第四章 对数运算与对数函数 章末小结课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第四章 对数运算与对数函数 第四章章末小结 1 知识导图 2 题型 1 对数的运算 例1（1） [2021年天津卷] 若，则 ( ) . C A. B. C.1 D. [解析] ,, , .故选C. 题型探究 3 （2） [2022年浙江卷] 已知，，则 ( ) . C A.25 B.5 C. D. [解析] 因为，，即 ，所以 . 故选C. 题型探究 4 1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及 换底公式等，要求学生会利用运算性质进行化简、计算、证明等. 2.掌握基本运算性质，重点提升数学运算素养. 题型探究 5 题型 2 比较大小 例2 已知,,，则,, 的大小关系为( ) . A A. B. C. D. 根据指数、对数函数的单调性并引入中间量比较大小关系． [解析] 因为, , ，所以，故 ． 题型探究 6 比较对数式大小的策略：①能化成同底数的先化成同底数对数式，再利用单调 性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 题型探究 7 题型 3 对数函数的图象问题 例3 若函数，且 的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 ( ) . B A. B. C. D. 题型探究 8 [解析] 由题意知，且的图象过点，可得 .选项A中， ，显然图象错误；选项B中， ，由幂函数图象可知正确；选项C 中，,显然与所画图象不符；选项D中， 的图象与 的图象关于 轴对称，显然不符.故选B． 题型探究 9 识别函数的图象从以下几个方面入手 ①单调性：函数图象的变化趋势. ②奇偶性：函数图象的对称性. ③特殊点对应的函数值． 题型探究 10 题型 4 对数型函数的单调性与奇偶性问题 例4（1） （多选题）已知函数 ,则下列结论正确的是( ) . BC A.函数的单调递增区间是 B.函数的值域是 C.函数的图象关于直线对称 D.不等式的解集是 题型探究 11 [解析] 令,解得或,故的定义域为 . 在定义域内单调递增,在上单调递减,在 上单调 递增, 在上单调递减,在 上单调递增,A错误; ,即的值域 , 又, 函数的值域是 ,B正确; , 函数的图象关于直线 对称,C正确; 由,且 在定义域内单调递增, 可得,解得或 , 故不等式的解集是 ,D错误. 故选 . 题型探究 12 （法一：利用奇函数定义域的对称性） 若，则的定义域为 ，不关于原点对称, . 若奇函数有意义，则且 , 且 . 函数 为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得 ， （2） [2022年全国乙卷] 若是奇函数，则____， _____. 题型探究 13 由，得 ， . （法二：利用函数的奇偶性求参） , . 函数 为奇函数， ， 题型探究 ， ， ， ， . 题型探究 对数型函数的单调性与奇偶性的判断与应用：（1）注意底数 对函数单调性的 影响；（2）对数型函数的奇偶性，要根据对数型函数的形式和奇偶性的定义判断． 题型探究 16 题型 5 化归转化思想 例5 设函数的定义域为,，求 的最大值与最 小值，并求出取最值时对应的 的值． 先确定 的范围，通过换元，转化为二次函数，利用二次函数的单调性 求解． [解析] ,，，设,则 . 则 , 在区间,上是减函数，在区间, 上是增函数， 当，即时，取得最小值,最小值为 ; 当，即时，取得最大值,最大值为 ． 题型探究 17 一般来说，小题对对数函数的考查，仅限于对数函数本身的概念、图象与性质. 而解答题往往注重考查与对数函数有关的复合函数的性质.这类题目的解题思想如下： 通过换元转化成其他函数，如二次函数，或是将其他函数通过化归与转化，变成对数 函数来处理． 题型探究 18 对数的历史 对数产生于十七世纪的前二十五年.那时，航海人员为了确定船舶在大海中的航程 与位置，天文工作者为了处理观察行星运动所得的数据，都必须对具有很多数位的数 进行反复的计算.对数就是适应这种需要而产生的. 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 .纳皮尔对数字计算很 有研究,由他发明的作乘除法用的“纳皮尔算筹”与球面三角中的“纳皮尔比拟式”等在当 时都颇负盛名.但是这些成就与他所创始的对数比起来就显得微不足道了.恩格斯曾把 对数的发明、解析几何的创始以及微积分的创立并列为十七世纪数学的三大成就. 拓展延伸 19 纳皮尔于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的对数发明， 并解释了这项发明的特点.当时指数的概念尚未形成，纳皮尔不是从指数出发，而是通 过研究直线运动得出对数概念的. 与纳皮尔同时代的瑞士人别尔基 也独立地发现了对数，可能 还早于纳皮尔，但他直到1620年才发表相关论述，这时纳皮尔对数已经闻名全欧了. 拓展延伸 20 英国数学家布里格斯 最先认识到对数的重要性.他于1616年 专程去苏格兰拜访纳皮尔，并提出改良对数的建议，以便于应用.第二年纳皮尔逝世， 布里格斯以全部精力继承纳皮尔的事业，于1624年出版《对数算术》一书，公布了以 10为底的十四位对数表，这种对数被称为常用对数.布里格斯还用“首数”这个术语来称 呼对数的整数部分，而“对数尾数”一词是由英国牛津大学教授华里斯 首先使用 的（1693年）.此后，一直到十八世纪，瑞士数学家欧拉 才发现了 指数与对数的天然联系，他指出“对数源于指数”，这个见解很快被人们普遍接受.由于 欧拉的著作的影响，首数与尾数等术语得以通行，并在学校里开始被讲授. 拓展延伸 21 （限时：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1.（原创）函数 的定义域为( ) . C A. B. C. D. [解析] 由题意知解得，所以函数 的 定义域为 . 综合测试 22 2.（改编）若函数，且的图象恒过点，且点 在对数函 数的图象上，则 ( ) . D A. B.3 C. D. [解析] 由，得， 定点为 . 设,且，又,, ， ， . 综合测试 23 3.已知且,，则函数与 在同一平面直角坐标系中的图 象可能是( ) . C A. B. C. D. [解析] ,当时，在 上是增函数， 因为，所以在 上是减函数，没有符合条件的选项； 当时，在 上是减函数， 因为，所以在 上是增函数，与选项C中的图象相符． 