第5章 特殊平行四边形（单元测试A卷）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙江专用）

第5章 《特殊平行四边形》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若BD＝6，则OA的长为（　　） A．3 B． C． D．6 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算，得BD＝AC＝2OA，即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，BD＝6， ∴AC＝BD＝6，OA＝OC， ∴OA＝OCAC＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线相等，互相平分． 2．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OH⊥BC于点H，若∠ADC＝70°，则∠COH的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．70° 【分析】根据菱形的性质和已知条件可得，进而根据OH⊥BC得出∠BOH＝55°，进而得出∠COH的度数，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝∠ADC＝70°，AC⊥BD， ∴， ∵BC⊥OH， ∴∠BOH＝90°﹣∠OBC＝55°， ∴∠COH＝90°﹣∠BOH＝90°﹣55°＝35°， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出∠BOH＝55°是解题的关键． 3．（3分）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AD＝8，OA＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．11 【分析】由矩形的性质得出AC＝2OA＝BD＝10，∠BAD＝90°，由勾股定理求出AB即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2OA＝10＝BD，∠BAD＝90°， ∵AD＝8， ∴AB6， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AD是解决问题的关键． 4．（3分）如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD，若∠CDB＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A．40° B．30° C．20° D．50° 【分析】由菱形的性质推出∠COD＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠ACD＝90°﹣70°＝20°． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵∠CDB＝70°， ∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°． 故选：C． 【点评】本题考查菱形的性质，关键是由菱形的性质得到∠COD＝90°． 5．（3分）下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解． 【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形和轴对称图形的性质，解题的关键是逐个判断四个选项即可得出正确答案． 6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　） A．（4，3） B．（5，3） C．（5，4） D． 【分析】首先根据菱形的性质求出AB的长度，再利用勾股定理求出DO的长度，进而得到点C的坐标． 【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点D在y轴上， ∴AB＝AO+OB＝5， ∴AD＝AB＝CD＝5， ∴DO， ∴点C的坐标是：（5，）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO的长度． 7．（3分）如图，长方形ABCD中，AE平分∠BAC，交BC于点E，EF垂直平分AC，分别交AC，AD于点O和F，若EO＝2，则长方形ABCD的周长为（　　） A． B． C．18 D．19 【分析】先由垂直平分线的性质得AE＝CE，∠AOE＝90°，∠OAE＝∠OCE，结合长方形的性质得AD∥BC，∠DAB＝90°，∠ABE＝90°，因为AE平分∠BAC，故，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得EC＝AE＝4，最后由勾股定理，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝CE，∠AOE＝90°， ∴∠OAE＝∠OCE， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC，∠DAB＝90°，∠ABE＝90°， ∴∠OAF＝∠OCE， ∵AE平分∠BAC，∠AOE＝90°，∠ABE＝90°， ∴∠OAE＝∠BAE，BE＝EO＝2， 即， 在Rt△EAO中，AE＝2EO＝4，EC＝AE＝4， 在Rt△EAO中，， ∴， ∴长方形ABCD的周长为． 故选：A． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，30度所对的直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（　　） A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE C．CG平分∠DCH D． 【分析】作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点L，先由四边形ABCD是正方形证明∠BCA＝∠DCA＝45°，则EK＝EL，再证明△FEK≌△DEL，得DE＝FE，即可证明矩形DEFG是正方形，进而可以判断A选项；由∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，CD＝AD，GD＝ED，证明△CDG≌△ADE，得CG＝AE，则CE+CG＝AC为定值，再根据勾股定理求出AC的长即可判断D选项；由△CDG≌△ADE（SAS），得∠DAE＝∠DCG＝45°，进而可以判断C选项；根据∠ADE＝∠DEL＝∠FEK≠∠CEF，可以判断B选项． 