5.2 菱形-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

5.2 菱形 一、菱形的定义 菱形是特殊的平行四边形，它的定义是：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。这也意味着，如果一个四边形的四条边都相等，那么这个四边形一定是菱形。 二、菱形的性质 1.菱形的四条边都相等。 2.菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。这使得菱形被对角线分为四个全等的直角三角形。 3.菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。它的对称中心是两条对角线的交点，对称轴是两条对角线所在的直线。 三、菱形的判定 1.定义判定法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.四条边相等的四边形是菱形。 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四、菱形的面积 菱形的面积公式为：面积等于对角线乘积的一半。这可以通过将菱形分解为两个三角形或四个直角三角形，然后分别计算面积再相加得到。另外，如果知道菱形的边长a，由于菱形的四条边都相等，所以其面积也可以表示为a的平方（即a^2）。 巩固课内例1:求菱形的边长 1．如图，在菱形中，已知，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 2．在菱形中，已知厘米，则 厘米 3．画一个菱形，使它的对角线的长分别为，并求它的边长． 巩固课内例2:求菱形的对角线长 1．菱形的边长为4，有一个内角为，则较长的对角线的长为（ ） A． B．4 C． D．8 2．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为 ． 3．如图，在菱形 中，， 相交于点 ，是的中点，连接 ．若 ，，求 的长． 巩固课内例3:菱形的判定——对角线互相垂直的平行四边形 1．如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，以下是嘉嘉和琪琪两位同学的作法． 嘉嘉： 则四边形是菱形 琪琪： 则四边形是菱形 对于嘉嘉和琪琪的作法，可判断（   ） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．嘉嘉和琪琪均正确 D．嘉嘉和琪琪均错误 2．在中，、相交于点O．当时，是 形． 3．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)当D在中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 类型一、菱形的性质求角度 1．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线相交与点O，若，则 ． 3．如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． (1)求证：． (2)若，求的度数． 类型二、菱形的性质求长度 1．如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，在菱形中，，，点在边上，的长为整数，且，以为半径，点为圆心作圆交菱形的边于点，则的长为 ． 3．如图，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处． (1)连接，四边形的形状为_______，并证明； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下求折痕的长． 类型三、菱形的性质证边 1．如图，，是菱形的对角线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，，、分别为，上的两个动点，，，分别交于点，．下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的结论是 ．（请填写正确的序号）    3．如图，在菱形中，点，分别在，上，且．求证：． 类型四、菱形的性质证角 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在菱形中，对角线、相交于点，平分，交、于点、，连接，当，时，点到的距离为 ． 3．如图，在菱形中，点分别在上，且．求证：． 类型一、菱形的性质求周长 1．如图，在菱形中，连接，点、分别是、的中点，连接，若，则菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为 ． 3．下面是多媒体上的一道试题： 如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形． 下面是两位同学的对话： (1)请你选择一位同学的说法，并证明； (2)若，求菱形的周长． 类型二、菱形的性质求面积 1．如图，在菱形中，对角线、交于点O，点G是的中点，若，，则菱形的面积是（　　） A．48 B．36 C．24 D．18 2．若菱形的周长为8，两个邻角的度数之比为，则该菱形的面积是 ． 3．如图所示，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，且的周长为，求的面积． 类型三、菱形的判定——四边相等的四边形 1．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到，两部分，将展开后得到的平面图形是 ． 3．某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： (1)如图，筝形中，，，点是的中点．用尺规过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：经过的中点，且， ，① ，，， ． ② 于点， ③ ． ， ． ④ 四边形是菱形． 类型四、菱形的判定——有一组邻边相等的平行四边形 1．如图，是一张平行四边形纸片，利用所学知识作出一个菱形，小明和小亮两位同学的作法如下： 小明：连接，作的中垂线交于E，F，则四边形是菱形． 小亮：分别作与的平分线，分别交于点E，交于点F，则四边形是菱形． 则关于两人的作法，下列判断正确的为（    ） A．小明正确 B．小亮正确 C．小明和小亮均错误 D．小明和小亮均正确 2．如图，把两条等宽都为4的长方形纸条重叠在一起，重合部分构成的四边形是何种特殊的平行四边形，请填写在横线上 ． 3．如图，在中，，点D是的中点，连接，过点C作，过点A作，交于点E，连接交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点F，交于点G，若，求的长． 类型一、中点四边形为菱形 1．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（　　） A．对角线相等的四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．等腰梯形 D．对角线互相垂直的四边形 2．如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是 ． 3．如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．    (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由． (3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由． 类型二、菱形的折叠问题 1．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（　　） A． B． C． D． 2．如图，将矩形纸片折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边，AD相交于点E，F，折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，若，且四边形的面积为20，则线段EF的长为 ． 3．【探究与证明】 折叠变换是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学探究． 【动手操作】 如图1，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，点与点重合，连接，请完成： （1）证明：； （2）猜想四边形的形状，并说明理由． 【类比操作】 （3）如图2，在矩形中，是的中点，在边上，将矩形沿折叠，点的对应点分别为的延长线过点，求的长． 类型三、平面直角坐标系中的菱形 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的横坐标是，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的面积为48，顶点，则顶点B的坐标为 ． 3．如图，平行四边形在平面直角坐标系中，点B在x轴负半轴上，点D在第一象限，A，C两点的坐标分别为，，边的长为6． (1)点B的坐标 (2)若E为x轴正半轴上的点，且，求经过D，E两点的直线的解析式． (3)若点N在平面直角坐标系内，则在x轴上或线段的延长线上是否存在点F，使得以A，C，F，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 1．已知菱形的一条边长为4，则这个菱形的周长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 2．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，矩形中，，嘉嘉和琪琪各自利用尺规作图的方法在矩形内作出了一个新的四边形，作图痕迹如图所示： 嘉嘉的作法：如图，四边形． 琪琪的作法：如图，四边形． 下面对四边形和四边形的判断正确的是（   ） A．四边形EFGH是矩形 B．四边形不是菱形 C．四边形周长等于四边形的周长 D．四边形的面积为 4．如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件： ，使四边形为菱形． 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小是 ． 6．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短 7．如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 8．如图1，菱形中，点是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若，点在线段上，连接，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 9．如图，在菱形中，是对角线，，垂足为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） ． (1)在图1中，以为边，作矩形； (2)在图2中，以，，，为顶点作一个菱形（顶点，在菱形内部）． 10．综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】． （1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】 （2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2 菱形 一、菱形的定义 菱形是特殊的平行四边形，它的定义是：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。这也意味着，如果一个四边形的四条边都相等，那么这个四边形一定是菱形。 二、菱形的性质 1.菱形的四条边都相等。 2.菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。这使得菱形被对角线分为四个全等的直角三角形。 3.菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。它的对称中心是两条对角线的交点，对称轴是两条对角线所在的直线。 三、菱形的判定 1.定义判定法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.四条边相等的四边形是菱形。 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四、菱形的面积 菱形的面积公式为：面积等于对角线乘积的一半。这可以通过将菱形分解为两个三角形或四个直角三角形，然后分别计算面积再相加得到。另外，如果知道菱形的边长a，由于菱形的四条边都相等，所以其面积也可以表示为a的平方（即a^2）。 巩固课内例1:求菱形的边长 1．如图，在菱形中，已知，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理，关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分．由菱形中，，，根据菱形的性质，可求得，，，然后由勾股定理求得的长，即可解答． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴，，， ∴， 故选：B． 2．在菱形中，已知厘米，则 厘米 【答案】5 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四条边相等． 根据菱形四条边相等即可求解． 【详解】解：如图，在菱形中， ∵四边形为菱形，厘米， ∴厘米， 故答案为：5． 3．画一个菱形，使它的对角线的长分别为，并求它的边长． 【答案】见解析，它的边长为 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线相互垂直平分作出两条相互垂直的直线，垂足为，然后取，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，菱形， ∴菱形的边长． 巩固课内例2:求菱形的对角线长 1．菱形的边长为4，有一个内角为，则较长的对角线的长为（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选A． 2．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，由菱形的性质得，进而由直角三角形的性质得，再根据菱形的面积解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 3．如图，在菱形 中，， 相交于点 ，是的中点，连接 ．若 ，，求 的长． 