第七章 概率 章末小结课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第七章 概率 第七章章末小结 1 知识导图 2 题型 1 随机事件的关系判断 例1 有下列说法：①将一枚硬币抛两次，设事件为“两次出现正面”，事件 为“只有 一次出现反面”，则事件与互为对立事件；②若事件与互为对立事件，则事件 与为互斥事件；③若事件与为互斥事件，则事件与互为对立事件；④若事件 与互为对立事件，则事件 为必然事件.其中正确的是( ) . B A.①②④ B.②④ C.③④ D.①② 题型探究 3 [解析] 对于①，一枚硬币抛两次，共会出现{正，正，正，反，反，正， 反，反} 四种结果，则事件与 是互斥事件，但不是对立事件，故①错误；对于②，对立事 件首先是互斥事件，故②正确；对于③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事 件，故③错误；对于④，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发 生，故④正确.故选B. 题型探究 4 事件关系的判断要紧扣定义，逐一判断. 题型探究 5 题型 2 交、并事件的概率 例2 （改编）（多选题）已知事件，，且， ，则下列结论正 确的是( ) . ABD A.若 ，则 B.若，则 C. D.若，则 [解析] 对于A，因为 ，所以A，B互斥，所以 ， 故A正确； 对于B，因为，所以 ，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，因为，所以，所以 ，所以 ，故D正确. 题型探究 6 本题考查交、并事件的概率计算，常用公式：①若事件，， ， 彼此 互斥，则；②设事件 的对立事件 是，则 .解题过程渗透了数据分析、数学运算的核心素养. 题型探究 7 题型 3 古典概型的求法 例3 [2020年全国Ⅰ卷] 设为正方形的中心，在，，，， 中任取3点，则 取到的3点共线的概率为( ) . A A. B. C. D. [解析] 如图，从，A，B，C，个点中任取3个，有，A， ， ，A，，，A，，，B，，，B，，，C，， ， B，，，B，，，C，，，C， ，共10种不同的取法， 3点共线只有，，与，B， ，共2种取法. 由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为 . 题型探究 8 本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用了列举法，渗透了数学运算、数 据分析的核心素养. 题型探究 9 题型 4 相互独立事件的概率 例4 （改编）（多选题）已知， ，则( ) . AC A.若，则事件与相互独立 B.若与相互独立，则 C.若与相互独立，则 D.若发生时,一定发生，则 [解析] 对于A，因为，，所以 ，所以 ，所以事件 与B相互独立，则事件与也相互独立， A正确； 对于B，若与相互独立，则 ，B错误；对 于C，若与相互独立，则与相互独立，所以 ，C 正确； 对于D，若发生时,一定发生，则 ，D错误. 题型探究 10 判断事件，是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成 立.解题过程渗透了数学运算、逻辑推理的核心素养. 题型探究 11 题型 5 频率与概率 例5 为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了8批试验，油菜籽发 芽试验的相关数据如下表． 批次 1 2 3 4 5 6 7 8 每批粒数 5 10 130 700 1500 2000 3000 5000 发芽粒数 4 9 117 637 1335 1786 2709 4490 （1）计算各批次试验中油菜籽发芽的频率. （2）由各批次油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？ （3）估计该油菜籽发芽的概率. 题型探究 12 [解析] （1）批次，批次，批次 ，批次 ，批次，批次，批次 ， 批次 ． （2）当试验次数越来越多时，频率越来越趋近并稳定于一个常数. （3）当试验次数越来越多时，频率在0.9附近波动，由此可估计该油菜籽发芽的概率 为0.9． 题型探究 13 对于概率的定义应注意以下几点：（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大 量的重复试验.（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件 的概率. （3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.（4）概率反映了随机事件发生的 可能性的大小.（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故 . 题型探究 14 题型 6 概率与统计的综合问题 例6 [2020年全国Ⅰ卷] 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标 准分为，，，四个等级.加工业务约定：对于级品、级品、 级品，厂家每件 分别收取加工费90元，50元，20元；对于 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该 厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本 费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种 产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 题型探究 15 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 28 17 34 21 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 级品的概率. （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂 家应选哪个分厂承接加工业务？ 题型探究 16 [解析] （1）由表可知，甲分厂加工出来的一件产品为级品的概率为 ，乙分 厂加工出来的一件产品为级品的概率为 . （2）甲分厂加工100件产品的总利润为 （元）， 所以甲分厂加工100件产品的平均利润为 （元）； 乙分厂加工100件产品的总利润为 （元）， 所以乙分厂加工100件产品的平均利润为 （元）. 