5.3 正方形-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

5.3 正方形 一、正方形的定义 正方形是四条边相等、四个角都是直角的四边形。 二、正方形的性质 正方形具有矩形和菱形的所有性质，如： 对角线相等且互相平分 四条边相等 四个角都是直角 三、正方形的判定 正方形的判定方法有多种，包括但不限于： 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 四条边都相等的四边形是正方形 四、正方形与矩形、菱形的关系 正方形既是特殊的矩形（所有角都是直角），又是特殊的菱形（四条边相等）。理解正方形与这两种图形的关系，有助于更好地掌握正方形的性质和判定方法。 巩固课内例1:正方形的判定——有一组邻边相等的矩形 1．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ）   A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 2．如图，点，，分别是三边的中点，连接、、，有下列结论：①四边形一定是平行四边形；②若，则四边形是矩形；③若平分，则四边形是正方形；④若，则四边形是菱形．其中正确的有 ．（填序号） 3．如图，在矩形中，是边上一点，过点作对角线的平行线，交于点，交和的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是正方形． 巩固课内例2:中点四边形——正方形 1．如图，在四边形中，对角线，且，E、F、G、H分别是、、、的中点．若的最小值是，则的长度为（    ） A．1 B． C．3 D．4 2．如图,正方形的边长为,顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形,又顺次连接正方形四边中点得到第二个正方形,…．以此类推,则第六个正方形的周长是 ;面积是 ．    3．问题提出： （1）如图1，在四边形中，对角线，，，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形是正方形． 问题解决： （2）如图2，某市有一块四边形土地，米，米，是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点E，F，G，H，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为100元/米，经测量，，，设计要求是四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求？若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由． 巩固课内例3:正方形的性质求边长 1．如图，三个边长相等的正方形重叠在一起，是其中两个正方形的对角线交点，阴影部分的面积和为8，则正方形的边长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交于点G．若正方形的边长为4，则的长为 ． 3．如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长． 类型一、添加条件证正方形 1．数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 2．在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是 ． 3．下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点在上，点在上，点在上）； 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：∵平分，∴ ∵是线段的垂直平分线， ∴，，（____________）（填推理依据） ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形．（____________）（填推理依据） ∵， ∴为菱形．（___________）（填推理依据） (3)当满足_______时，菱形是一个正方形（添加一个符合要求的条件）． 类型二、正方形的性质求角度 1．如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形为正方形，射线上有一动点（不与点重合），点，关于直线对称，连接．当是等腰三角形时，的度数为 ． 3．如图，四边形是正方形，延长到点F，使，连结，求的度数． 类型三、正方形的性质证边 1．如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点E为正方形对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连结．给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 3．如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长； (3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 类型一、正方形的性质求周长 1．四个全等的正方形按照如图的方式摆放，其中，，与不平行．记四边形的面积为，周长为，四边形的面积为，周长为，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若矩形的对角线长为，则顺次连接各边中点所得的四边形的周长为 ． 3．如图，四边形、均为正方形，且、、三点在同一直线上，在线段上，为上一点，，与交于点，连接、、． (1)求证： (2)若，，求的周长． 类型二、正方形的性质求面积 1．将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形纸片中，点M，N分别是上的点，将该正方形纸片沿直线折叠，使点B落在的中点E处．若，则的面积是 ． 3．如图，在正方形中，，E是的中点，F是上一点，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 类型三、正方形的判定——有一个角是直角的菱形 1．如图，已知四边形的对角线相交于，则下列条件能判断它是正方形的是（   ）      A．，，， B．， C．， D．，，， 2．在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE//CA，DF//BA，有下列说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有 ．(填序号) 3．如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形． 类型一、正方形的折叠 1．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把D点折叠在折痕上，折痕为CE ，点D在上的对应点为F，则的度数为 ．    3．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的点处，点A的对应点为点，且，求的长． 类型二、平面直角坐标系中的正方形 1．在平面直角坐标系中，点A、B分别在x，y轴的正半轴上，始终保持，以为边向右上方作正方形，交于点P，连接，（1）直线的函数表达式为；（2）的取值范围是；（3）若，则B点的坐标为；（4）连接，则的最大值为；（5）四边形面积的最大值为18．