【答案】16 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，由菱形的性质得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，根据勾股定理得出，进而可求出． 【详解】解：是菱形， 是的中点，， ， 在， ， 即的长为16． 巩固课内例3:菱形的判定——对角线互相垂直的平行四边形 1．如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，以下是嘉嘉和琪琪两位同学的作法． 嘉嘉： 则四边形是菱形 琪琪： 则四边形是菱形 对于嘉嘉和琪琪的作法，可判断（   ） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．嘉嘉和琪琪均正确 D．嘉嘉和琪琪均错误 【答案】A 【分析】此题主要考查了菱形形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 首先证明，可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形是平行四边形，再由，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出是菱形；四边形是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行四边形性质，可得四边形是平行四边形．但无法证明，故四边形不一定是菱形． 【详解】解：嘉嘉的作法正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵由作法可知：是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 琪琪的作法正确； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 没有条件能说明四边形邻边相等，故琪琪的作法错误， 综上所述：嘉嘉正确，琪琪错误. 故选：A． 2．在中，、相交于点O．当时，是 形． 【答案】菱 【分析】本题考查了菱形的判定定理，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得解． 【详解】解：在中，、相交于点O．当时，是菱形， 故答案为：菱． 3．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)当D在中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）由可知，进而可证四边形是平行四边形，进而可得； （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，证是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，即为中点，可知是的中位线，则，由四边形是平行四边形，可得，进而有，进而可判断四边形的形状； 【详解】（1）证明：由题意知，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：四边形是菱形；理由如下： ∵在中，D为中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，菱形的判定，中位线，等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 类型一、菱形的性质求角度 1．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关系．根据菱形的性质求出，求出，根据，计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在菱形中，对角线相交与点O，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．本题直接利用菱形的性质对角线平分角以及邻角互补进行角度的计算即可． 【详解】解：四边形是菱形， , , , ． 故答案为：． 3．如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理，熟知菱形的性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，再由即可证明结论； （2）先由菱形的性质得到，则可求出的度数，进而可求出的度数，同理可得的度数，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 同理可得， ∴． 类型二、菱形的性质求长度 1．如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．由菱形的性质可得，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，在菱形中，，，点在边上，的长为整数，且，以为半径，点为圆心作圆交菱形的边于点，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】以为轴，过垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，延长交轴于点，由的长为整数，且，则或，又四边形是菱形，则，，可得，根据待定系数法求出解析式为，设，再通过平面直角坐标系两点间的距离求出，再分当时和当时两种情况分析求解即可． 【详解】解：如图，以为轴，过垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，延长交轴于点， ∵的长为整数，且， ∴或， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， ∵点在边上， ∴设， ∴， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或， 如图，当时， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， 综上可得：的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解一元二次方程，直角三角形的性质，一次函数的性质，求函数解析式，平面直角坐标系两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．如图，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处． (1)连接，四边形的形状为_______，并证明； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下求折痕的长． 【答案】(1)菱形，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，菱形的性质与判定，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，再由矩形的性质和平行线的性质证明，得到，据此可得到结论； （2）设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）连接，由勾股定理得，根据计算求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下； 由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得； 由（2）可得， ∵， ∴． 