河北省秦皇岛市第三中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷A卷

秦皇岛市第三中学2024 - 2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷A卷 命题人：王进 考试说明：考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。只有一个选项是正确的。请把正确的选项填在答题卡的相应位置 1.若为实数，是纯虚数，则复数为（ ） A. B. C. D. 2.已知，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 3.已知在中，角，的对边分别为，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4.已知空间向量，且，，，则一定共线的三点是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6.在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7.在中，，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8.已知两个单位向量，的夹角为，则下列结论中正确的有（ ） ①在上的投影向量为；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9.已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 10.（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，，则下列说法正确的有（ ） A. 该圆台的高为 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台轴截面面积为 D. 一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 11.若向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行 C. 在上的投影向量为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.的内角、、所对边长分别为、、，且，则____． 13.向量，在边长为的正方形网格中的位置如图所示，则____． 14.若（，，为虚数单位），则____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分）计算 (1) (2) (3) 16.（15分）已知向量，． (1)求； (2)求； (3)求． 17.（15分）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，． (1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积； (2)求该“阳马”的外接球的表面积． 18.（17分）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角，以及．从点测得，已知山高． (1)求两点间的长度； (2)求山的高度． 19.（17分）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，的面积为，求边上的高． 秦皇岛市第三中学2024 - 2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷A卷 答案 一、单选题 1．若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的概念得出的值即可. 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 2．已知，，若与共线，则（    ） A． B．4 C．9 D． 【答案】A 【分析】根据平面向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为与共线， 所以，解得. 故选：A. 3．已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得,故. 故选：C 4．已知空间向量且则一定共线的三点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用向量加法求出，利用共线向量定理逐一判断即可. 【详解】解：对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ,即 ,无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 5．已知向量，，若，则（   ） A．1 B．3 C．1或 D．1或3 【答案】C 【分析】先应用向量加法，再应用垂直得出平面向量的数量积为0计算求参. 【详解】因为，， 所以. 又，所以， 解得或. 故选：C. 6．8．在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，由正四面体的表面积求出，从而求出正方体的表面积. 【详解】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 所以， 所以， 所以. 故选：B 7.在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解. 【详解】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 8．已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的有（   ） ①在上的投影向量为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据投影公式判断①，应用平面向量数量积公式定义判断②，根据向量数量积平方计算判断③，应用向量的垂直判断④. 【详解】在上的投影向量是一个向量，故①不正确； 故②不正确； ，故③正确； 如图所示，设，作平行四边形，则为菱形．则． 故④正确. 故选：B. 二、多选题 9．已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ACD 【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D. 【详解】由于， 则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误； 由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确， 故选：ACD. 10．（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 【答案】CD 【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项． 【详解】如图①，作交于E，则， 则，则圆台的高为，故A错误； 圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确； 将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形， 可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 连接，可得，，则， 所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确． 故选：CD． 11．若向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．与平行 C．在上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据平面向量的模的坐标公式计算即可判断；对于B，根据平面向量的坐标判断即可；对于C，根据投影向量的定义计算即可；对于D，先根据平面向量夹角余弦的坐标公式计算，再利用平方关系求正弦值即可. 【详解】A选项：，则，，则，所以，故A正确； B选项：，又，因为，所以与不平行，故B错误； C选项：，又，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； D选项：，又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．的内角、、所对边长分别为、、，且，则 ． 【答案】 【分析】应用余弦定理求出角即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 13．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则 . 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 小网格的边长为1，从而， 所以，从而， 所以. 故答案为：. 14．若（，为虚数单位），则 ． 【答案】73 【分析】根据复数乘法运算及复数相等求出得解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 则. 故答案为：73 四、解答题 15．已知向量，． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. （2）根据向量模的计算公式计算可得. （3）利用向量夹角余弦公式可求出答案. 【详解】（1）因为，, 所以 （2）因为，, 所以， 所以, （3）. 16．计算 (1) (2) (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复数的加减法法则求解； （2）根据复数的乘除法法则求解； （3）根据复数的乘法法则求解. 【详解】（1） ； （2） （3）. 17．我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，. (1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积； (2)求该“阳马”的外接球的表面积. 【答案】(1)证明见解析，4 (2) 【分析】（1）根据平面，且是矩形，可证明四棱锥是“阳马”，根据锥体的体积公式可求其体积； （2）根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解. 【详解】（1）因为长方体中，平面，且是矩形， 所以四棱锥中，底面是矩形，且侧棱底面， 所以四棱锥是一个“阳马”， 体积； （2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为，. 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为. 18．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 【答案】(1) (2)200 【分析】（1）解直角三角形即可求得答案； （2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求； 【详解】（1）在中，因为，，， 所以， （2）在中，因为，，可得， 因为，所以， 在直角中，可得. 19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，的面积为，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，推得，代入消元计算即得所求式的值； （2）由的面积推得，结合（1）的结论求出，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式即可求得边上的高. 【详解】（1）由和余弦定理， 可得：， 化简得，则得， 故； （2）由可得， 由（1）已得，解得， 由余弦定理， ，解得， 设边上的高边上的高为， 则由，解得， 故边上的高为. 学科网（北京）股份有限公司 $$