其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在平面直角坐标系中，记直线为，点是直线与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线于点，以为边作正方形，使点落在轴正半轴上，依次作下去；得到如图所示的图形，则点的坐标是 ．    3．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． (1)_______； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求点B的坐标． 类型三、半角模型 1．如图1，已知四边形是正方形，将，分别沿，向内折叠得到图2，此时与重合（，都落在点），若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下4个结论：①；②；③；④．在以上4个结论中，正确的有 （填序号） 3．在正方形中经常会出现翻折等变换，可通过、等全等条件构造两个三角形全等．如图1，正方形中，E是边上一点，将折叠至位置，延长交边于点F，可证出． (1)如图2，点M、N分别在正方形的边、边上，将正方形沿折叠，点C对应点E落在边上，点B对应点为点F，线段交边于点G，若，证明：． (2)如图2，在（1）条件下连接，则 ． (3)如图3，M为正方形边中点，将沿折叠至，连接，作交延长线于点H，若求线段长． 1．下列判断错误的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 2．如图1，细铁丝围成的正方形边长为2，现在将该细铁丝围成，如图2，则的长可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为 cm．    5．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点；再分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限相交于点，连接，．若，则点的坐标为 ． 6．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形． （Ⅰ）的长 ． （Ⅱ）若M为的中点，连接，则的长为 ． 7．如图，大正方形与小正方形的面积之差是，求阴影部分的面积． 8．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图①中，画一个平行四边形，使其面积为； (2)在图②中，画一个正方形，使其面积为； (3)在图③中，画一个菱形，使其面积为． 9．追本溯源 （1）如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，且交于点，求证：． 方法应用 （2）如图2，在正方形中，，点在正方形内部，，，求的长．      10．综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1．将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点，打开铺平，连接、、． 【探究提炼】 （1）如图1，点是上任意一点；线段和线段存在什么关系？并说明理由； （2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度； 【类比迁移】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且． ①求的度数； ②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值：若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3 正方形 一、正方形的定义 正方形是四条边相等、四个角都是直角的四边形。 二、正方形的性质 正方形具有矩形和菱形的所有性质，如： 对角线相等且互相平分 四条边相等 四个角都是直角 三、正方形的判定 正方形的判定方法有多种，包括但不限于： 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 四条边都相等的四边形是正方形 四、正方形与矩形、菱形的关系 正方形既是特殊的矩形（所有角都是直角），又是特殊的菱形（四条边相等）。理解正方形与这两种图形的关系，有助于更好地掌握正方形的性质和判定方法。 巩固课内例1:正方形的判定——有一组邻边相等的矩形 1．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ）   A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定定理，矩形的性质，解题的关键是掌握邻边相等的矩形是正方形；由矩形的性质可得，由折叠可知，， ，即可证明四边形是正方形． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠可知，， ， ∴四边形是正方形， 故选：． 2．如图，点，，分别是三边的中点，连接、、，有下列结论：①四边形一定是平行四边形；②若，则四边形是矩形；③若平分，则四边形是正方形；④若，则四边形是菱形．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形据此解答即可． 【详解】解：①∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点， ∴DE、DF为△ABC的中位线， ∴ED∥AC，且ED=AC=AF；DF∥AB，且DF=AB=AE， ∴四边形AEDF一定是平行四边形，故正确； ②若∠A=90°，则平行四边形AEDF是矩形，故正确； ③如图，连接AD， 若AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD， ∵DE∥AC， ∴∠CAD=∠ADE， ∴∠BAD=∠ADE， ∴AE=DE， 又∵四边形AEDF是平行四边形， ∴四边形AEDF是菱形， ∴不能判定四边形AEDF是正方形，故错误； ④若AD⊥BC，则AD垂直平分BC， ∴AB=AC， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD， ∵DE∥AC， ∴∠CAD=∠ADE， ∴∠BAD=∠ADE， ∴AE=DE， 又∵四边形AEDF是平行四边形， ∴四边形AEDF是菱形，故正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理和平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定定理．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 3．如图，在矩形中，是边上一点，过点作对角线的平行线，交于点，交和的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）利用矩形的性质证明四边形和四边形是平行四边形，得，，进而即可求证； （）证明，得，进而即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 巩固课内例2:中点四边形——正方形 1．如图，在四边形中，对角线，且，E、F、G、H分别是、、、的中点．若的最小值是，则的长度为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】先证明四边形是正方形．如图，记，的交点为，连接，，可得，当三点共线，最小，则最小，再进一步求解即可． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 又∵， ∴， ∴四边形是正方形． 如图，记，的交点为，连接，， ∵， ∴，， ∴， 当三点共线，最小，则最小， 此时， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，中点四边形，勾股定理的应用，两点之间，线段最短，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．如图,正方形的边长为,顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形,又顺次连接正方形四边中点得到第二个正方形,…．以此类推,则第六个正方形的周长是 ;面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查正方形性质,勾股定理知识．通过阅读本题利用正方形及中点得到线段长度继而利用勾股定理求得下一个正方形边长,后根据规律求得正方形周长及面积．根据图形的变化得出规律是解答本题的关键． 【详解】解:∵正方形的边长为, ∴正方形的面积为,周长为; ∵顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形, ∴,根据勾股定理得, 即正方形的周长为,面积为; ∵顺次连接正方形四边中点得到第二个正方形, 同理可得正方形的周长为,面积为; …… ∴以此类推,不难发现规律,第个正方形的周长为,面积为, ∴第六个正方形的周长为,面积为． 故答案为：， 3．问题提出： （1）如图1，在四边形中，对角线，，，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形是正方形． 问题解决： （2）如图2，某市有一块四边形土地，米，米，是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点E，F，G，H，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为100元/米，经测量，，，设计要求是四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求？若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）符合；10000元 【分析】（1）根据正方形的判定定理证明即可； （2）连接，，与相交于点O．证明，得到，再证明，利用四边形为正方形．由勾股定理，得（米），（米），即可求出铺设地砖所需的费用． 【详解】（1）（1）证明：∵E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：符合． 如图，连接，，与相交于点O． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形为正方形． ∵米，米，， ∴由勾股定理，得（米）， ∴（米）， （元）． ∴铺设地砖所需的费用为10000元． 【点睛】本题考查正方形的判定定理和性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的判定定理和性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理． 巩固课内例3:正方形的性质求边长 1．如图，三个边长相等的正方形重叠在一起，是其中两个正方形的对角线交点，阴影部分的面积和为8，则正方形的边长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，根据题意作图，连接、，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接、，如图： ∵三个边长相等的正方形重叠在一起，是其中两个正方形的对角线交点， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴、两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是， ∴阴影部分的面积和， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交于点G．若正方形的边长为4，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；连接，由题意易得，则有，由折叠的性质，得，，然后可得，设，则，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是边长为4的正方形， ， ∵点E是边的中点， ， 由折叠的性质，得，， ． 在和中， ， ∴， ， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 的长为； 故答案为． 3．如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长． 【答案】 【分析】先证明，得到，于是，利用勾股定理解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，正方形边长是5， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型一、添加条件证正方形 1．数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用有一个角为直角的菱形为正方形即可得出答案． 【详解】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意； B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； 故选：A． 2．在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 依据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：； 故添加的条件为：或． 3．下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点在上，点在上，点在上）； 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：∵平分，∴ ∵是线段的垂直平分线， ∴，，（____________）（填推理依据） ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形．（____________）（填推理依据） ∵， ∴为菱形．（___________）（填推理依据） (3)当满足_______时，菱形是一个正方形（添加一个符合要求的条件）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意直接作图即可； （2）由作图可得平分，是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，等边对等角以及角平分线的定义可得，，利用平行线的判定可得，，进而可得四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论； （3）根据正方形的判定方法添加即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求． （2）证明：∵平分， ∴ ∵是线段的垂直平分线， ∴，，（线段垂直平分线的性质） ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理依据） ∵， ∴为菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）（填推理依据） 故答案为：线段垂直平分线的性质；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （3）满足时，菱形是一个正方形，理由： ∵四边形为菱形，， ∴菱形是一个正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定，尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，角平分线的定义，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 类型二、正方形的性质求角度 1．