类型三、菱形的性质证边 1．如图，，是菱形的对角线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】∵，是菱形的对角线， ∴，， 不能得出， 故选：C． 2．如图，在菱形中，，，、分别为，上的两个动点，，，分别交于点，．下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的结论是 ．（请填写正确的序号）    【答案】①②④ 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 连接，过点作于点，根据菱形的性质，利用证明，得出，判断①，得出，根据 ，判断②，根据随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于，判断③，根据含角的直角三角形的性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，推出的最小值，等于当时，的值，结合勾股定理计算，得出的最小值，判断④． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴和是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确；， ，故②正确； ∵随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于， ∴错误，即③错误； ∵， ， ∴点到的距离， ∴的最小值，等于当时，的值， ∵当时，， ∴此时，， ∴的最小值，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 3．如图，在菱形中，点，分别在，上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，由菱形的性质得到，，再由等角的补角相等得到，即可证得，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 类型四、菱形的性质证角 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，然后根据菱形的判定即可判断①； 根据菱形的面积结合变形即可判断④； 根据菱形的性质得出，，再根据平行线的性质得出，，然后利用角的和差即可判断②； 根据直角三角形的性质即可判断③． 【详解】解：四边形为菱形 ，， ，分别是，的中点， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形，故①正确； ，故④正确； 四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， 即，故②正确； 在中，为的中线 ，故③错误； 故选：C． 2．如图，在菱形中，对角线、相交于点，平分，交、于点、，连接，当，时，点到的距离为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得，，，再根据角平分线的性质得到为直角三角形，再根据，得到，根据含角的直角三角形的性质得出，得出为等边三角形，过点C作，过点作，交延长线于，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，利用面积法得出的长即可得答案． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 【详解】∵四边形为菱形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平方， ∴， ∵，， ∴为等边三角形，， ∵平分，为等边三角形， ∴为中点，， 过点C作，过点作，交延长线于， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 3．如图，在菱形中，点分别在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角．根据菱形的性质可得，，证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是菱形，． ， ， ， ， ． 类型一、菱形的性质求周长 1．如图，在菱形中，连接，点、分别是、的中点，连接，若，则菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识．由三角形的中位线定理可得，根据菱形的性质可得，即可求解． 【详解】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， ， 菱形的周长为， 故选：A． 2．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为 ． 【答案】24 【分析】过点A作于点M，于点N，由题意得四边形是平行四边形，根据矩形的宽相等，得到，结合，进而得到，推出，即可得到四边形是菱形，即可求解． 本题考查了菱形的判定和性质，菱形的周长，含30度角直角三角形的性质，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点M，于点N， 则， ∵两张纸条的对边平行， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：24． 3．下面是多媒体上的一道试题： 如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形． 下面是两位同学的对话： (1)请你选择一位同学的说法，并证明； (2)若，求菱形的周长． 【答案】(1)选择小星的说法，证明见解析； (2)16． 【分析】（1）根据菱形的性质，求出，进而证明，四边形是平行四边形．利用有一个角是的平行四边形是矩形即可得证； （2）利用勾股定理求出，再证明为等边三角形，得，即可得解． 【详解】（1）解：若选择小星的说法，证明如下： 四边形是菱形， ，． ， ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形． （2）解：， ． 在中，， ． ． 四边形是菱形， ， 为等边三角形， ， 菱形的周长为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，证明矩形及垂线定义，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 类型二、菱形的性质求面积 1．如图，在菱形中，对角线、交于点O，点G是的中点，若，，则菱形的面积是（　　） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键． 根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积是． 故选：C． 2．若菱形的周长为8，两个邻角的度数之比为，则该菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果． 【详解】解：如图， ∵两邻角度数之比为，两邻角和为， ∴，， ∵菱形的周长为8， ∴菱形的边长，，， ∴，， ∴菱形的面积． 故答案为：． 3．