【解答】解：如图，作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点L，则∠EKF＝∠ELD＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，AD＝CD，∠B＝∠ADC＝90°， ∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DCA＝∠DAC＝45°， ∴∠BCA＝∠DCA， ∴EK＝EL， ∵∠EKC＝∠ELC＝∠KCL＝90°， ∴四边形EKCL是矩形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠KEL＝∠FED＝90， ∴∠FEK＝∠DEL＝90°﹣∠FEL， ∴△FEK≌△DEL（ASA）， ∴DE＝FE， ∴矩形DEFG是正方形，故A正确； ∵∠EDG＝∠ADC＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE， ∵CD＝AD，GD＝ED， ∴△CDG≌△ADE（SAS）， ∴CG＝AE， ∴CE+CG＝CE+AE＝AC， ∵∠B＝90°，AB＝CB＝9， ∴ACAB＝9， ∴CE+CG＝9，故D正确； ∵△CDG≌△ADE（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴CG平分∠DCH，故C正确； ∵∠ADE＝∠DEL＝∠FEK≠∠CEF， ∴∠CEF≠∠ADE，故B不正确， 故选：B． 【点评】此题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理及其推论以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 9．（3分）如图，AC为菱形ABCD的对角线，∠ACD＝30°，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则（　　） A． B． C． D． 【分析】根据含30°直角三角形性质求得，由菱形的性质得出CD＝AD即可得出答案． 【解答】解：由题意可知，四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝CB，且AC平分∠BCD， ∵∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝2∠ACD＝2×30°＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， 在Rt△CDE中，∠CDE＝30°， ∴， 即， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，关键是直角三角形性质的熟练掌握． 10．（3分）如图，在边长为18的正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，记△CPN的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，正方形AEFG的面积为S3，△FEB的面积为S4，则下列结论中错误的是（　　） A．S1＝18 B．S2＝72 C．S3＝81 D．S4＝36 【分析】先求出BD，证明△CPN是等腰直角三角形，设CP＝CN＝a，则PQ＝QM＝MN＝PN，再证明△MNB是等腰直角三角形，则BM＝MB，同理DQ＝PQ＝√2a，则BD，由此解得a＝6，进而得S1＝18，S2＝72，据此可对选项A，B进行判断；再设AE＝EF＝FG＝AG＝b，证明△EBF是等腰直角三角形，则EB＝EF＝b，BF，同理DF，则BD，由此解出b＝9，进而得S3＝81，S4＝40.5，据此可对选项C，D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为18，BD是对角线， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，∠A＝∠D＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝45°， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD， ∵四边形PQMN是正方形， ∴PQ＝QM＝MN＝PN，∠PQM＝∠PNM＝90°，PN∥BD， ∴∠ANC＝∠CBD＝45°， ∴△CPN是等腰直角三角形， ∴设CP＝CN＝a， 由勾股定理得：PN， ∴PQ＝QM＝MN＝PN， ∴∠NMB＝90°，∠CBD＝45°， ∴△MNB是等腰直角三角形， ∴BM＝MB， 同理：DQ＝PQ， ∴BD＝DQ+QM+MB， ∴a＝6， ∴S1CP•CN18，S2＝PN2＝（）＝2×62＝72， 故选项A，B均正确，不符合题意； ∵四边形AEFG是正方形， ∵设AE＝EF＝FG＝AG＝b，∠AEF＝∠AGF＝∠A＝90°， ∴∠FEB＝90°， ∵∠ABD＝45°， ∴△EBF是等腰直角三角形， ∴EB＝EF＝b， 由勾股定理得：BF， 同理：DF， ∴BD＝BF+EF， ∴b＝9， ∴S3＝AE2＝b2＝81，S4EB•EF40.5， 故选项C正确，不符合题意；选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）已知，如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为8cm，B，D之间的距离为6cm，则线段AB的长为 　5cm　． 【分析】作AR⊥CD于R，AS⊥BC于S，连接AC，BD交于点O，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据勾股定理求出AB即可． 【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O， 由题意知，AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴OAAC8＝4（cm），OBBD6＝3（cm）， ∵两张纸条等宽， 过点A作AR⊥CD，AS⊥BC于点R，S， ∴AR＝AS． ∵AR•BC＝AS•CD， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD． 在Rt△AOB中，OA＝4cm，OB＝3cm， ∴． 故答案为：5cm． 【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键． 12．（3分）如图，矩形ABCD中，点G是AD边上任意一点，连接GB，GC．点E，F分别是GB，GC的中点，连接EF．若AB：AD＝2：3，S△GBC＝12，则EF的值为　3　． 【分析】先求得矩形ABCD的边长，根据三角形中位线定理得． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB：AD＝2：3， ∴设AB＝CD＝2a，AD＝BC＝3a， ∵S△GBC＝12， ∴， 解得a＝2， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6， ∵点E，F分别是GB，GC的中点， ∴， 故答案为：3． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 13．（3分）如图，四边形ABCD 为平行四边形，且DB平分∠ABC，作DE⊥BC，垂足为E．若BD＝24，AC＝10，则DE＝　　． 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，再证明∠ADB＝∠ABD，则AB＝AD，然后证明平行四边形ABCD是菱形，得OBBD＝4，OCAC＝5，AC⊥BD，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵DB平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴OBBD＝4，OCAC＝5，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴BC13， ∵DE⊥BC， ∴菱形ABCD的面积＝BC•DEAC•BD， 即13DE10×24， 解得：DE， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 14．（3分）如图，AC是正方形ABCD的一条对角线，E是AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，EF，DF．若AB＝AE，EB＝EF＝4，则DF的长为　　． 【分析】连接DE，先证明△ABE≌△ADE，得出DE＝BE，从而得出DE＝EF＝4，证明∠DEF＝180°﹣∠AED﹣∠CEF＝90°，说明△DEF为直角三角形，根据勾股定理求出结果即可． 【解答】解：连接DE，如图所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠ACD＝45°， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴DE＝BE， ∵BE＝EF＝4， ∴DE＝EF＝4， ∵AB＝AE， ∴AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE＝∠AEB＝∠ABE， ∴∠EBF＝90°﹣∠ABE＝22.5°， ∵BE＝EF， ∴∠BFE＝∠EBF＝22.5°， ∴∠CEF＝∠BCA﹣∠BFE＝22.5°， ∴∠DEF＝180°﹣∠AED﹣∠CEF＝90°， ∴△DEF为直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明△DEF为直角三角形． 15．（3分）将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．如图，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形（不计被分割的三角形）． ①如果长方形内有n个点，可分得 　2（n+1）　个三角形； ②如果将长方形换成m边形，其余条件不变．内有n个点，m边形可分得 　（m+2n﹣2）　个三角形． 【分析】①根据图1和图2的三角形个数与长方形内点的个数的关系总结规律，根据规律解答即可； ②结合长方形可知：每增加一个点，三角形个数增加2个，先由五边形为例总结规律，由此即可解答． 【解答】解：①由图1可知：当长方形内有1个点，则三角形个数为4个， 当长方形内有2个点，则三角形个数为4+2＝6个， 当长方形内有3个点，则三角形个数为4+2×2＝8个， 当长方形内有4个点，则三角形个数为4+3×2＝10个， …， ∴当长方形内有n个点，则三角形个数为2（n+1）个， 故答案为：2（n+1）； ②由图3可知：当五边形内有1个点，则三角形个数为5个， 当五边形内有2个点时，如图4，可分成的三角形个数为：5+2＝7； 当五边形内有3个点时，如图5，可分成的三角形个数为：5+2×2＝9； …； 当五边形内有n个点时，可分成的三角形个数为：5+2（n﹣1）＝（2n+3）个； 由此可得：当m边形内有1个点，则三角形个数为m个， 当m边形内有2个点时，可分成的三角形个数为：m+2； 当m边形内有3个点时，可分成的三角形个数为：m+2×2＝m+4； …； 当m边形内有n个点时，可分成的三角形个数为：m+2（n﹣1）＝（m+2n﹣2）个； 故答案为：（m+2n﹣2）． 【点评】本题考查的是图形的变化规律问题，正确找出三角形个数与m边形内点的个数的关系是解题的关键． 16．（3分）如图1，四个边长为1的小正方形组成一个边长为2的大正方形，过点G的直线l是它的一条对称轴．如图2，将图1中的正方形CDEF沿直线l向下平移，使点A落在CD的垂直平分线上，连结AC，BE，则阴影部分面积为　　． 【分析】连接MC，延长AM交CD于点N，根据垂直平分线的性质得到，由平移的性质得到MC∥l，求出，即可解答． 【解答】解：如图，连接MC，延长AM交CD于点N， 由题意可得：． 由平移，得MC∥l， ∴∠CMN＝∠MCN＝∠CDF＝45°， ∴． ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，轴对称图形的性质，平移的性质及垂直平分线的性质，正确进行计算是解题关键． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．求证：DE＝DF． 【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BA＝BC＝AD＝DC，∠A＝∠C， ∵BE⊥AD，BF⊥CD， ∴∠BEA＝∠BFC＝90°， 在△ABE与△CBF中 ， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF ∴AD﹣AE＝DC﹣CF，即DE＝DF． 【点评】本题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 18．（6分）如图，矩形ABCD的宽AB＝2，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若BE＝BC，求DE的长． 【分析】根据矩形的性质求出∠ABE＝∠EBC＝45°，AD∥BC，得到∠AEB＝∠EBC＝45°，证明△ABE为等腰三角形，求出，即可得到答案． 【解答】解：∵矩形ABCD， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC， ∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠EBC＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC＝45°， ∴△ABE为等腰三角形， ∵AB＝2， ∴AB＝AE＝2， ∴BE2， ∵BE＝BC， ∴CB＝DA＝2， ∴DE＝DA﹣EA＝22． 