把两个边长不等的正方形卡纸与如图1所示摆放（点、、在同一条直线上，），点是边上一点，连接，，沿，裁剪之后，被分成①②③三块，拼接成为图2所示的一个正方形图案． (1)若，，则______，______ ． (2)试根据题意判断与是否全等？说明理由． (3)若，，则图2中的图形②（多边形）的面积______（用含、的式子表示） 【答案】(1)； (2)全等，理由见解析 (3) 【分析】（1）图2中正方形的面积等于图1中，两个正方形的面积和；然后再根据正方形的面积公式即可得出的值； （2）全等．利用证明与全等即可： （3）结合（2）的结论可得出结论． 【详解】（1）解：∵由①②③三块拼接成的图2中正方形的面积等于图1中两个正方形的面积和， ∴图2中，正方形的面积为：， ∵由①②③三块拼接成的图2是正方形， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴ 故答案为：；； （2）全等．理由如下： ∵由①②③三块拼接成的图2是正方形， ∴，， ∵图1中的四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）∵四边形是正方形，，， ∴，， 由（2）知：， ∴，， ∴， 图2正方形的面积：， ∴图2中的图形②（多边形）的面积为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的拼剪，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想解决问题． 类型八、证四边形是矩形 【解惑】如图，在中，对角线，相交于点，，点是的中点，过点作，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． （1）根据中，对角线，相交于点，得到，结合点是的中点，得到，根据得证四边形是平行四边形，根据，，得到，于是得证四边形是矩形； （2）根据三角形中位线性求得，再根据勾股定理求长，从而求得长，于是四边形的面积为． 【详解】（1）证明：∵中，对角线，相交于点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【融会贯通】 1．如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，在和利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形； （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 在中，， ∵， ， ， 在中，． 2．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接、和，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点和点之间的距离 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，熟悉掌握矩形的判定是解题的关键． （1）利用平行四边形的判定方法先判定出四边形是平行四边形，再利用对角线相等判定出四边形为矩形即可； （2）连接，利用勾股定理求出的长，利用矩形的性质得到的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵延长至点，使， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接，则点和点之间的距离即为线段的长度． ∵，， ∴， 由（1）可得， ∴在中，． ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，则， 由（1）可得， ∴在中，， ∴点和点之间的距离为． 3．如图，在四边形中，，，对角线和相交于点．请在以下两个条件中：“①；②”，选择一个作为已知条件，再解决下列问题： (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）选择①，先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可完成证明；选择②，先证明四边形是平行四边形，得，然后证明，得，根据两直线平行，同旁内角互补，可知，得，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可完成证明； （2）因为，由，，可求，在中，由勾股定理可求长，根据即可求解． 【详解】（1）选择①， 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； 选择②， 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）得，， ，， ， 在中，， ． 类型九、证四边形为菱形 【解惑】如图，在矩形中，对角线相交于点，，，与相交于点，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定．首先利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，然后利用矩形的性质证明一组邻边相等，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形为菱形． 【融会贯通】 1．如图，在等腰梯形中，，、分别是、边的中点，与相交于点． (1)求证：； (2)连接、，当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，如图所示，由等腰梯形的性质得到，进而由全等三角形的判定定理得到，进而得到，再由三角形中位线的判定与性质得到，等量代换得到，再由等角对等边即可得证； （2）由题意，等量代换得到，由中垂线的判定得到，从而由得到，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合题中条件确定，从而由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，进而得证四边形是菱形． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 四边形是等腰梯形 ． 又， ． ． 是中点， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图所示： ， ， 又是中点， ， 是中点， ， ， 是边中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题是四边形的综合，涉及等腰梯形性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、中垂线的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定、菱形的判定等知识．熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 2．如图，在矩形中，，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据，得出四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，从而可证明四边形是菱形； （2）连接交于点，由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出的长，进而得到，再根据菱形面积计算公式求出答案即可． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形． （2）解：连接交于点， 四边形是菱形，， ， ， ， ． 3．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为80，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得菱形的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可求出的长，再利用勾股定理可求出． 本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ，， 点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， 菱形的面积的面积， 点是的中点， 的面积的面积， 菱形的面积的面积， ∵， ， ， ． 类型十、证四边形为正方形 【解惑】如图，在矩形中，平分，与相交于点，垂足为F．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 先根据矩形以及证明四边形是矩形，再根据角平分线＋平行线得到，即可证明四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）由（1）可知四边形是正方形，得，再由（2）可知，得，即可得，再推出得即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵平分， ∴， ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知四边形是正方形， ∴，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 2．