故厂家应选择甲分厂承接加工任务. 题型探究 17 本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值 做出决策，渗透了数据分析、数学运算的核心素养. 题型探究 18 概率论的发展 在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念，以及 它们的基本性质.后来出现了许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、 天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等. 这些问题的提出，均促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，伯努利、棣莫弗、 拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出 了杰出的贡献. 在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度.但是，随着概率论中各个 领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给 出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象.因此可以 拓展延伸 19 说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作 为一个数学分支，缺乏严格的理论基础. 概率论的第一本专著是1713年问世的雅各布·伯努利的《推测术》.经过二十多年 的艰难研究，伯努利在该书中，表述并证明了著名的“大数定律”.所谓“大数定律”，简 单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小.这 一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构建了从 概率论通向更广泛应用领域的桥梁.因此伯努利被称为概率论的奠基人. 为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫.1933年，他发表了著名的 《概率论的基础》，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论，是概率论发展史上 的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础. 拓展延伸 人们对偶然现象（即随机现象）规律性的探求，经历了相当长的历史时期，甚至 可以追溯到远古的原始社会.最早，人们对事物的偶然性并不重视，他们认为这是“微 不足道的”，而只注意那些有一定必然规律的现象.但是，严酷的现实使人们感到这种 观点是错误的，因为火灾、水灾、地震等偶然现象一旦发生，便给人们的生命财产带 来不可估量的损失.随之，人们又认为偶然现象是“可怕的”“严重的”.但是在实践中人们 又发现，事物的偶然性不仅有可怕的一面，也有造福于人类的一面，例如久旱后偶遇 甘霖，就是大喜之事. 这样，人们开始探讨偶然现象发生的规律性.由于生产力水平，科学文化知识所限， 长期以来人们对偶然现象的规律性探求进展十分缓慢，甚至有人提出它是“神秘的”“不 可捉摸的”.直到唯物辩证法产生，才开始从研究偶然性与必然性这一对矛盾的对立统 一中加深了认识. 拓展延伸 恩格斯在《路德维希·费尔巴哈和德国古典哲学的终结》一文中指出：“在表面上 是偶然性起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的，而我们的 问题是发现这些规律.”马克思主义的认识论，给人们指出了认识偶然性的正确方法. 到了19世纪，概率论的研究开始朝着系统化的方向发展，其中贡献最大的数学家 有法国的拉普拉斯、泊松，德国的高斯，俄国的切比雪夫、马尔可夫等. 拉普拉斯，1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎 军事学院数学教授.1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授. 1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中担任过6个星期的内政部长. 1816年被选为法兰西学院院士，1817年担任该院院长.1827年3月5日卒于巴黎.拉普拉 斯一生写过好几本概率论专著，其中《概率分析理论》（1812年）被誉为古典概率论 系统理论的经典之作，全面总结了前一时期的研究成果，并予以严密而又系统的表述， 拓展延伸 给出了“棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理”的理论证明，建立了观察误差的理论和最 小二乘法. 1917年，数学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系. 1933年，柯尔莫哥洛夫以莫斯科学派所擅长的思变函数论和测度论为基础，又给 出了概率论的一个公理体系.这一体系与伯恩斯坦的相比，不仅使现代意义下的概率论 理论更加严密完备，而且为论述无限随机实验序列和一般随机过程提供了足够的逻辑 基础.因此，柯尔莫哥洛夫和他的工作称为苏联数学史上最光辉的一页. 拓展延伸 （限时：120分钟 总分:150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列是确定性现象的是( ) . B A.2025年6月18日，北京市不下雨 B.在标准大气压下，水在 时不结冰 C.从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D.若，则 的值不小于1 [解析] ，C，D为随机现象，B为确定性现象. 综合测试 24 2.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) . A A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” [解析] 由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件. 综合测试 25 3.由经验可知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.11 0.16 0.3 0.29 0.1 0.04 则至多有2人排队的概率为( ) . C A.0.3 B.0.43 C.0.57 D.0.27 [解析] 记“没有人排队”为事件，“1人排队”为事件，“2人排队”为事件，，， 彼此互斥.