如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，由等边三角形的性质推出，据此求出的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，四边形为正方形，射线上有一动点（不与点重合），点，关于直线对称，连接．当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当；第二种情况是当；第三种情况是当，画出图形，利用对称的性质，等边三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：①如图，当，且点E在线段上时，过点F作的垂线，分别交于点M，N，    由对称的性质知，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当，且点E在线段的延长线上时，过点F作的垂线，分别交于点M，N，    同理，为等边三角形， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当，则点F在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，    同理，为等边三角形， ∴， 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答． 3．如图，四边形是正方形，延长到点F，使，连结，求的度数． 【答案】 【分析】本题考场正方形的性质，等边对等角，根据正方形的性质，得到，等边对等角，求出，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型三、正方形的性质证边 1．如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①直接根据垂直平分线的性质即可判断①；②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F，由等量代换可得，可证明可得即,再结合角平分线的定义即可判断②；③由全等三角形的性质、等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合可得是等腰直角三角形即可判定③；④证明四边形是正方形可得，由等腰三角形的性质可得，然后由勾股定理可得、，进而得到，最后根据平方差和等量代换即可判断④． 【详解】解：①∵是的垂直平分线， ∴，即①正确； ②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴, 在和中， ， ∴，即②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即，故③正确； ④∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ，即④正确． 综上， ①②③④正确，正确的有4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 2．如图，点E为正方形对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连结．给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． ①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确； ②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故②正确； ③根据②的结论可得，所以，故③正确； ④根据②中，得出，则可得出，在中，根据勾股定理得出，得出，故④错误． 【详解】解：①过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴四边形为正方形， ，， ∵四边形是矩形， ， ， ， 又， 在和中，， ， ， 故①正确； ②∵矩形为正方形； ，， ∵四边形是正方形， ，， ， 在和中，， ， 故②正确； ③根据②得， ， ， 故③正确； ④根据②中， ， ， 在中，，， ， ， 故④错误， 故答案为：①②③． 3．如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长； (3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②； (3)8 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． （3）根据正方形的性质和勾股定理求得，由（2）得，则． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①过点E作于，于，如图，    正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接，    ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． （3）解：∵正方形的边长为， ∴， 由（2）得， 则． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 类型一、正方形的性质求周长 1．四个全等的正方形按照如图的方式摆放，其中，，与不平行．记四边形的面积为，周长为，四边形的面积为，周长为，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，利用正方形的性质可证，即得，，，可得，，同理可得，，进而即可判断求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， 同理可得，， ∵， ∴， 又∵与不平行， ∴， ∵， ∴，， 故选：． 2．若矩形的对角线长为，则顺次连接各边中点所得的四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，根据矩形的性质以及三角形中位线定理进行解答即可． 【详解】解：如图， ∵矩形的对角线相等， ∴， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，， 故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为． 故答案为：． 3．如图，四边形、均为正方形，且、、三点在同一直线上，在线段上，为上一点，，与交于点，连接、、． (1)求证： (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)20 【分析】（1）根据正方形的性质利用证明，再利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的判定及性质证明； （2）过点A作，交延长线于H，证明，然后证明，结合的周长，即可作答． 