如图所示，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，且的周长为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形是平行四边形， 再证明，即可证明四边形是菱形； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得出，设，，得出，，求出， 再求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 是的中点，是斜边上的中线， ，， 又， ∴， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， 中，，是斜边上的中线， ∴， 四边形是菱形； （2）解：如下图所示，连接， 四边形是菱形， ， ， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形， ， 设，， 的周长为，， ，， ， 两边同时平方可得：， 展开得：， ， 整理得：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． 类型三、菱形的判定——四边相等的四边形 1．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形的判定定理进行排除选项即可． 【详解】解：A、根据“四条边相等的四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； B、由图可知：，所以根据“对角线互相平分且垂直的四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； C、由图可知只有三条边相等的四边形不一定是菱形，故符合题意； D、因为，所以根据“同旁内角互补，两直线平行”可知该四边形是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； 故选C． 2．如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到，两部分，将展开后得到的平面图形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定和图形的展开与折叠，根据图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下及左、右四条边都相等，再由菱形的判定方法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下及左、右四条边都相等， ∴展开后得到的平面图形是菱形， 故答案为：菱形． 3．某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： (1)如图，筝形中，，，点是的中点．用尺规过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：经过的中点，且， ，① ，，， ． ② 于点， ③ ． ， ． ④ 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知垂线的尺规作图方法和菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据已知推理过程，结合菱形的判定定理和线段垂直平分线的性质和判定定理证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：经过的中点，且， ，， ，，， ． ， 于点， ． ， ． ， 四边形是菱形． 类型四、菱形的判定——有一组邻边相等的平行四边形 1．如图，是一张平行四边形纸片，利用所学知识作出一个菱形，小明和小亮两位同学的作法如下： 小明：连接，作的中垂线交于E，F，则四边形是菱形． 小亮：分别作与的平分线，分别交于点E，交于点F，则四边形是菱形． 则关于两人的作法，下列判断正确的为（    ） A．小明正确 B．小亮正确 C．小明和小亮均错误 D．小明和小亮均正确 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 证明，得出，即可得出四边形是平行四边形，结合，即可得解；由平行线的性质，，由角平分线的定义得出，，得出，，由等角对等边得出，，推出，即可得出四边形是平行四边形，结合，即可得解． 【详解】解：如图1：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故小明的作法正确； 如图2， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故小亮的作法正确； 故选：D． 2．如图，把两条等宽都为4的长方形纸条重叠在一起，重合部分构成的四边形是何种特殊的平行四边形，请填写在横线上 ． 【答案】菱形 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，三角形全等的判定及性质． 根据题意可以得到，，从而可以判断四边形是平行四边形，再根据矩形的性质、全等三角形的判定和性质，可以得到，从而可以判定四边形是菱形． 【详解】解：由题意可得， ，， ∴四边形是平行四边形， 过点D作交的延长线于点E，过点A作于点F，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， 故答案为：菱形． 3．如图，在中，，点D是的中点，连接，过点C作，过点A作，交于点E，连接交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点F，交于点G，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质和勾股定理，解题关键是熟练掌握菱形的判定定理和勾股定理，准确进行推理证明和计算． （1）先根据，证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可； （2）根据菱形的性质得出，得出为等边三角形，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得． 类型一、中点四边形为菱形 1．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（　　） A．对角线相等的四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．等腰梯形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． 根据菱形的性质，得，结合三角形的中位线定理得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，四边形是菱形，点、、、分别是、、、的中点， ，，， ， 原四边形一定是对角线相等的四边形． 故选：A． 2．如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断． 【详解】解：、、、分别是、、、的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ，平分，故①③正确； 无法证明四边形是矩形，故②错误； 综上所述，①③共2个正确． 故答案为：①③． 3．如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．    (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由． (3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，进行判断即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，进行判断即可； （3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）当四边形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）当四边形满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查中点四边形．解题的关键是掌握三角形的中位线定理，以及菱形和矩形的判定定理． 类型二、菱形的折叠问题 1．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 2．如图，将矩形纸片折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边，AD相交于点E，F，折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，若，且四边形的面积为20，则线段EF的长为 ． 【答案】 【分析】过作于，则，根据矩形的性质和平行线的性质可证得，进而可得，再根据折叠的性质得到，即，然后根据平行四边形的判定和菱形的判定即可得出四边形为菱形，根据菱形的面积公式可求得的长，再利用菱形的性质和勾股定理求得，则有，再由勾股定理即可求得的长 【详解】解：方法1：如图，过E作于K，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵图形翻折后点G与点C重合，为折线， ∴， ∴， ∴， ∵图形翻折后与完全重合， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∵四边形的面积是20， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，． 方法2：由方法1得四边形是菱形， ∵四边形的面积是20， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，∴， ∴． ∵四边形的面积是20， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等角对等边证明边相等、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 3．【探究与证明】 折叠变换是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学探究． 【动手操作】 如图1，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，点与点重合，连接，请完成： （1）证明：； （2）猜想四边形的形状，并说明理由． 【类比操作】 （3）如图2，在矩形中，是的中点，在边上，将矩形沿折叠，点的对应点分别为的延长线过点，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）四边形是菱形，理由见详解；（3） 【分析】（1）根据四边形是矩形，得出，根据折叠，得出，根据同角的余角相等得出，根据“”即可证明． （2）根据四边形是矩形，得出，根据折叠，得出，证明，得出，根据，得出，结合折叠可得，即可证明四边形是菱形； （3）根据四边形是矩形，得出，连接，根据折叠，得出，证明，得出，，设，则，在中，由勾股定理，列式求解即可； 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ∵折叠，点与点重合， ， ， ， 又， ． （2）解：四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形， ， ∵折叠，点与点重合， ， 在和中， ， ， ， ∵， ， 根据折叠可得， ， ∴四边形是菱形； （3）解：∵四边形是矩形， ， 如图所示，连接， ∵折叠， ， 延长线过点， ， 在和中 ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质是解题的关键． 类型三、平面直角坐标系中的菱形 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的横坐标是，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：∵顶点A在直线上，点A的横坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点A向右平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的面积为48，顶点，则顶点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，根据菱形的面积为48，求出即可求解． 【详解】由题意得 ∵ ∴ ∴ ∴顶点B的坐标为 故答案为：． 3．如图，平行四边形在平面直角坐标系中，点B在x轴负半轴上，点D在第一象限，A，C两点的坐标分别为，，边的长为6． (1)点B的坐标 (2)若E为x轴正半轴上的点，且，求经过D，E两点的直线的解析式． (3)若点N在平面直角坐标系内，则在x轴上或线段的延长线上是否存在点F，使得以A，C，F，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，解得的长，继而得到点B的坐标； （2）由平行四边形的性质得到，通过解得到，再利用待定系数法解得经过D、E两点的直线解析式即可解题； （3）当点F在x轴上，以为边或以为对角线，当点F在线段的延长线上，以为边或以为对角线，作出适当的图形，结合菱形的性质，即可解题． 【详解】（1）解：平行四边形中， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设经过D、E两点的直线解析式为：， 把点，代入得：， 解得：，， ∴经过D、E两点的直线解析式为：； （3）存在；N的坐标为或或或或，理由如下： 当点F在x轴上， 若以为边，如图， 当点F在点C的右侧时， 四边形是菱形， ， ； 当点F在点C的左侧时， 四边形是菱形， ， ； 当点F在点C的左侧时， 四边形是菱形， ，， ， 点与点重合 ； 若以AC为对角线，如图， 四边形是菱形， 此时菱形中，， 在中， ， ； 当点F在线段的延长线上， 若以为边，如图，连接，交于点 四边形是菱形， 此时菱形中，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 点在直线上， 在中，， ， 点与点D重合， ； 若以为对角线，由的垂直平分线与平行，则不存在点F使以A，C，F，N为顶点的四边形为菱形； 综上所述，存在点F使以A，C，F，N为顶点的四边形为菱形，N的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查直角坐标系中点的坐标、待定系数法求一次函数解析式、菱形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 1．已知菱形的一条边长为4，则这个菱形的周长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为4，即可求出菱形的周长． 【详解】解：∵菱形的四条边都相等， ∴其边长都为4， ∴菱形的周长． 故选：D． 2．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键．