综合测试 24 4.已知，,,则,, 的大小关系是( ) . A A. B. C. D. [解析] , , 在定义域内单调递增, , 而， ． 综合测试 25 5.若，则 ( ) . A A. B. C.1 D.2 [解析] 由题意知，,根据指数式与对数式的转化可得 , . 由换底公式可得， , 由对数运算化简可得 ． 综合测试 26 6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资 金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 ，则该公司全年投 入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) . 参考数据：，， . B A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年 [解析] 根据题意，设第 年开始超过200万元，则 ，化简为 ，则 ，解得 .故选B． 综合测试 27 7.函数 的单调递增区间为( ) . D A., B., C. , D., [解析] 由真数大于0，得，即，解得 ，所 以函数的定义域为.令，则 .因为 ，且，所以函数在, 上单调递增，在,上单调递减. 又因为是定义在 上的增函数，所以的单调递增区 间为, ． 综合测试 28 8.已知函数，且的定义域和值域都是，则 ( ) . A A. B. C. D.2 综合测试 29 [解析] 令，当时， 单调递减. 当时， 为增函数， 在 上单调递减， 由题意可得 此时方程组无解. 当时，在 上单调递增， 由题意可得解得 ． 综合测试 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分） 9.下列等式成立的是( ) . ABD A. B. C. D. [解析] 根据对数的运算，可得, ,故A，B成立； 取,,故C不成立； ，故D成立． 综合测试 31 10.若, ,则下列结论错误的是( ) . ABC A. B. C. D. [解析] 由,,得, , ，故A错误； ,故B错误,D正确； ，故C错误． 综合测试 32 11.函数在 上是减函数，下列说法正确的是( ) . AD A.在上单调递增且无最大值 B.在 上单调递减且无最小值 C.在定义域内是偶函数 D.的图象关于直线 对称 [解析] 由，得函数的定义域为 . 设则在上为减函数，在 上为增函 数，且的图象关于直线对称，所以的图象关于直线 对称，D正确； 因为在上是减函数，所以 ， 所以在 上单调递增且无最大值，A正确，B错误； 因为，所以C错误.故选 ． 综合测试 33 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若，则 的值是___. [解析] 由，得，所以 . 综合测试 34 13.定义：区间的长度为.已知函数 的定义域为 ，值域为，则区间 的长度的最大值为___． [解析] 画出函数 的图象（如图所示）， 由，得或,所以长度的最大值为 ． 综合测试 35 14.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是 ， 天狼星的星等是 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为_______. [解析] 两颗星的星等与亮度满足 ， 令, ， 则,故 . 综合测试 36 四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16~17题每题15分，第18 ~19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.计算：（1） ； （2） ． [解析] （1）原式 ． （2）原式 ． 综合测试 37 16.某科研团队在某地区种植一定面积的藤蔓植物，发现其蔓延速度越来越快.已知经 过2个月其覆盖面积为，经过4个月其覆盖面积为.现该植物覆盖面积 （单位:）与经过时间 （单位：月）的关系有函数模型 与可供选择.（参考数据: ， ，， ） （1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）求至少经过几个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的15倍. 综合测试 38 [解析] （1）因为 的增长速度越来越快， 的增长速度越来越慢，所以根据题意应选择函数模型 . 由题意知所以 所以， . （2）当时，，所以藤蔓植物原先的种植面积为 . 设经过 个月藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的15倍, 所以，可得 ， 所以 ， 所以至少经过7个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的15倍. 综合测试 39 17.已知函数， ． （1）设，，求 的最大值与最小值； （2）求 的值域． [解析] （1）因为函数在上单调递减，所以 ， ． （2）令，则 ， 由（1）得，因此当，即时，；当 ，即 时， ． 因此，函数的值域为 ． 综合测试 40 18.已知函数是且的反函数，且的图象过点， ． （1）求与 的解析式； （2）比较，与 的大小． [解析] （1）因为函数是且 的反函数，所以 且 ． 因为的图象过点，，所以，所以，解得 , 所以， ． （2）因为， ，又 ， 且，所以 ，所以 ． 综合测试 41 19.已知函数 是奇函数． （1）求 的值； （2）判断函数在 上的单调性，并说明理由； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数 的取值范围． 综合测试 42 [解析] （1）是奇函数， 定义域关于原点对称， 由，得 ． 令，得,,，解得 ． （2）函数在 上单调递增．理由如下: 由（1）知 . 令，设任意，且, ， 则 . 综合测试 43 ，,, ， ，即 ． 对任意，且, , , 又函数 在定义域内单调递减， , ，即 . 在 上为增函数． 综合测试 （3）由题意知在 上恒成立， 令,,由（2）知在 上为增函数， 又在上也是增函数，故在 上为增函数， 的最小值为 ， ，故实数的取值范围是 , ． 综合测试 45 $$