此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形、均为正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， （2）解：过点A作，交延长线于H，如图所示： 则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 类型二、正方形的性质求面积 1．将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，面积，正方形的性质，根据题意可得，，是等腰直角三角形，，设，则，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意可得，，是等腰直角三角形，，点到距离与点到距离相等，则， ∴四边形是菱形， ∴， 设， ∴根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴较大的和较小的面积的比是， 故选：． 2．如图，在正方形纸片中，点M，N分别是上的点，将该正方形纸片沿直线折叠，使点B落在的中点E处．若，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质得，设，在中，利用勾股定理列式计算求得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形纸片，， ∴，， 由折叠的性质知，， 设， ∵点E是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∴， 解得，即， ∴的面积是， 故答案为：． 3．如图，在正方形中，，E是的中点，F是上一点，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正方形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的性质，利用勾股定理分别求出、、的值，通过，可判定是直角三角形，，进而可以解决问题； （2）结合（1）根据，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， ∵E是BC的中点， ∴， ∴， 同理， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （2）解：， ． ， ． 类型三、正方形的判定——有一个角是直角的菱形 1．如图，已知四边形的对角线相交于，则下列条件能判断它是正方形的是（   ）      A．，，， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形. ， 四边形是菱形，故不符合题意； B、只能判断出四边形是菱形，故不符合题意； C、，， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形，故符合题意； D、不能判定四边形是正方形，故不符合题意； 故选：C． 2．在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE//CA，DF//BA，有下列说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有 ．(填序号) 【答案】①②③ 【分析】根据题意可得四边形AEDF是平行四边形；由∠BAC=90°，得四边形AEDF是矩形；由AD平分∠BAC，得四边形AEDF是菱形；当AD⊥BC且AB=AC时，四边形AEDF是菱形来求解． 【详解】解：∵DE//CA，DF//BA， ∴四边形AEDF是平行四边形． ∵∠BAC=90°， ∴四边形AEDF是矩形，故①符合题意； ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠DAF． ∵DF//BA， ∴∠BAD=∠ADF， ∴∠ADF=∠DAF， ∴AF=FD， ∴四边形AEDF是菱形，故②符合题意； ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC， ∴由②可得，四边形AEDF是菱形，故③符合题意，不能判断是正方形，故④不符合题意． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定和性质、正方形的判定等知识．理解相关知识是解答关键． 3．如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，角平分线的性质和定义，等腰直角三角形的性质与判定等待，先证明是等腰直角三角形，得到，同理可得，再由角平分线的性质得到，则，据此可证明结论． 【详解】证明：∵在中，，平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． 类型一、正方形的折叠 1．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正方形与折叠，三角形全等判定和性质，勾股定理．根据沿对折至，得到，可判定；设，则，根据勾股定理，得到，，得到；根据，，得到即，可判定；计算，由折叠和三角形全等，可判定，利用直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵沿对折至，四边形是正方形， ∴， ∴，∴①正确；    ∵，， ∴， 设，则， 根据勾股定理， 得到，，得到，∴②正确； ∵，， ∴即， ∴；∴③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，∴④正确； 由折叠和三角形全等， ∴， ∴， ∴⑤错误． 故选：A． 2．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把D点折叠在折痕上，折痕为CE ，点D在上的对应点为F，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由折叠的性质可得垂直平分，，则可证明是等边三角形，得到，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解；如图所示，连接，    由折叠的性质可得垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的点处，点A的对应点为点，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及勾股定理等知识，设，连接，，求出，然后在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：设， 连接，，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质得：， ∴， 即， 解得：， 即． 类型二、平面直角坐标系中的正方形 1．在平面直角坐标系中，点A、B分别在x，y轴的正半轴上，始终保持，以为边向右上方作正方形，交于点P，连接，（1）直线的函数表达式为；（2）的取值范围是；（3）若，则B点的坐标为；（4）连接，则的最大值为；（5）四边形面积的最大值为18．其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，如图：作轴，轴，再证可得，进而可求得直线的函数解析式为；当时，，则，则，（当时同理可得：，当时，点的坐标为或；取的中点，连接，，，，则，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，由三角形三边关系可得：，当、、在同一直线上时取等，由，，可得，（当时同理可得：，即可得，即②错误；由三角形三边关系可得：，当、、在同一直线上时取等，即可求得的最大值．