【点评】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE．若CE＝CD，过点D作DF⊥CE于点F．求证：CF＝EB． 【分析】根据矩形的性质得出AB∥CD，∠B＝90°，进而利用AAS证明三角形全等解答即可． 【解答】证明：在矩形ABCD中，DF⊥CE于点F， ∴AB∥CD，∠B＝∠DCB＝90°，∠DFC＝90°， ∴∠DFC＝∠B，∠DCF＝∠CEB＝90°﹣∠ECB， 在△CFD与△EBC中， ， ∴△CFD≌△EBC（AAS）， ∴CF＝EB． 【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 20．（8分）如图在▱ABCD中，AE交BC于E，EF∥AB， （1）通过图中的作图痕迹判断四边形ABEF的形状并证明你的结论； （2）请你添加一个条件使得四边形ABEF为正方形（不再添加新的辅助线和特殊点）． 【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的判定证明BA＝BE，再证四边形ABEF为平行四边形，从而得四边形ABEF为菱形． （2）根据正方形的判定求解即可． 【解答】解：（1）四边形ABEF为菱形． 理由如下：通过作图可知，AE为∠BAD的角平分线， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB． ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BA＝BE． ∵AF∥BE， 又∵AB∥EF， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵BA＝BE， ∴四边形ABEF为菱形． （2）当∠B＝90°时，四边形ABEF为正方形， ∵∠B＝90°，由（1）得四边形ABEF为菱形， ∴四边形ABEF为正方形． 【点评】本题主要考查了正方形的判定，等角对等边，尺规作角平分线，菱形的判定，熟练掌握正方形的判定，尺规作角平分线，菱形的判定是解题的关键． 21．（10分）如图，点E、F在正方形ABCD的边AD上，点G、H分别在边AB、CD上，且AE＝BG，连接HE、FG交于点Q，HE⊥FG，求证：HE＝FG． 【分析】根据正方形的性质得出AD＝AB，∠A＝∠D＝90°，得到DE＝AG，再根据垂直的定义进而得出∠EHD＝∠AFG，即可根据AAS证明△HDE≌△FAG，根据全等三角形的性质即可得解． 【解答】证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠A＝∠D＝90°， ∴∠HED+∠EHD＝90°， ∵HE⊥FG，即∠EQF＝90°， ∴∠HED+∠AFG＝90°， ∴∠EHD＝∠AFG． ∵AE＝BG， ∴AD﹣AE＝AB﹣BG， 即DE＝AG， ∴△HDE≌△FAG（AAS）， ∴HE＝FG． 【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟记正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，试判断AE+CF的长度是否发生变化？并说明理由． 【分析】如图所示，连接BD，由菱形的性质得到△ABD是等边三角形，再证△ABE≌△DBF（ASA），得到AE＝DF，即可求解． 【解答】解：AE+CF的长度不变；理由如下： 在菱形ABCD中，∠A＝60°，如图，连接BD， ∴AD＝AB，∠ADC＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°， ∴∠ADB＝∠CDB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠A＝∠ABD＝∠ADB＝60°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝120°﹣60°＝60°＝∠A， ∵∠EBF＝60°，即∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝60°，∠ABD＝∠ABE+∠EBD＝60°， ∴∠ABE＝∠DBF， 在△ABE和△DBF中， ， ∴△ABE≌△DBF（ASA）， ∴AE＝DF， ∴AE+CF＝DF+CF＝DC， ∴AE+CF的长度不会发生变化． 【点评】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 23．（12分）矩形ABCD中，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，且AE＝CF． （1）如图，当时，求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）若AB＝6，BC＝8，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出AE的长． 【分析】（1）由矩形的性质得AB＝DC，AB∥DC，则AGABDC＝CH，∠GAE＝∠HCF，而AE＝CF，即可根据“SAS”证明△GAE≌△HCF，得EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，推导出∠FEG＝∠EFH，则EG∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形； （2）连接GH，由AB＝DC＝6，BC＝8，∠B＝90°，求得BG＝CH＝3，AC10，可证明四边形BCHG是平行四边形，则GH＝BC＝8，因为以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，所以EF＝GH＝8，当AEAC时，则2AE+8＝10，求得AE＝1；当AEAC时，2AE﹣8＝10，求得AE＝9，所以AE的长为1或9． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，G，H分别是AB，DC的中点， ∴AB＝DC，AB∥DC， ∴AGABDC＝CH，∠GAE＝∠HCF， 在△GAE和△HCF中， ， ∴△GAE≌△HCF（SAS）， ∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH， ∴180°﹣∠AEG＝180°﹣∠CFH， ∴∠FEG＝∠EFH， ∴EG∥FH， ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）解：AE的长为1或9， 理由：连接GH， ∵AB＝DC＝6，BC＝8，∠B＝90°， ∴AG＝BGAB＝3，DH＝CHDC＝3，AC10， ∴BG∥CH，且BG＝CH， ∴四边形BCHG是平行四边形， ∴GH＝BC＝8， ∵以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形， ∴EF＝GH＝8， 如图1，当AEAC时，四边形EGFH是矩形， ∵AE＝CF，且AE+EF+CF＝AC， ∴2AE+8＝10， ∴AE＝1； 如图2，当AEAC时，四边形FGEH是矩形， ∵AE＝CF，且AE﹣EF+CF＝AC， ∴2AE﹣8＝10， ∴AE＝9， 综上所述，AE的长为1或9． 