根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ． 故选：B． 3．如图，矩形中，，嘉嘉和琪琪各自利用尺规作图的方法在矩形内作出了一个新的四边形，作图痕迹如图所示： 嘉嘉的作法：如图，四边形． 琪琪的作法：如图，四边形． 下面对四边形和四边形的判断正确的是（   ） A．四边形EFGH是矩形 B．四边形不是菱形 C．四边形周长等于四边形的周长 D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作图——作垂直平分线，菱形的判定及性质，掌握菱形的判定及性质是解题的关键． 对于嘉嘉的作法：连接，，由作图可得垂直平分，垂直平分，根据中位线的性质得到，．证明点F是的中点，点G是的中点，得到，，从而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形是平行四边形，又得到是菱形．判断选项A错误．根据勾股定理求出，得到． 对于琪琪的作法：由题意可得，是的垂直平分线，则，，证明得到，因此，又，得到四边形是平行四边形，再由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得到是菱形．判断选项B错误．设菱形的边长为x，根据勾股定理在中，求得，得到菱形的周长为，从而．即可判断选项C错误．根据菱形的面积公式即可判断选项D正确． 【详解】解：对于嘉嘉的作法： 连接，， 由作图可得垂直平分，垂直平分， ∴点H是的中点，点E是的中点，，， ∴，， ∵在矩形中，， 又，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，， ∵点H是的中点，点E是的中点， ∴，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴点F是的中点，点G是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴， ∴是菱形．故选项A错误． ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴． 对于琪琪的作法： 由题意可得，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设与相交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形．故选项B错误． 设菱形的边长为x，即， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴菱形的边长为，周长为． ∴．故选项C错误． ∵，， ∴．故选项D正确． 故选：D 4．如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件： ，使四边形为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此只需要添加条件使得四边形是平行四边形即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小是 ． 【答案】 【分析】根据菱形，得到，，于是，结合，得，于是，结合，计算的大小即可． 本题考查了菱形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短 【答案】/ 【分析】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，设与交于点O，于交于点，由菱形的性质得，，，在中由勾股定理可求出，则得出，在中由勾股定理可求出，则求出，然后再求出结果即可． 【详解】解：设与交于点O，于交于点，如下图所示： 依题意得：四边形，四边形均为菱形，且，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， 即的长需要缩短． 故答案为：． 7．如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的判定以及矩形的性质，熟练掌握解题方法是解答此题的关键．首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ,，， ， 平行四边形是菱形． 8．如图1，菱形中，点是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若，点在线段上，连接，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)或或 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据菱形的性质得，，然后证明，即可作答． （2）根据菱形的性质得，，，然后结合等腰三角形的性质，进行逐个作图，且根据三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵是等腰三角形， ∴当时，如图所示： ∴， ∴； ∴当时，如图所示： ∴； ∴当时，如图所示： ∴； 综上：当是等腰三角形时，的度数为或或． 9．如图，在菱形中，是对角线，，垂足为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） ． (1)在图1中，以为边，作矩形； (2)在图2中，以，，，为顶点作一个菱形（顶点，在菱形内部）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点，再连接并延长交于点，连接，则矩形即为所作，由菱形可得，可得，可证得，得出，可得到四边形是平行四边形，再由可得出矩形； （2）设（1）中分别与相交于点，连接，则菱形即为所作，由矩形可得，可得，再由可证得，得出，可得到四边形是平行四边形，再由可得出菱形． 【详解】（1）解：如图，矩形即为所作； （2）解：如图，菱形即为所作； 【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】． （1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】 （2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）菱形，理由见解析；（3） 【分析】（1）由折叠的性质即可得到答案； （2）先根据全等得到，进而得到证明四边形是平行四边形，再根据对角线垂直即可得到答案； （3）分两种情况讨论，当点与点重合时，的长最大；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵以直线为对称轴折叠矩形，点与点重合，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴与的位置关系为，与的数量关系为， 故答案为：；； （2）四边形是菱形．理由如下： ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）长的取值范围是． 【提示】如图，当点与点重合时，的长最大， 此时， ∴长的最大值为； 如图2，当点与点重合时，的长最小， 设，则， ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解得：， ∴长的最小值为， ∴长的取值范围是． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$