先说明四边形面积等于正方形的面积，再求得的最大值，然后求出正方形的面积的最大值即可判定⑤，正确添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：如图：作轴，轴，则四边形是矩形， ，， 四边形是正方形，， 与互相垂直且平分，，则， ， ， ， ，（当时同理） 由题意可知，点在第一象限，设，直线的函数解析式为：， 代入可得：，可得，即直线的函数表达式为，故①正确； ，轴，轴， 四边形是正方形，则， 当时，，则，则，（当时同理可得： 当时，点的坐标为或，故③错误； 取的中点，连接，，，，则， ，， ， 由三角形三边关系可得：，当、、在同一直线上时取等， ，， ，（当时同理可得：则，故②错误； 由三角形三边关系可得：，当、、在同一直线上时取等， 的最大值为，故④正确； ， 四边形面积等于正方形的面积， ，， 的最大值为， 四边形面积的最大值为，即⑤正确， 综上：正确的有①④⑤，共3个． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，记直线为，点是直线与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线于点，以为边作正方形，使点落在轴正半轴上，依次作下去；得到如图所示的图形，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，解此题的关键是根据一次函数的点的坐标计算的结果得出规律．根据一次函数，得出等点的坐标，继而得知等点的坐标，从中找出规律，进而可求出点的坐标． 【详解】解：把代入直线，得：， 所以点的坐标是， 把代入直线，得：， 所以点的坐标是， 同理点的坐标是；点的坐标是； …… 由以上得出规律是的坐标为． 所以点的坐标是， 故答案为：． 3．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． (1)_______； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求点B的坐标． 【答案】(1)45 (2)①见解析② 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的定义进行求解即可； （2）①先证明四边形是矩形，过点作，根据角平分线的性质，得到，即可得证；②将绕点旋转，得到，证明，得到，设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P， ∴， ∴， ∴； 故答案为：45． （2）①∵过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D， ∴， ∴四边形为矩形， 过点作， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P，， ∴， ∴矩形为正方形； ②将绕点旋转，得到， ∴，， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 类型三、半角模型 1．如图1，已知四边形是正方形，将，分别沿，向内折叠得到图2，此时与重合（，都落在点），若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．设正方形的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出及的长；在中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为的长． 【详解】设正方形的边长为，则， 由翻折的性质得：，， ∵ ∴，， ∴， 如图，在中，由勾股定理得： 即 整理得：，即 解得或（不符题意，舍去） 则 故选：C． 2．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下4个结论：①；②；③；④．在以上4个结论中，正确的有 （填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，即可判定①；依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到，即可判定③；再由，，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，，则可判定②；由的面积与面积的比等于，即可判定④． 【详解】解：由折叠可知，，， ， ，故①正确； ， 由折叠可得，， ，故③正确； 正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用．熟练运用知识点是解题的关键． 3．在正方形中经常会出现翻折等变换，可通过、等全等条件构造两个三角形全等．如图1，正方形中，E是边上一点，将折叠至位置，延长交边于点F，可证出． (1)如图2，点M、N分别在正方形的边、边上，将正方形沿折叠，点C对应点E落在边上，点B对应点为点F，线段交边于点G，若，证明：． (2)如图2，在（1）条件下连接，则 ． (3)如图3，M为正方形边中点，将沿折叠至，连接，作交延长线于点H，若求线段长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据余角的性质证明，根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （3）过点A作于点E，延长，，交于点F，延长，交于点G，连接，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，，根据勾股定理求出，根据，即可得出，最后求出x的值即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：垂直平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点A作于点E，延长，，交于点F，延长，交于点G，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 1．下列判断错误的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，正方形的判定定理，菱形的判定定理和矩形的判定定理，根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形也符合，原说法错误，符合题意； B、有一个角是直角的菱形是正方形，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，不符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 2．如图1，细铁丝围成的正方形边长为2，现在将该细铁丝围成，如图2，则的长可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据正方形边长为2，得到正方形的周长为8，的周长也是8，根据，得，从而得到即，解答即可． 【详解】解：∵正方形边长为2， ∴正方形的周长为8， ∴的周长也是8， ∵， ∴， ∴即， 故的长可能是3， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的周长，三角形的周长，三角形三边关系定理，解不等式，熟练掌握图形变形前后周长相等，三角形三边关系定理是解题的关键． 3．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键． 