精品解析：浙江省S9联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

2024学年第二学期S9联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知角和的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 中，角，，所对边分别为，，已知，，，则（） A. B. C. 或 D. 或 6. 若向量，则“”是“向量夹角为锐角”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 8. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若函数周期为4，则 B. 当时，函数的对称轴为 C. 若函数在单调，则有最大值2 D. 若函数可以由先向右平移个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数，若，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 1 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，设圆柱、圆锥、球的表面积分别为，体积分别为，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. D. 11. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，这样的三角形有两解，则的取值范围为 D. 若为锐角三角形，且则其周长范围为 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，直角边，则原图形的面积是__________. 13. 已知向量，则向量在向量上投影向量为__________.（答案用坐标表示） 14. 已知函数，若，则m的取值范围__________. 四､解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）写出函数的最小正周期，的单调递增区间； （2）当时求实数的值. 16. 如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） （1）若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； （2）若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 17. 已知平面向量. （1）若，求向量的坐标； （2）若，求的值； （3）若向量，若与共线，求的值. 18. 在中角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，且.求的值； （3）若面积为，且，求的最小值. 19. 如图，点是的重心，、分别是边、上的动点（可以与端点重合），且、、三点共线. （1）设，，将用、表示； （2）设，，求的最小值； （3）在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期S9联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】由， ， 故选：B 2. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为，且，所以，解得. 故选：D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 4. 已知角和的终边关于轴对称，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数定义结合诱导公式逐个判断即可. 【详解】在角终边上任取一点，由对称性可得终边上一点， 此时， 所以，A错， ，B错， 对于C：，由A知，错， 对于D：，由A知，正确， 故选：D 5. 中，角，，所对的边分别为，，已知，，，则（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理直接求解即可 【详解】解：因为，，， 所以由正弦定理得，， 得， 因为，，所以， 所以或, 故选：D 【点睛】此题考查正弦定理的应用，属于基础题 6. 若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量的夹角为锐角求出的范围，再判断条件即可. 【详解】因为向量的夹角为锐角，所以，且向量不共线， 当向量共线时，， 故“”是“向量的夹角为锐角”的必要不充分条件， 故选：A. 7. 设平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意确定两两之间的夹角，然后根据模长公式求解即可. 【详解】因为平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，所以，所以 所以. 故选：B 8. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若函数周期为4，则 B. 当时，函数的对称轴为 C. 若函数在单调，则有最大值2 D. 若函数可以由先向右平移个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用周期公式计算可得A错误，再由对称轴方程可判断D错误，由余弦函数单调性计算可得C正确，根据平移规则可判断D错误. 【详解】对于A，若函数周期为4，可得，解得，即A错误； 对于B，当时，函数的对称轴满足，解得，即B错误； 对于C，当时，，所以， 若函数在单调，可得，解得，即有最大值2，可得C正确； 对于D，先向右平移个单位长度可得， 再横坐标变为原来的3倍可得， 若能得到函数，可得，此时无解，即D错误. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数，若，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】分情况讨论，代入解析式可求答案. 【详解】当时，，解得，满足要求， 当时，，解得，满足要求. 故选：BC. 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，设圆柱、圆锥、球的表面积分别为，体积分别为，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据球，圆柱，圆锥的表面积及体积公式计算判断各个选项. 【详解】依题意球的表面积为， 圆柱的侧面积为，所以A选项正确. 圆锥的侧面积为，所以B选项正确. 圆锥表面积为， 圆柱的表面积为，所以，D选项不正确. 圆柱体积，圆锥体积，球的体积，所以C正确. 故选：ABC 11. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，这样的三角形有两解，则的取值范围为 D. 若为锐角三角形，且则其周长范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、C，利用正弦定理即倍角公式即可判断B，利用正弦定理将边化角，再结合辅助角公式，再求出角的范围即可判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，因为三角形有两解，所以，即， 即的取值范围为，故C正确. 对D，由，得周长，因为为锐角三角形，所以， 所以，因此周长范围为，故D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，直角边，则原图形的面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形，    由是等腰直角三角形，直角边，得斜边， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故答案为：. 13. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________.（答案用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义及平面向量的数量积、模的坐标表示计算即可 【详解】，所以 向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14. 已知函数，若，则m的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，即可判断的奇偶性与单调性，从而将问题转化为，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】令，则的定义域为， 且， 所以为奇函数， 又，，均在上单调递减，所以在上单调递减， 则在上单调递减，又为连续函数，所以在上单调递减， 又， 所以不等式，即， 即，即， 所以，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 四､解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）写出函数的最小正周期，的单调递增区间； （2）当时求实数的值. 【答案】（1）， （2）或者. 【解析】 【分析】（1）由周期公式以及正弦函数的单调递增区间进行求解； （2）令，由正弦函数的图象性质计算即可. 【小问1详解】 最小正周期 令，得. 所以函数的单调递增区间为 【小问2详解】 或者 或者. 16. 如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） （1）若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； （2）若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 【答案】（1）表面积为，容积为 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据棱柱的表面积和体积公式求解即可； （2）先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面水平放置时，液面高度. 【小问1详解】 表面积， 体积； 【小问2详解】 设的面积为，底面水平放置时，液面高为， 则水的体积为， 当底面水平放置时，水的体积为，解得， 即液面高为. 17. 已知平面向量. （1）若，求向量的坐标； （2）若，求的值； （3）若向量，若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】 【分析】（1）利用得出的值，再利用向量坐标的线性运算即可； （2）利用向量平行的坐标运算得出的值，再利用求模公式即可； （3）先计算和的坐标，再利用向量平行的坐标运算得出的值，即可求得. 【小问1详解】 因为，所以，解得，故， 则. 【小问2详解】 因为，所以，则， 则. 【小问3详解】 ，， 若与共线，则， 解得，即， 故. 18. 在中角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，且.求的值； （3）若面积为，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化及余弦定理化简可得结果； （2）由同角三角函数的关系及两角和差公式可得结果； （3）由三角形面积公式可得，再结合向量线性运算可得，两边平方，利用基本不等式求得的最小值. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即 由余弦定理可得， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以 由，得， 所以 . 【小问3详解】 由已知，所以. 因为，所以， 可得， 所以 ， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 19. 如图，点是的重心，、分别是边、上的动点（可以与端点重合），且、、三点共线. （1）设，，将用、表示； （2）设，，求的最小值； （3）在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据为中点，得出，再由重心的基本性质得出即可得解； （2）由已知可得出，设，可得出，结合平面向量的基本定理得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （3）利用三角形的面积公式得出，由（2）得出，求出的取值范围，可得出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为为中点，所以， 因为为重心，所以. 【小问2详解】 因为、分别是边、上的动点，则，， 因为、、三点共线，设，即， 所以，， 若，则点与点重合，此时，则、、三点共线，不合乎题意， 同理若，则与重合，不合乎题意，所以，，， 因为，，则，， 由（1）得， 因、不共线，所以，， 所以，所以， 所以， 所以的最小值为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 【小问3详解】 ， 由（2）知，所以， 由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线， 由，解得，则， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$