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得到四边形是正方形； （2）先判定，得出，再根据正方形中，，即可得到，即． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于E，交于F， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵正方形中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质的综合应用，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识．解决问题的关键是掌握：有一组邻边相等的矩形是正方形；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 3．在和中，，，，点分别为的中点． (1)当点，分别在，上时，如图①，直接写出四边形的形状． (2)当点不在上时，其位置如图②所示． ①（）中的结论成立吗？请说明理由； ②当___________时，四边形是正方形． 【答案】(1)菱形 (2)①成立，理由见解析；② 【分析】（）利用三角形中位线性质可得，，又由，得，即得，即可求证； （）①连接，可证，得，同理（）可得，，即得，即可求证；②当，四边形是正方形，由三角形中位线的性质可得，，即得，，又由全等三角形的性质得，即可得，即得到，即可求证． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：①成立，理由如下： 如图②，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理（）可得，， ∴， ∴四边形是菱形； ②当，四边形是正方形，理由如下： ∵是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图，菱形的对角线、相交于点O，，则菱形的边长为（    ） A．26 B．20 C．15 D．13 【答案】D 【分析】由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出的长即可． 本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， 即菱形的边长为13， 故选：D． 2．下列命题是假命题的是（   ） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理即可求得 【详解】A．对角线相等的菱形是正方形，此选项是真命题，不符合题意； B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，此选项是真命题，不符合题意； C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项是真命题，不符合题意； D．有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，此选项是假命题，符合题意， 反例：如下图所示：三角形，则对边与相等，对角与相等，但四边形不是平行四边形． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，掌握判定定理是解题关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的，两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线，相交于点．若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，中点坐标公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由，可证是 等边三角形，所以，，然后通过勾股定理求出，则有，，最后由中点坐标公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是 等边三角形， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， ∴，即， 故选：． 4．在中，相交于点O．当时，是 形． 【答案】矩 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，作答即可． 【详解】解：∵，， ∴是矩形； 故答案为：矩． 5．如图，矩形的对角线相交于点O，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，判断出是等边三角形是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分可得，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：在矩形中，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得，． 故答案为：． 6．如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，先根据画图过程得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，设,，则，，在中，由勾股定理求解x值即可解答． 【详解】解：根据画图过程得垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设,，则，， 在中，由勾股定理得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 7．如图，在菱形中，点、分别在、边上，，连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 由菱形性质得，，，，根据全等三角形判定SAS可得，由全等三角形性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵ ∴． ∴． 8．已知，点、点分别在边、上，将矩形纸片沿着折叠，使得 点与点重合． (1)用圆规和无刻度的直尺作出折痕； (2)分别连接，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)24 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求． （2）设交于点O，得，，结合矩形的性质、菱形的判定可得四边形为菱形，则， ，则，可得四边形的面积为． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求： （2）解：设交于点O， 由（1）可得，，． ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴ ∴ ∴， ∴四边形AFCE的面积为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、菱形的判定与性质、矩形的性质、翻折变换（折叠问题），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点O，且，． (1)求证 ； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． （1）由得，即可由证，可得； （2）证明是等边三角形，得，，进而得，再由直角三角形的性质可得，，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 10．如图，已知矩形，，是边延长线上一点，且． (1)如图1，连接，交边于点，以为边在的左下方作正方形，连接，试判断线段与的位置关系，并说明理由． (2)连接，以为边作正方形． ①当正方形在的左下方时，如图2，点在线段的垂直平分线上吗？请证明你的结论． ②当正方形在的右上方时，如图3，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)①点在线段的垂直平分线上，见解析；②见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形判定与性质，熟练掌握矩形和正方形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质证明，再由等腰三角形的三线合一即可证明； （2）①过点作，垂足为，根据矩形和正方形的性质证明，则，结合已知条件得到，则，继而得到垂直平分； ②过点作，垂足为，过点作，垂足为，同上证明，后同上可证明． 【详解】（1）解：垂直平分． 理由：， ． ， ． 四边形是矩形， ，，， ∴． ． ． 又， ． 垂直平分； （2）解：①点在线段的垂直平分线上． 证明：如答图1，过点作，垂足为． 四边形是矩形，点在的延长线上， ． ． 四边形为正方形， ，． ． ， ． ． 四边形是矩形， ． ，， ， ． 垂直平分． 点在线段的垂直平分线上． ②证明：如答图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ． 