利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步即可求得正方形的面积． 【详解】解：由题意知，在正方形中， ， ， ， 正方形的面积为1． 故选：A． 4．如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为 cm．    【答案】5 【分析】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质定理，根据平分即可求解． 【详解】解：由题意得：平分 ∵点P到的距离， ∴点P到直线的距离为5 cm． 故答案为：5 5．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点；再分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限相交于点，连接，．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，二次根式的运算，熟练根据作图确定是解题的关键．连接，，由作图可知，判定四边形是正方形，再在等腰直角中求出和即可解决． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可知， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 6．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形． （Ⅰ）的长 ． （Ⅱ）若M为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． （Ⅰ）在上取一点，使，构造等腰直角、通过证明，从而可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （Ⅱ）延长交延长线于点，可得等腰直角，为的中位线，求出的长，进而求出的长即可解题． 【详解】解：（Ⅰ）在上取一点，使，连接， 在正方形的边长为4， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵在等腰直角中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图所示，延长交延长线于点， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 7．如图，大正方形与小正方形的面积之差是，求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为25 【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 故阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD＝AE（BC+BD） ＝（AB﹣BE）（BC+BD） ＝（a﹣b）（a+b） ＝（a2﹣b2） ＝×50 ＝25． 故阴影部分的面积为25． 【点睛】本题主要考查平方差公式与三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积是解题的关键． 8．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图①中，画一个平行四边形，使其面积为； (2)在图②中，画一个正方形，使其面积为； (3)在图③中，画一个菱形，使其面积为． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】本题主要考查网格与勾股定理、平行四边形、正方形、菱形的性质，掌握以上知识，数形结合是关键． （1）根据网格特点，平行四边形的性质即可求解； （2）根据网格，勾股定理，正方形的性质即可求解； （3）根据网格，菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，， ∴平行四边形即为所求图形； （2）解：如图所示，，则， ∴正方形即为所求； （3）解：如图所示，，则， ∴菱形四边形即为所求图形． 9．追本溯源 （1）如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，且交于点，求证：． 方法应用 （2）如图2，在正方形中，，点在正方形内部，，，求的长．      【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； （1）根据正方形的性质可得，根据垂线定义以及平行线的性质可得，则，进而证明，根据全等三角形的性质即可得出，，进而得证； （2）过点作，垂足为，证明，根据，设，则，在中，根据勾股定理，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】证明：四边形是正方形， ，． ． 于点，， ． ． ． ． ，． ． （2）解：如图，过点作，垂足为． ， ，． 四边形是正方形， ． ，． ， ． ． ，． ． ． ． 由（）知． 设，则． 在中，由，可得， 解得． 10．综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1．将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点，打开铺平，连接、、． 【探究提炼】 （1）如图1，点是上任意一点；线段和线段存在什么关系？并说明理由； （2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度； 【类比迁移】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且． ①求的度数； ②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）,理由见解析；（2）；（3）①；②存在、 【分析】（1）根据折叠的性质可知垂直平分，再结合垂直平分线性质求解，即可解题； （2）结合折叠的性质，理由等腰三角形性质，以及全等三角形性质得到，结合正方形性质得到，再利用三角形内角和定理推出，最后根据等腰三角形性质求解，即可解题． （3）①过点作于点，过点作于点，利用四边形内角和得到，结合菱形性质证明，结合全等的性质进行等量代换，即可解题； ②过点作于点，结合直角三角形性质，等腰三角形性质，以及勾股定理得到，进而得到，当最小时，面积最小，即时，面积最小，利用直角三角形性质和勾股定理求出，即可解题． 【详解】解：（1），理由如下： 由折叠的性质可知垂直平分， ； （2）由（1）知，垂直平分， ， ， 由折叠的性质同理可得， ，， ， ，， ， 恰好垂直于， 四边形为正方形， 平分，， ， ， ， ， ， ， 正方形边长为， ； （3）①解：过点作于点，过点作于点， ， ， ， 草坪为菱形，为菱形的对角线， ， ， ， ， ； ②解：存在， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， ， 当最小时，面积最小， 即时，面积最小， ， ， 菱形草坪的边长为， ， ， （）． 【点睛】本题考查了折叠的性质，垂直平分线性质，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，正方形性质，三角形内角和定理，菱形性质，直角三角形性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键作辅助线构造全等三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$