新教材经典试题回顾与变式训练：随机变量及其分布——2025届高三数学三轮冲刺

新教材经典试题回顾与变式训练：随机变量及其分布 1.(选择性必修三P50例4) 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 2.(选择性必修三P52练习T1)现有道四选一的单选题，学生张君对其中道题有思路，道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为.张君从这道题中随机选择题，求他做对该题的概率. 变式:: 已知则 3.(选择性必修三P53T10)证明：当时，.据此你能发现计算的公式吗？ 变式:甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球． （1)当时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y，求，，，； （2)当时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设表示“第k次取出的是红球”，比较与的大小； （3)由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布．现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：) 4.(选择性必修三P52习题7.1T3) 甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率. 5.(1)(选择性必修三P53T7)一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率. (2)(选择性必修三P53T8)在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为、、，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为的概率是多大？ 6.(选择性必修三P75例3)甲､乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？ 7.(源于选择性必修三P76探究).二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量． （1）证明：（ⅰ）（，且），其中为组合数； （ⅱ）随机变量的数学期望； （2）一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量表示事件发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系． 8. (选择性必修三P80习题7.4T1)抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差. 9.(选择性必修三P81习题7.4T3)如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率. （1）质点回到原点； （2）质点位于4的位置. 10.(源于选择性必修三P87习题7.5T1改编)某校高三学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率 ．（结果用分数表示） 附参考数据：，. 11.(选择性必修三P91复习参考题7T5) 已知随机变量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，且，求n的值． 12. (选择性必修三P91复习参考题7T6) 已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次． （1）当时，求恰好击中目标3次的概率（精确到0.001）； （2）如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？参考:lg7=0.8451 13.(源于(选择性必修三P91复习参考题7T7 改编)长时间玩手机可能影响视力．据调查，某学校大约的学生近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为 ． 14. (选择性必修三P91复习参考题7T0改编)从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 15. (源于(选择性必修三P91复习参考题7T9 改编)购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金万元.已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为 （保留两位有效数字）；一年度内盈利的期望为 万元.（参考数据：） 16.(源于(选择性必修三P91复习参考题7T11 改编)某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占0.05，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5人全部阴性；如果混合呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.（每一小组都要按要求独立完成） (1)按照这种化验方法能减少化验次数吗?如果能减少化验次数，大约能减少多少? (2)如果携带病毒的人只占0.02，按照个人一组，取多大时化验次数最少?此时大约化验多少次? 说明：，先减后增 0.8858 0.8681 0.8508 0.8337 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新教材经典试题回顾与变式训练：随机变量及其分布 1.(选择性必修三P50例4) 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 解：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则.，且与互斥，根据题意得 ，，. 由全概率公式，得 .因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. 2.(选择性必修三P52练习T1)现有道四选一的单选题，学生张君对其中道题有思路，道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为.张君从这道题中随机选择题，求他做对该题的概率. 【答案】 【解析】记事件张君选择的是有思路的题，记事件答对该题， 则，，，， 由全概率公式可得. 变式 已知则 【答案】 【解析】由题知，，， ，又， 则 3.(选择性必修三P53T10)证明：当时，.据此你能发现计算的公式吗？ 【解析】因为， 所以； 所以. 变式:甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球． （1)当时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y，求，，，； （2)当时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设表示“第k次取出的是红球”，比较与的大小； （3)由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布．现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：) 【解析】（1)对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的， 则 X服从超几何分布，X的可能取值为1，2，3，则 ， 或【】 （2)解：，即采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为： 又， 则． （3)因为，， ，即， 即，即， 由题意知，从而， 化简得， 解法1：又，，令， 则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，从而在时单调递增， 当时，，又，， 当时，符合题意 考虑到，都是整数，则N一定是5的正整数倍，所以N至少为195时，在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布． 解法2：化简得，或，N为整数，或 ，都是整数，则N一定是5的正整数倍，所以N至少为195时，在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布． 