四边形是矩形，点在边的延长线上， ． 四边形为矩形． ，． ． 四边形为正方形， ，． ， ． ， ． ， ． 四边形是矩形， ． ， ， ． 垂直平分． 点在线段的垂直平分线上． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 特殊平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、添加条件使四边形成矩形 【解惑】如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，和是其对角线．若添加一个条件使四边形是矩形，则这个条件可以是（    ） A．与互相平分 B． C． D． 2．在四边形中，．若要再添加一个条件，使四边形是矩形，那么添加的条件可以是 ，也可以是 ． 3．如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 ． 类型二、添加条件使四边形成菱形 【解惑】在下列条件中选取一个条件，不能使平行四边形成为菱形的是（   ） A． B． C．平分 D． 【融会贯通】 1．菱形的对角线与相交于点O，E，F是所在直线上的两个不同的点，位于点O的两侧，则下列条件中，不能得到四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，的对角线与交于点，请你添加一个条件使它是菱形，你添加的条件是 ． 3．如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 类型三、添加条件使四边形成正方形 【解惑】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【融会贯通】 1．在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．四边形是菱形，只须补充条件 （用字母表示）就可以判定四边形是正方形． 3．如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 类型四、中点四边形 【解惑】如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分； ②若，则四边形为矩形； ③若，则四边形为菱形． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形……如此进行下去，得到四边形．给出下列结论：①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长是；④四边形的面积是．其中，正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接四边中点所得的四边形是 ． 3．在四边形中，对角线，，顺次连接四边形各边的中点，，，，则所得四边形的形状为 ． 类型五、特殊平行四边形的性质求长度 【解惑】如图，四边形是菱形，对角线 交于点 是边的中点，过点作，点为垂足，若，则的长为（    ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，，连接，，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接，若为等边三角形，，则的长为 ． 3．已知：如图，为正方形的对角线． (1)在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，求的长． 类型六、特殊平行四边形的性质求角度 【解惑】如图，在中，，，将的顶点摆放在矩形的一边上，使得，其中与交于点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，在正方形的外部作等边三角形，连接，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 2．如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的长等于 ，的度数为 ． 3．如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形： (2)求的值． (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 类型七、特殊平行四边形的性质求周长与面积 【解惑】小天同学按如下步骤作图： （1）画矩形，使得，连接； （2）分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E，F两点； （3）画直线，分别与交于点、，连接． 则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，菱形的周长为，两条对角线长的比为，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ． 3．综合与实践主题：神奇的正方形 素材：两个边长不等的正方形卡纸，把两个边长不等的正方形卡纸与如图1所示摆放（点、、在同一条直线上，），点是边上一点，连接，，沿，裁剪之后，被分成①②③三块，拼接成为图2所示的一个正方形图案． (1)若，，则______，______ ． (2)试根据题意判断与是否全等？说明理由． (3)若，，则图2中的图形②（多边形）的面积______（用含、的式子表示） 类型八、证四边形是矩形 【解惑】如图，在中，对角线，相交于点，，点是的中点，过点作，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【融会贯通】 1．如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 2．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接、和，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点和点之间的距离 3．如图，在四边形中，，，对角线和相交于点．请在以下两个条件中：“①；②”，选择一个作为已知条件，再解决下列问题： (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 类型九、证四边形为菱形 【解惑】如图，在矩形中，对角线相交于点，，，与相交于点，求证：四边形是菱形． 【融会贯通】 1．如图，在等腰梯形中，，、分别是、边的中点，与相交于点． (1)求证：； (2)连接、，当时，求证：四边形是菱形． 2．如图，在矩形中，，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 3．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为80，求的长． 类型十、证四边形为正方形 【解惑】如图，在矩形中，平分，与相交于点，垂足为F．求证：四边形是正方形． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 2．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的长． 3．在和中，，，，点分别为的中点． (1)当点，分别在，上时，如图①，直接写出四边形的形状． (2)当点不在上时，其位置如图②所示． ①（）中的结论成立吗？请说明理由； ②当___________时，四边形是正方形． 【一览众山小】 1．如图，菱形的对角线、相交于点O，，则菱形的边长为（    ） A．26 B．20 C．15 D．13 2．下列命题是假命题的是（   ） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的，两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线，相交于点．若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．在中，相交于点O．当时，是 形． 5．如图，矩形的对角线相交于点O，，，则的长是 ． 6．如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为 ． 7．如图，在菱形中，点、分别在、边上，，连接、．求证：． 8．已知，点、点分别在边、上，将矩形纸片沿着折叠，使得 点与点重合． (1)用圆规和无刻度的直尺作出折痕； (2)分别连接，若，求四边形的面积． 9．如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点O，且，． (1)求证 ； (2)若，求矩形的面积． 10．如图，已知矩形，，是边延长线上一点，且． (1)如图1，连接，交边于点，以为边在的左下方作正方形，连接，试判断线段与的位置关系，并说明理由． (2)连接，以为边作正方形． ①当正方形在的左下方时，如图2，点在线段的垂直平分线上吗？请证明你的结论． ②当正方形在的右上方时，如图3，求证：点在线段的垂直平分线上． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$