记“至多有2人排队”为事件 ，则 . 综合测试 26 4.将数字1，2，3填入标号为1，2，3的三个方格里，每个方格填上一个数字，则每个 方格的标号与所填的数字均不相同的概率是( ) . B A. B. C. D. [解析] 将数字1，2，3填入标号为1，2，3的三个方格里，有6种不同的填法，这6种情 况发生的可能性是相等的.而每个方格的标号与所填的数字均不相同只有2种不同的填 法.故所求概率 . 综合测试 27 5.已知集合，在集合中随机取一个数 ，使得一元二次方程 有解的概率为( ) . D A. B. C. D. [解析] 若一元二次方程有解，则解得 且 ， 集合中含有9个元素，其中满足且 的有4个， 故一元二次方程有解的概率为 .故选D. 综合测试 28 6.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率 分别为和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等 奖的概率为( ) . D A. B. C. D. [解析] 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得、乙没有获得或甲没有获得、乙获 得，则所求概率是 . 综合测试 29 7.（改编）有如图所示的花坛，将2种不同颜色的花种植在花坛中（颜色可以不用完）， 每个矩形地块只种一种颜色的花，则相邻地块种植的花颜色不同的概率是( ) . B A. B. C. D. [解析] 设两种颜色不同的花为1,2，每个矩形只种一种花，样本点有111，112，121， 122，211，212，221，222，共8个,满足相邻地块种植的花颜色不同的样本点有121， 212，共2个,故所求概率为 . 综合测试 30 8.（原创）为了提高学生身体素质，学校十分重视学生的体育锻炼.某中学校篮球队甲、 乙两位队员进行投篮比赛，规则如下：每人投篮两次，每投中一次得1分，没有投中 得0分，谁得分高谁获得比赛的胜利；若得分一样,则双方平局，比赛结束.已知甲每次 投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为 ，甲、乙每次投篮相互独立，若甲以 获胜的概率是，则 ( ) . D A. B. C. D. [解析] 设“甲以 获胜”为事件，“甲投中1次”为事件，“乙投中0次”为事件，则 ， ，所以 ，解得 .故选D． 综合测试 31 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分） 9.下列说法错误的是( ) . ABD A.如果抛掷硬币出现正面向上的概率为 ，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币， 一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B.如果某种彩票的中奖概率为 ，那么买10张这种彩票一定能中奖 C.在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面 还是反面来决定哪一方先发球，这样做是公平的 D.若一个骰子掷一次得到点数2的概率是 ，则说明一个骰子掷6次一定会出现一次点数2 综合测试 32 [解析] 概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A， B，D错误；上抛均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C正确.故 选 . 综合测试 33 10.设，为同一试验中的两个随机事件，，的对立事件分别为， ， ， ，下列说法正确的是( ) . AD A.若，则事件与 一定不互斥 B.若，则事件与 一定对立 C.若，则 的值为0.3 D.若事件与相互独立且，则 综合测试 34 [解析] 因为，所以 ，即事件与事件不互斥，故A正确； 概率都为 ，事件与事件不一定对立，故B错误； 因为，所以，又事件 与不一定相互独立，所以 不一定成立，故C错误； 因为事件与相互独立，所以与 也相互独立，所以 ，解得，故D正确.故选 . 综合测试 35 11.（改编）一个不透明的袋子中装有除颜色外其他都相同的2个红球、3个黄球，则下 列说法正确的有( ) . BD A.从中取一个球，有“取到红球”和“取到黄球”两种结果，所以取到红球的概率为 B.从中随机取两个球，取到的两个球颜色不同的概率为 C.从中依次取两个球，每次取一个，取后放回，则取到的两个球颜色不同的概率为 D.从中依次取两个球，每次取一个，取后不放回，则第一次取到红球且第二次取到黄 球的概率为 综合测试 36 [解析] 设两个红球是， ，3个黄球为1，2，3. A选项,总样本点有5个，“取到红球”含有2个样本点，“取到黄球”含有3个样本点，所以 “取到红球”和“取到黄球”的概率分别为和 ，A错误； B选项,总样本点有，，，，，， ，12，13，23，共10个，“取到的两 个球颜色不同”含有6个样本点，所以取到的两个球颜色不同的概率为 ，B正确； C选项,由列举法可知，总样本点有25个，“取到的两个球颜色不同”含有12个样本点， 所以取到的两个球颜色不同的概率为 ，C错误； D选项,从中依次取两个球，每次取一个，取后不放回，总样本点有20个，“第一次取 到红球且第二次取到黄球”含有6个样本点，所以第一次取到红球且第二次取到黄球的 概率为 ，D正确． 综合测试 37 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生，其中共青团员有320人，戴眼镜的 有365人.若在这个学校随机抽查一名学生，则估计他是共青团员的概率为_____，戴眼 镜的概率为_____. 0.64 0.73 [解析] 因为500名学生中共青团员有320人，所以共青团员的频率为 ，所以 随机抽查一名学生，估计他是共青团员的概率为0.64；因为500名学生中戴眼镜的有 365人，所以戴眼镜的学生的频率为 ，所以随机抽查一名学生，估计他戴眼 镜的概率为0.73. 综合测试 38 13.如图，电路有，，三个开关，每个开关开或关的概率都是 ，且是相互独立的， 则灯泡甲亮的概率为__. [解析] 设“闭合”为事件，“闭合”为事件，“闭合”为事件 ，则“灯泡甲亮”应为事 件，又，，之间彼此独立，且 ， 所以 . 综合测试 39 14.已知，1，，，1，3，，则函数在区间 上为增函数的概率是___. [解析] 因为，1，，，1，3， ， 所以样本点总数 . 