【点评】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△GAE≌△HCF是解题的关键． 24．（12分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题； （2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形； ②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得△DEN≌△FEM． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 《特殊平行四边形》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若BD＝6，则OA的长为（　　） A．3 B． C． D．6 2．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OH⊥BC于点H，若∠ADC＝70°，则∠COH的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．70° 3．（3分）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AD＝8，OA＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．11 4．（3分）如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD，若∠CDB＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A．40° B．30° C．20° D．50° 5．（3分）下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　） A．（4，3） B．（5，3） C．（5，4） D． 7．（3分）如图，长方形ABCD中，AE平分∠BAC，交BC于点E，EF垂直平分AC，分别交AC，AD于点O和F，若EO＝2，则长方形ABCD的周长为（　　） A． B． C．18 D．19 8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（　　） A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE C．CG平分∠DCH D． 9．（3分）如图，AC为菱形ABCD的对角线，∠ACD＝30°，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在边长为18的正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，记△CPN的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，正方形AEFG的面积为S3，△FEB的面积为S4，则下列结论中错误的是（　　） A．S1＝18 B．S2＝72 C．S3＝81 D．S4＝36 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）已知，如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为8cm，B，D之间的距离为6cm，则线段AB的长为 　 　． 12．（3分）如图，矩形ABCD中，点G是AD边上任意一点，连接GB，GC．点E，F分别是GB，GC的中点，连接EF．若AB：AD＝2：3，S△GBC＝12，则EF的值为　 　． 13．（3分）如图，四边形ABCD 为平行四边形，且DB平分∠ABC，作DE⊥BC，垂足为E．若BD＝24，AC＝10，则DE＝　 　． 14．（3分）如图，AC是正方形ABCD的一条对角线，E是AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，EF，DF．若AB＝AE，EB＝EF＝4，则DF的长为　 　． 15．（3分）将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．如图，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形（不计被分割的三角形）． ①如果长方形内有n个点，可分得 　 　个三角形； ②如果将长方形换成m边形，其余条件不变．内有n个点，m边形可分得 　 　个三角形． 16．（3分）如图1，四个边长为1的小正方形组成一个边长为2的大正方形，过点G的直线l是它的一条对称轴．如图2，将图1中的正方形CDEF沿直线l向下平移，使点A落在CD的垂直平分线上，连结AC，BE，则阴影部分面积为　 　． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．求证：DE＝DF． 18．（6分）如图，矩形ABCD的宽AB＝2，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若BE＝BC，求DE的长． 19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE．若CE＝CD，过点D作DF⊥CE于点F．求证：CF＝EB． 20．（8分）如图在▱ABCD中，AE交BC于E，EF∥AB， （1）通过图中的作图痕迹判断四边形ABEF的形状并证明你的结论； （2）请你添加一个条件使得四边形ABEF为正方形（不再添加新的辅助线和特殊点）． 21．（10分）如图，点E、F在正方形ABCD的边AD上，点G、H分别在边AB、CD上，且AE＝BG，连接HE、FG交于点Q，HE⊥FG，求证：HE＝FG． 22．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，试判断AE+CF的长度是否发生变化？并说明理由． 23．（12分）矩形ABCD中，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，且AE＝CF． （1）如图，当时，求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）若AB＝6，BC＝8，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出AE的长． 24．（12分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$