4.(选择性必修三P52习题7.1T3) 甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率. 【答案】0.75 【解析】由题意可得，目标至少被命中1次的概率为， 又因为甲命中目标的概率为， 所以目标至少被命中1次，甲命中目标的概率. 5.(1)(选择性必修三P53T7)一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率. 【答案】 【解析】抽检第1件产品不合格的概率为， 抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率为， 所以这批产品被拒绝的概率为. (2)(选择性必修三P53T8)在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为、、，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为的概率是多大？ 【答案】 【解析】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、， 则，，. 在子二代中任取颗豌豆作为父本杂交，分以下三种情况讨论： ①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为. 综上所述， . 因此，子三代中基因型为的概率是. 6.(选择性必修三P75例3)甲､乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？ 解法：采用3局2―制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲､乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为. 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为 . 7.(源于选择性必修三P76探究).二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量． （1）证明：（ⅰ）（，且），其中为组合数； （ⅱ）随机变量的数学期望； （2）一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量表示事件发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系． 【解析】（1）（ⅰ）， ， （ⅱ）， 令，则 （2）易知，又因为随机变量，所以， ，若时，其概率最大， 则，得， 得， 所以，其数学期望小于最有可能发生得次数． 8. (选择性必修三P80习题7.4T1)抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差. 【答案】均值，方差. 【解析】依题意试验一次成功的概率为，且每次试验是相互独立， 所以30次试验中成功次数X服从二项分布， ， 所以在30次试验中次数的均值为，方差为. 9.(选择性必修三P81习题7.4T3)如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率. （1）质点回到原点； （2）质点位于4的位置. 【答案】（1）；（2）. 【解析】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动6次，且每次移动是相互独立，则. （1）质点回到原点，则，， 所以质点回到原点的概率是； （2）当质点位于4的位置时，则，， 所以质点位于4的位置的概率是. 10.(源于选择性必修三P87习题7.5T1改编)某校高三学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率 ．（结果用分数表示） 附参考数据：，. 【答案】 【解析】由题知，事件为“记该同学的成绩”， 因为，， 所以， 又， 所以.故答案为： 11.(选择性必修三P91复习参考题7T5) 已知随机变量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，且，求n的值． 【答案】19 【解析】因为随机变量X取可能的值1，2，…，n是等可能的， 所以， 所以， 所以解得. 12. (选择性必修三P91复习参考题7T6) 已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次． （1）当时，求恰好击中目标3次的概率（精确到0.001）； （2）如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？ 参考:lg7=0.8451 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）门大炮同时对某一目标各射击一次， 设击中目标的次数为，则， 故恰好击中目标3次的概率为. （2）由题意，n门大炮同时对某一目标各射击一次， 击中次的概率为，则至少击中一次的概率为， 则，即， 解得， 因为，所以如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要门大炮. 13.(源于(选择性必修三P91复习参考题7T7 改编)长时间玩手机可能影响视力．据调查，某学校大约的学生近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为 ． 【答案】 【解析】设事件“任意调查一名学生，每天玩手机超过”，则，所以0.7．设事件“任意调查一名学生，该学生近视”， ， 所以．故答案为：. 14. (选择性必修三P91复习参考题7T0改编)从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 【解析】（1）的可能取值为2和3， 则，所以随机变量的分布列为： 2 3 （2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，， 则有，，. ②记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 所以 即，，所以，且. 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 即次传球后球在甲手中的概率是. 15.(源于(选择性必修三P91复习参考题7T9 改编)购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金万元.已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为 （保留两位有效数字）；一年度内盈利的期望为 万元.（参考数据：） 【答案】 【解析】由题意，设该保险业务需赔付为事件， 该保险每一份保单需要赔付的概率为，则每一个保单不需要赔付的概率为， 故万份保单都不需要赔付的概率为， 所以，保险业务需赔付的概率为， 设万份保单需赔付的件数为，则， 则需赔付的保险金为，则（元）（万元）， 所以，一年度内盈利的期望为（万元）. 故答案为：；. 16.(源于(选择性必修三P91复习参考题7T11 改编)某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占0.05，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5人全部阴性；如果混合呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.（每一小组都要按要求独立完成） (1)按照这种化验方法能减少化验次数吗?如果能减少化验次数，大约能减少多少? (2)如果携带病毒的人只占0.02，按照个人一组，取多大时化验次数最少?此时大约化验多少次? 说明：，先减后增 0.8858 0.8681 0.8508 0.8337 【详解】（1）5人一组需要验血次数X的所有可能取值为1，6. ∴， ∴的分布列为： 1 6 ∴∴共需要化验次数大约为：（次）大约减少（次） ∴混合化验能减少化验的次数，大约减少5738次. （2）假设个人一组，设每个人需要化验的次数为，若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则 ∴的分布列为： ∴∵先减后增， ，∴ ，∴ ∴时，最小，最小值为：，此时大约化验：次. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$