用表示， 的取值， 若函数在区间 上为增函数， 则①当时，，符合条件的只有，即， ; ②当时，需满足，符合条件的有，，， ，共4种情况. 所以函数在区间上为增函数的概率 . 综合测试 40 四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16~17题每题15分，第18 ~19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件为“只订甲报纸”，事件 为“至少订 一种报纸”，事件为“至多订一种报纸”，事件为“不订甲报纸”，事件 为“一种报纸 也不订”.试判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件． （1）与；（2）与；（3）与；（4）与 ． 综合测试 41 [解析] （1）由于事件“至多订一种报纸”中，有可能“只订甲报纸”，即事件与 有可 能同时发生，故与 不是互斥事件． （2）事件“至少订一种报纸”与事件“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故 与 是互斥事件，又因为市民要么“至少订一种报纸”，要么“一种报纸也不订”，故与 是对立事件． （3）事件 “至少订一种报纸”中，有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即 事件与事件可能同时发生，故与 不是互斥事件． （4）事件 “至少订一种报纸”中，有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙 两种报纸”；事件 “至多订一种报纸”中，有这些可能：“一种报纸也不订”“只订甲报纸” “只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故与 不是互斥事件． 综合测试 42 16.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层随机抽样的方法从这些学校 中抽取6所学校对学生进行视力调查. （1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. （2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析. ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率. 综合测试 43 [解析] （1）抽样比为 ，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目 为3，2，1. （2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为，，，2所中学分别记为 ， ，大学记为.则从中抽取2所学校的所有可能结果为，，，， ， ，，，，，，，，，，，，，， ， ，，，，，，，，， ，共15种. ②“从6所学校中抽取的2所学校均为小学”记为事件，事件的所有可能结果为 ， ，，，，，共3种，所以 . 综合测试 44 17.在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场），共 赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率 为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为 . （1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率; （2）求在该次比赛中甲队至少得3分的概率. 综合测试 45 [解析] （1）甲队获第一名且丙队获第二名就是甲胜乙，甲胜丙且丙胜乙.各队比赛相 互独立，设“甲队获第一名且丙队获第二名”为事件，则 ． （2）甲队至少得3分有两种情况:甲队两场只胜一场;甲队两场都胜.设事件 为“甲队两 场只胜一场”，事件为“甲队两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为 ， 所以 ． 综合测试 46 18.某校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能 力．学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分 为，， 三个等级，其统计结果如下表： 语言表达能力 文字组织能力 2 2 0 1 1 0 1 由于部分数据丢失，只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达 能力或文字组织能力为的学生的概率为 . 综合测试 47 （1）求， 的值； （2）从测试成绩不含 的学生中任意抽取2位，求其中至少有1位语言表达能力或文字 组织能力为 的学生的概率． 综合测试 48 [解析] （1）依题意可知，语言表达能力或文字组织能力为的学生共有 位， 所以 . 又，所以， . （2）测试成绩不含的学生共有7位，其中语言表达能力和文字组织能力均为 的学生 有2位，设为，，其余5位学生设为，，，， . 则样本空间，，，，，， ， ，，，，，，， ， ，，，，， ，所以样本点总数为21.选出 的2位学生的语言表达能力和文字组织能力均为的有 ,所以至少有1位语言表达 能力或文字组织能力为的学生的概率 . 综合测试 49 19.某学校团委组织了“文明出行，爱我中华” 的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名 学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到 如下频率分布直方图（其中分组区间为 ， ， . （1）求成绩在 的频率，并补全频率分 布直方图； （2）求这次考试平均分的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）若从成绩在和 的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间 的概率. 综合测试 50 [解析] （1）成绩在 的频率为 ,频率分布直方图如图所示. （2）依题意可得，这次考试平均分的估计值 为 . 综合测试 51 （3）设他们的成绩在同一分组区间的概率为，易知成绩在与 的学生 人数都是3，将分数段的3人编号为，，，将 分数段的3人编号 为，，.从中任选两人，则样本空间，， ， ，，，，，，， ， ，，， ，共15个样本点，其中他们的成绩在同一分组 区间的事件所含样本点为，，，，， ， 共6个，故概率 . 综合测试 52 $$